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1997年保加利亚数学奥林匹克

发布时间:2013-12-22 13:39:22  

1997年保加利亚数学奥林匹克(仍未完成)

第37届国立奥林匹克 第三轮

第一天

1. 试找出自然数a、b、c使得以下方程的根全为自然数﹕

x2 - 2a x + b =0

x2 - 2b x + c =0

x2 - 2c x + a =0

2. 设ABCD为一圆内接凸四边形。设F为对角线AC和BD的交点,E为直线AD和

BC的交点。设M、N分别为线段AB、CD的中点。证明 =|-| EF 2 CD AB

3. 证明方程x2 + y2 + z2 +3(x+y+z)+5 =0 没有有理数解。

第二天

4. 试找出所有定义在整个实数集合的连续函数f(x)且对任何的实数x满足 f(x) = f( x2

+1/4)。

5. 设两个单位正方形A和B的重心分别是M和N。它们放在一平面上使得MN=4。

设正方形A的两边平行直线MN和正方形B的一对角线放置在直线MN上。试找出所有线段XY之中点的轨迹,其中点X、Y分别是正方形A、B内部的某一点。

6. 试找出在集合Sn={1,2,....,n}中不包含任何连续数目的非空子集的总数。 第37届国立奥林匹克 第四轮

第一天

1. 对于任一自然数n≧2,考虑多项式

n n n n kPn+3(x)= + x+ x2+...+ 2 5 8 3k+2 x ()()()()

2. 其中 k=[ (n-2)/3]。

a. 证明Pn+3(x)=3Pn+2(x) - 3Pn+1(x) + (x+1)Pn(x)﹔

b. 试找出所有整数a使得对所有整数n≧3,3[(n-1)/2]能整除Pn(a3)。

3. 设M为三角形ABC的重心。证明sin∠CAM + sin ∠CBM≦2/√3

a. 若直线AB与三角形AMC的外接圆相切﹔

b. 对任意的三角形ABC。

4. 设n和m为自然数和 设m+i = aibi2对所有i =1,2,....,n,其中 ai和bi是自然数且 ai

没有完全平方因子。试找出所有n使得存在某个m 且a1+a2+....+an=12。

第二天

4. 设a、b、c为正实数且abc=1。证明

1 1 1 1 1 1 . ++++≦1+a+b 1+b+c 1+c+a 2+a 2+b 2+c

5. 在三角形ABC的两边CN、AB,分别取点M、N使得BM和CN分别为ABC和

ACB的角平分线。有向直线MN交三角形的外接圆于点D。证明

1/BD = 1/AD + 1/CD。

6. 设X是一个有n+1个元素的集合,n≧2。称由X的互不相同元素所组成的有序n

元组(a1,a2,....,an)和(b1,b2,....,bn)为“分离”若存在两个下标i≠j使得ai=bj。试找出最多有多少个有序n元组且任何两个皆是分离。

1997年保加利亚数学奥林匹克

中一

1. 设F为平面上的点以坐标(x,y)满足方程| |x| - |y| | + |x| + |y| =2。

a. 试划出F的图﹔

b. 试找出F的点满足 2y=|2x-1| -3。

2. 设H为一锐角三角形ABC的正心。证明线段AB、CH的两中点及∠CAH和∠CBH

的两分角线的交点共线。

3. 设A1A2...An为一正n边形。试找出顶点A1,A2,...,An的一重排B1,B2,...,Bn

使得

|B1B2| + |B2B3| + ...+|Bn-1Bn| 是极大。

中二

1. 设p和q为实数使得二次方程x2+px+q=0有两个不同的实根b和c。对任何的看然

数n定

an=(bn-cn)/(b-c)。

a. 若an+1an+2 - anan+3=(-1)n,试找出p和q的值。

b. 若(a)成立,证明an + an+1=an+2 。

c. 若(a)成立且3整除n,证明an是个偶数。

2. 五边形ABCDE内接于一个圆。记P、Q分别为对角线AC、BD和AD、CE的交点。

证明﹕若三角形ABP、AEQ、CDP、CDQ、APQ有相同的面积,则ABCDE是个正则五边形。

3. 已知一长方形100行1997列的数表,数表全由0或1组成,在每列中至少有75个

1。证明可删去95行使得剩下来的5行1997列数表只多有一列全为0。

中三

1. 试找出种有的实数x使得 tan(π/12 -x), tan(π/12), tan(π/12 +x) 以某种次序是一个等

比数列。

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