haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

《数学周报》杯2011年全国初中数学竞赛(天津赛区)试题参考答案及评分标准

发布时间:2013-12-22 10:40:20  

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛

(天津赛区)试题参考答案及评分标准

一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分)

(1

)设x?x(x?1)(x?2)(x?3)的值为( ). (B)1 (C)﹣1 (D)2 (A)0

【答】C.

解:由已知得x

2?3x?1?0, 于是 22x(x?1)(x?2)(x?3)?(x2?3x)(x2?3x?2)?(x?3x?1)?1??1.

(2)已知x,y,z为实数,且满足x?2y?5z?3,x?2y?z??5,则 x2?y2?z2的最小值为( ).

(A)

【答】D. 1 11(B)0 (C)5 (D)54 11

?x?3z?1,?x?2y?5z?3,解:由 ? 可得 ? y?z?2.x?2y?z??5,??

于是 x2?y2?z2?11z2?2z?5. 154222时,x?y?z的最小值为. 1111

y因此,当z?(3)若x?1,y?0,且满足xy?xx?x3y,则x?y的值为( ). y

(C)(A)1

【答】C.

(B)2 9 2(D)11 2

解:由题设可知y1?xy?1,于是 x?yx3y?x4y?,所以4y?1?1. 故y?91,从而x?4.于是x?y?. 22

1111,则4S的整数部分等于( ). ?????33331232011

(B)5 (C)6 (D)7 (4)设S?(A)4

【答】A.

111?11?解:当k?2,, 3 ? , 2011,因为3?????, 2kkk?12?k?1kkk?1?

所以1?S?1?1111?11?5?????1?????. 2333201132?22011?2012?4

于是有4?4S?5,故4S的整数部分等于4.

(5)点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设S四边形EADF?S1,S?BDF?S2,S?BCF?S3,S?CEF?S4,

则S1S3与S2S4的大小关系为( ).

(A)S1S3?S2S4 (B)S1S3?S2S4

(C)S1S3?S2S4 (D)不能确定

【答】C.

?, 解:如图,连接DE,设S?DEF?S1

则S1?EFS4??,从而有S1?S3?S2S4.因为S1?S1?,所以S1S3?S2S4. S2BFS3

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

(6)两条直角边长分别是整数a,b(其中b?2011),斜边长是b?1的直角三角形的个数为 .

【答】31.

解:由勾股定理,得 a?(b?1)?b?2b?1.因为b是整数,所以ab?2011,

2222222是1到4023之间的奇数,而且是完全平方数,这样的数共有31个,即3,因 5, ? , 63.

此a一定是3,5,…,63,故满足条件的直角三角形的个数为31.

(7)一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数之和为7的概率是 . 【答】1. 6

解: 在36对可能出现的结果中,有6对:(1,6), (2,5), (2,5), (3,4),(3,4),(4,3)的和为7,所以朝上的面两数字之和为7的概率是61?. 366

(8)

若y?22a,最小值为b,则a?b的值为 【答】3. 2

11≥0,得≤x≤1.

22解:由1?x≥0,且x?

y2?

由于11??? 22133<<1,所以当x=时,y2取到最大值1,故a=1. 244

113222或1时,y取到最小值,故b=.所以,a?b?. 222

2当x=

(9)如图,双曲线y?2(x>0)与矩形OABC的边CB, BA分别交于点E,F,x

且AF=BF,连接EF,则△OEF的面积为 . 【答】3. 2

b

2解:如图,设点B的坐标为,则点F的坐标为.因为点F在双曲线(a,b)(a

2上,所以ab?4. 又点E在双曲线上,且纵坐标 x

2为b,所以点E的坐标为(,b).于是 by?

S?OEF?S梯形OFBC?S?OEC?S?FBE

1b121b2 ??b)a??b????(a?)222b22b

13?ab?1?2)?.22(10)如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于△ABC,且其边长为12,则△ABC的周长为 .

【答】84.

解:如图,设BC=a,AC=b,

则a?b?35=1225. ①

又Rt△AFE∽Rt△ACB, 所以222FEAF12b?12,即, ??CBACab

故12(a?b)?ab. ②

由①②得 , (a?b)?a?b?2ab?1225?24(a?b)

解得a+b=49(另一个解-25舍去),所以 a?b?c?49?35?84.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

(11)已知关于x的一元二次方程x?cx?a?0的两个整数根恰好比方程2222

x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值.

