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2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题

发布时间:2013-12-22 14:40:16  

2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题

(2007年4月1日 下午1:00—3:00)

答题时注意;1.用圆珠笔或钢笔作答.

2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.

一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分)

1.若x?x?x?1?0,则x

3

2

?27

?x?26+ ? +x?1?1?x+ ? +x26?x27的值是( )

A

(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2

2.定义:定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A

与⊙O之间的距离.现有一矩形ABCD如图,AB=14cm,BC=12cm,⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G,则点A与⊙K的距离为( )

(A)4cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm

(第2题)

3.某班选举班干部,全班有50名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,?,

50.老师规定:同意某同学当选的记“1”,不同意(含弃权)的记“0”. 如果令ai,j??

?1,第i号同学同意第j号同学当选,

?0,第i号同学不同意第j号同学当选.

其中i=1,2,?,50;j=1,2,?,50.

则同时同意第

1号和第50号同学当选的人数可表示为( ) (

A)a1,50?a50,1?a50,2? ? +a50,1?a1,2+ ? +a1,50 (B)a1,1?a1,50?a2,50? ? +a50,1?a2,1+ ? +a50,50 (C) a1,1a1,50+a2,1a2,50 + ? +a50,1a50,50 (D) a1,1a50,1+a1,2a50,2 + ? +a1,50a50,50

4.若abc???t,则一次函数y?tx?t2的图象必定经过的象限是( ) b?cc?aa?b

(A)第一、二象限 (B)第一、二、三象限

(C)第二、三、四象限 (D)第三、四象限

5.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有

( )

(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个

6.如图,以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC

的同侧作正方形

BCEF,设正方形的中心为O,连结AO,如果AB=4,AO=62F 那么AC的长等于( )

(A) 12 (B) 16 (C) (D) A C

二、填空题(共6小题,每小题6分,满分36分)

7.函数y?x??x?2?x?3,当x 时,y

有最小值,最小值等于 .

8.以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中,

正三角形的个数为 .

9.如图,△ABC中,∠A的平分线交BC于D,若AB=6 cm,AC=4 cm,∠A=60°,则AD的长为cm.

10.设x1,x2,x3,? ,x2007为实数,且满足 E (第6题) D (第9题) C

x1x2x3?x2007=x1?x2x3?x2007=x1x2?x3?x2007=?=x1x2x3?x2006?x2007=1, 则x2000的值是

11.正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米,甲、乙两只机器鼠分别从A,C 两点同时出发,

均按A→B→C→D→E→F→A→? 方向沿轨道奔跑,甲的速度为9.2厘米/秒,乙的速度为8厘米/秒,那么出发后经过 秒钟时,甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上.

12.正整数M的个位上的数字与数20132015的个位上的数字相同,把M的个位上的数字移到

它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N.若N是M的4倍,T是M的最小值,则T的各位数字之和等于 .

三、解答题(共4小题,满分54分)

13.(本题满分12分)

2已知二次函数y?ax?bx?c的图象G和x轴有且只有一

个交点A,与y轴的交点为B(0,4),且ac?b.

(1)求该二次函数的解析表达式; (2)将一次函数y=?3x的图象作适当平移,使它经过点A,记所得的图象为L,图象

L与G的另一个交点为C,求△ABC的面积.

14.(本题满分12分)

如图,AB∥CD、AD∥CE,F、G分别是AC和FD

过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q,求证:MN+PQ=2PN.

A P M D B

15.(本题满分14分)

2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上,依次记为P1,P2,P3,?,P2007.小明用红色按如下规则去涂这些点:设某次涂第i个质点,则下次就涂第i个质点后面的第i个质点.按此规则,小明能否将所有的质点均涂成红色?若能,请给出一种涂点方案;若不能,请说明理由.

16.(本题满分16分)

从连续自然数1,2,3,?,2008中任意取n个不同的数, (1)求证:当n=1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017.

(2)当n≤1006(n是正整数)时,上述结论成立否?请说明理由.

2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题参考答案

一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分) 1.答案:C

解:由x?x?x?1?0,得x??1,

所以x?27?x?26+ ? +x?1?1?x+ ? +x26?x27=-1.

2.答案:A

解:连结AK、EK,设AK与⊙O的交点为H,则AH即为所求, 因为AK=EK?AE=10,所以AH = 4. 3.答案:C

解:由题意得C正确. 4.答案:A

解:由已知可得a?b?c?2(a?b?c)t,

2

2

3

2

(第2题)

A

111

,y?x?,直线过第一、二、三象限; 224

当a?b?c?0时,t??1,y??x?1,直线过第一、二、四象限.

当a?b?c?0时,t?

综合上可得,直线必定经过的象限是第一、二象限.

