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1997年第20届奥地利-波兰数学奥林匹克

发布时间:2013-12-22 13:39:17  

1997年第20屆奥地利波兰數學競賽

1. 設P為直線L1及L2的公共點,兩個圓S1、S2外切於點P且L1為公切線。同樣地,

兩個圓T1、T2外切與點P且L2為公切線。圓S1、T1有公共點P及A,而圓S1、T2有公共點P及B。圓S1、T2有公共點P及C,圓S1、T2有公共點P及D。試證明:

A、B、C、D四點公圓當且僅當直線L1、L2互相垂直。

2. 設m、n、p、q為正整數,將一塊m x n的長方板棋盤分為mn相同的小格仔,每個

格仔用它的坐標(x,y)來代表其中1≦x≦m,1≦y≦n。每格有一小石塊,小石塊能夠從(x,y)移動到(x',y'),若| x - x' | = p及 | y - y' | =q。每次可以同時移動不同的石塊使得每個格子只有一小石塊。問這板的集體移動有多少方法?

3. 在黑板上寫有48、24、16、....、48/97,即有理數集合{48/k :k=1, 2, .... , 97}。每一

步,刪去任意兩個數a、b,並試改寫2ab -a -b +1。經96步後,只有一個數留在黑板上,試確定這個數可能是甚麼數。

4. 在一個凸四邊形ABCD,邊AB、CD平行,對角線AC、BD相交於點E。設F、G

分別為三角形EBC、EAD的正心。證明:線段GF的中點位於過點E且垂直AB的直線。

5. 設p1、p2、p3、p4為四個互異的素數,證明:不存在一個整系數的三次多項式

Q(x)=ax3+bx2+cx+d,使得|Q(p1)|=|Q(p2)|=|Q(p3)|=|Q(p4)|=3。

6. 證明:不存在函數f:Z→Z使得對所有整數x、y有f( x + f(y) )=f(x) - y。

7. (a) 證明:對任意實數p、q,不等式p2+q2+1>p(q+1)成立。

(b) 試確定最大的實數b,使得對任意實數p、q,不等式p2+q2+1>bp(q+1)成立。 (c) 試確定最大的整數c,使得對任意整數p、q,不等式p2+q2+1>cp(q+1)成立。

8. 設n為一個自然數,集合M為n個元素的集合。試求最大整數k滿足下列性質:

存在由k個M的正元素子集使得全任意歌個互不相放。

9. 設P為平行體V為它的體積,S為它的表面積。對t≧0,設Pt為立

體圖形,由與點P距離不大於t的點所組成。證明:Pt的體積是V+St +πLt2/4+4πt3/3。

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