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1988年第11届奥地利-波兰数学奥林匹克

发布时间:2013-12-22 13:39:20  

1988年第11届波兰-奥地利亚数学比赛

1. 设P(x)为整系数的多项式。证明若多项式Q(x)定义如P(x)+12至少有6个互异的整

数根,则P(x)没有整数根。

2. 设a1,a2,a3,...,an(n≧2)为整数且1≦a1≦a2≦...≦an。证明对所有的实数组(x1, x2,

x3, ..., xn)≠(0, 0, ... , 0),不等式:

n

i=1 n i=1 Σ ai xi2+2 Σ xixi+1>0 成立的充要条件是a2≧2。

3. 设ABCD为凸四边形(即所有内角小于180。),且任一组对边皆为不平行。试考虑

两组对边延长线所成的夹角,它们的内角平分线交ABCD的四边于P、Q、R、S,使得PQRS是个凸四边形。证明ABCD为圆内接四边形当且仅当PQRS是个菱形。

4. 试求所有的严格上升函数f:R→R满足下列函数方程:对所有的实数x、y ,有

f( f(x) +y ) =f(x+y) +f(0)。

5. 已知两无穷整数列{an}、{bn}满足下列关系:对所有的非负整数n,

bn=1 (an )+9 及an+1=8 (bn)+8。假设1988在数列{an}、或者{bn}之中出现,证明:数列{an}不能包含一个完全平方数。

6. 已知点O及三条由点O射出的不共面之射线h1、h2、h3,使得由任意分别在hi且异

于O的三点Ai(i=1, 2, 3)所成的三角形A1A2A3是锐角的,证明:h1、h2、h3是互相垂直。

7. 一个正十边形的每边涂上蓝色或黄色之一。由这一种涂色方法到下一步的新涂色方

法,如下进行:如果一方的两邻边的颜色不同,这边的新颜色将是黄色,否则它将是蓝色。所有的颜色会同时更改。证明:经有限多步,所有的边都涂上黄色。此外,问至多要多少步能令到所有边的颜色变成相同。

8. 已知有1998全等且边长为1的正方体,利用某些或所有的正方体,可以粘贴成三种

正方形的板块A、B、C,它们的尺寸为a x a x1、b x b x1 、c x c x 1。现在将板块C放在平面坐标系上的第一象限,使得C的一顶点在原点。将板块B放在C上,使得B的每一个小正方体在C的某一个正方体上,且B原会伸出C以外。类似地,将A放在B上。这样便有一个三层高的塔,问那些a、b、c可以令塔的体积最大?

9. 试考虑一个边长为整数a、b的长方形R,用若干条平行R的任一边之并行线,将R

分割为多个边长为整数且互不重迭的长方形。设D(a, b)为分割方法的总数目。试求R的边界P使得D(a, b)/P到达极大值。

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