解:设方程x?ax?b?0的两个根为?,?,其中?,?为整数,且?≤?, 则方程x?cx?a?0的两根为??1,??1,由题意得 22

?????a,???1????1??a, ………………………………5分

两式相加,得???2??2??1?0,即 (??2)(??2)?3,

???2?1,???2??3,所以,? 或? ………………………………10分 ??2?3;??2??1.??

????1,????5, 解得 ? 或? ??1;???3.??

又因为a?? (???),b???,c??([??1)?(??1)],

所以a?0,b??1,c??2;或者a?8,b?15,c?6,

故a?b?c??3,或29. ………………………………………………20分

(12)如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,

求证:点P为CH的中点.

证明:如图,延长AP交⊙O2于点Q,

连接AH,BD,QB, QC,QH.

因为AB为⊙O1的直径,

所以∠ADB?∠BDQ?90?.…………5分

故BQ为⊙O2的直径.

于是CQ?BC,BH?HQ.

又因为点H为△ABC的垂心,所以AH?BC,BH?AC 所以AH∥CQ,AC∥HQ,

四边形ACQH为平行四边形. ………………………………………………15分 所以点P为CH的中点. ………………………………………………20分

(13) 如图,点A为y轴正半轴上一点,A,B两点关于x轴对称,过点A任作直

线交抛物线y?22x于P,Q两点. 3

(Ⅰ)求证:∠ABP=∠ABQ;

(Ⅱ)若点A的坐标为(0,1),

且∠PBQ=60o,试求所有满足条件的

直线PQ的函数解析式.

解:(Ⅰ)如图,分别过点P, Q作y

设点A的坐标为(0,t),则点B的坐标为(0,-t).

设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,

(xQ,yQ)(xP,yP)并设P,Q的坐标分别为 ,.

?y?kx?t,22?由?22 得x?kx?t?0, 3y?x,?3?

32于是 xPxQ??t,即 t??xPxQ.于是, 23

222222xP?tx?xxxP(xP?xQ)PPQBCyP?tx??????P. …………5分 2BDyQ?t2x2?txQx?xxxQ(xQ?xP)QPQQ3333

又因为xPCBCPC??P,所以. ?QDxQBDQD

因为∠BCP?∠BDQ?90?,所以△BCP∽△BDQ.

故∠ABP=∠ABQ. …………………………………………………………10分

(Ⅱ)解法一 设PC?a,DQ?b,不妨设a≥b>0,

由(Ⅰ)可知

∠ABP=∠ABQ?30?,BC

,BD

所以 AC

?2,AD

=2.

因为PC∥DQ,所以△ACP∽△ADQ. 于是aPCAC,即?.所以a?b. ?

b

DQAD

333由(Ⅰ)中xPxQ??t,即?ab??

,所以ab?,a?b?

222于是,可求得a?2b?

将b?21代入y?x2,得到点Q

,). …………………15分 23再将点Q的坐标代入y?kx?

1,求得k?所以直线PQ

的函数解析式为y?根据对称性知,

所求直线PQ

的函数解析式为y?x?1. x?

1,或y?x?1. ………………20分 解法二 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,其中t?1.

由(Ⅰ)可知,∠ABP=∠ABQ?30?,所以BQ?2DQ.

2xQ?

将yQ?. 22xQ代入上式,平方并整理得 3

42224xQ?15xQ?9?0,即(4xQ?3)(xQ?3)?0.

所以

xQ?

2

333又由(Ⅰ),得xPxQ??t??,xP?xQ?k.

222

若xQ?2代入上式得

xP? 从而

k?(xP?xQ)?.

3

可得xP??同理,若xQ?2 从而

k?(xP?xQ). 32

所以,直线PQ的函数解析式为

y??

1,或y??1. ………………………………………20分 , 2, , ?2011且a1?a2???a201(14)已知ai?0,i?1,,证明:

(a1,a2,?,a2011中一定存在两个数ai,a,使得aj?ai?ji?j)证明:令xi?(1?ai)(1?aj)2010. 2010, i?1,, 2 ? , 2011, ……………………………………5分 1?ai

则0?x2011?x2010???x1?2010. …………………………………10分 故一定存在1≤k≤2010,

使得xk?xk?1?1,从而20102010??1. …………………………………15分 1?ak1?ak?1

即 ak?1?ak?

(1?ak)(1?ak?1). …………………………………………20分 2010

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com