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1994年第17届奥地利-波兰数学奥林匹克

发布时间:2013-12-22 13:39:20  

第17届奥地利-波兰奥林匹克竞赛(1994年)

1. 函数f:R→R满足下述条件:对所有实数x,有f(x+19)≦f(x)+19 和 f(x+94)≧f(x)+94。

求证:对所有实数x,f(x+1)=f(x)+1。

2. 数列{an}定义如下:a0=1/2,对所有非负整数n有an+1=2an/(1+an2)。

数列{cn}定义如下:c0=4,对所有非负整数n有cn+1=cn2-2cn+2。

求证:对所有非负整数n,有an=(2c0c1....cn-2cn-1)/cn。

3. 有每排15个正方形房间组成的两排房屋(排列次序像象棋盘上的两行),每个房间有

3扇门,它与相邻的一间、两间或所有三间房间相通(通向楼外的门忽略不计)。门的分布使得不离开这幢建筑,就能从一个房间走到另一个房间。(在30间房间的墙上),门有多少种分布方法。使得上述条件满足?

4. 设n≧2是个固定的正整数。P0是正n+1边形的一个固定顶点。剩下顶点随意记为

P1,P2,....,Pn。对这n+1边形的每条边,指定一个正整数如下:如果边的端点是点Pi和Pj,那么在这条边上写数| i - j |。S是如此指定的所有n+1个数的和(显然,S依赖于顶点的记法)。

i. 对固定n,可得到的S的最小值是多少?

ii. 对于S的这个最小值,有多少种不同的方法能够得到它?

5. 求下列方程 (x+y)(y+z)(z+x)/2+(x+y+z)3=1-xyz 的所有整数组解。

6. 设n>1是个奇数,假如正整数x1,x2,....,xn 满足方程组

(x2-x1)2+(x2-x1)+1=n2,

(x3-x2)2+(x3-x2)+1=n2,

....

(x1-xn)2+(x1-xn)+1=n2,

求证:x1=xn,或者存在整数j,1≦j≦n-1使得xj=xj+1。

7. 确定所有(十进制下)2位数 n=(ab)10=10a+b 其中a≧1,具有下述性质:对每个整数

x,xa-xb是n的倍数。

8. 考虑函数方程f(x,y)=af(x,z)+bf(z,y),这里a、b是实数。对每对实数(a,b),求

函数f:R2→R的一般形式,对所有实数x、y、z满足给定的方程。

9. 在平面内,一条直线g上依次给定4个不同的点A、B、C、D,AB=a,BC=b,CD=c。

i. 每当可能时,求一点P,不在直线g上,使得∠APB、∠BPC、∠CPD是相

等。

ii. 求证:具有上述性质的一点存在的充要条件是下述的不等式成立:

(a+b)(b+c)<4ac。

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