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初中数学竞赛辅导资料(2)

发布时间:2013-12-22 13:38:21  

初中数学竞赛辅导资料(2)

倍数 约数

甲内容提要

1两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数.例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数.

2因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除.0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数.如0是7的倍数,7是0的约数.

3整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,…….

4整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A.例如6的约数是±1,±2,±3,±6.

5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数.

6公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质). 7在有余数的除法中,

被除数=除数×商数+余数 若用字母表示可记作:

A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除

例如23=3×7+2 则23-2能被3整除. 乙例题

例1写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以

应用:2,22,23,24,3,32,33,34,2×3,22×3,22×32. 解:列表如下

那么合数A的正约数的个是(m+1)(n+1)

例如求360的正约数的个数

解:分解质因数:360=23×32×5,

360的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)

例2用分解质因数的方法求24,90最大公约数和最小公倍数

解:∵24=23×3,90=2×32×5

∴最大公约数是2×3, 记作(24,90)=6

最小公倍数是23×32×5=360, 记作[24,90]=360

例3己知32,44除以正整数N有相同的余数2,求N

解:∵32-2,44-2都能被N整除,∴N是30,42的公约数

∵(30,42)=6,而6的正约数有1,2,3,6

经检验1和2不合题意,∴N=6,3

例4一个数被10余9,被9除余8,被8除余7,求适合条件的最小正整数

分析:依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8整除,所以所求的数是10,9,8的最小公倍数减去1.

解: ∵[10,9,8]=360,

∴所以所求的数是359

丙练习2

1. 12的正约数有_________,16的所有约数是_________________.

2. 分解质因数300=_________,300的正约数的个数是_________.

3. 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数.

4. 一个三位数能被7,9,11整除,这个三位数是_________.

5. 能同时被3,5,11整除的最小四位数是_______最大三位数是________.

6. 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2,则A=________.

7. 写出能被2整除,且有约数5,又是3的倍数的所有两位数.答_____________.

8. 一个长方形的房间长1.35丈,宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最大

边长可以是几寸?若用整数寸作国边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合?

9. 一条长阶梯,如果每步跨2阶,那么最后剩1阶,如果每步跨3阶,那么最后剩2阶,如

果每步跨4阶,那么最后剩3阶,如果每步跨5阶,那么最后剩4阶,如果每步跨6阶,那么最后剩5阶,只有每步跨7阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶?

练习2

1. 1,2,3,4,6,12; ±1,±2,±3,±6,±9,±18

2. 22×3×52; 18 3. 2×5; 22×53

4. 693 5. [3,5,11]=165,1155;990

6. A=3 即求14-2与23-2的公约数

7. 30,60,90

8. (135,105)=15,正约数有1,3,5,15

9. 119.∵[2,3,4,5,6]=60,60×2-1=119

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