5.答案:C

解:设直角三角形的两条直角边长为a,b(a?b),则

1

a?b?k?ab(a,b,k均为正整数),

2

?ka?4?1?ka?4?2

化简,得(ka?4)(kb?4)?8,所以?或?.

kb?4?8kb?4?4???k?1?k?2?k?1,

???

解得?a?5或?a?3或?a?6, 即有3组解.

?b?12?b?4?b?8.???

6.答案:B

解:在AC上取一点G,使CG=AB=4,连接OG,则

△OGC≌△OAB,所以OG=OA=62,

∠AOG=90°,所以△AOG是等腰直角三角形,AG=12,所以AC=16.

(第6题) A

C

二、填空题(共6小题,每小题6分,满分36分) 7.答案:-2,2

解:当x≤-3时,y= -3x-6;

当-3<x≤-2时,y= -x;

当-2<x≤-1时,y=x+4;

当x>-1时,y=3x+6.;

所以当x=-2时,y的值最小,最小值为2.

8.答案:8个

解:正三角形的各边必为立方体各面的对角线,共有8个正三角形.

9.答案:123 5

解:由S△ABC=S△ABD + S△ADC ,得

111AB?AC?sin60?=AB?AD?sin30??AD?AC?sin30?. 222

12解得AD=. 5

3?10.答案:1,或? 2

11解:由已知,x1x2x3?x2000?=1,x1x2x3?x1999?=1,

x1x2x3?x2000x1x2x3?x1999

解得x1x2x3?x2000?

所以x

2000

11.答案:104x1x2x3?x1999?. ?1,或x2000? 8 23

解:设甲跑完x 条边时,甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上,此时甲走了120x 厘米, ?120(x?1)8??240?120(x?1)?120,?120x?9.2乙走了8?厘米,于是? 120x9.2?8??240?120x?120.?9.2?

22120?824008解得7?x?8.因x是整数,所以x=8,即经过==104秒时,339.22323

甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上.

12.答案:36

解:20132015的个位数字是7,

m所以可设M?10k?7,其中k是m位正整数,则N?7?10?k.

7(10m?4)由条件N=4M,得7?10?k=4(10k?7),即k?. 39m

当m=5时,k取得最小值17948.所以T=179487,它的各位数字之和为36.

三、解答题(共4题,满分54分)

13.(12分)

解:(1)由B(0,4)得,c=4.

G与x轴的交点A(?b,0), 2a

由条件ac?b,得bbc. ?c,所以?=???2,即A(?2,0)a2a2

?b?4a,?a?1,所以?解得? 4a?2b?4?0.b?4.??

所求二次函数的解析式为y?x?4x?4.

(2)设图象L的函数解析式为y=?3x+b,因图象L过点A(?2,0),

所以b??6,即平移后所得一次函数的解析式为

y=?3x?6. 令?3x?6=x?4x?4,

解得x1??2,x2??5.

将它们分别代入y=?3x?6,

得y1?0,y2?9.

(第13题) 所以图象L与G的另一个交点为C(?5,9). 如图,过C作CD⊥x轴于D,则 S△ABC=S梯形BCDO-S△ACD -S△ABO

=22111(4?9)?5??3?9??2?4=15.

222

14.(12分)

证明:延长BA、EC,设交点为O,则

四边形OADC为平行四边形.

∵ F是AC的中点,

∴ DF的延长线必过O点,且

∵ AB∥CD,

∴ DG1?. OG3MNAN. ?PNDN

∵ AD∥CE,

P

F N

A M D B PQCQ. ?PNDNMNPQANCQ∴ ???PNPNDNDNAN?CQ=. DNDNDG1又 ??, OQOG3∴

∴ OQ=3DN.

∴ CQ=OQ -OC=3DN -OC=3DN -AD,AN=AD -DN, 于是,AN+CQ=2DN,

15.(14分)

解:不能.

理由:设继Pi点涂成红色后被涂到的点是第j号,则

j=?MNPQAN?CQ=2,即 MN+PQ=2PN. ??PNPNDN?2i,2i?2007,

?2i?2007,2i?2007.

若i=2007,则j=2007,即除P2007点涂成红色外,其余均没有涂到. 若i?2007,则2i?2007,且2i?4014,即2i-2007?2007, 表明P2007点永远涂不到红色.

16.(16分)

解:(1)设x1,x2,x3,?,x1007是1,2,3,?,2008中任意取出的1007个数.

首先,将1,2,3,?,2008分成1004对,每对数的和为2009, 每对数记作(m,2009-m) ,其中m=1,2,3,?,1004.

因为2008个数取出1007个数后还余1001个数,所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对,

2009?m1),(m2,2009?m2),(m3,2009?m3) 因此至少有3对数,不妨记为(m1,

(m1,m2,m3互不相等)均为x1,x2,x3,?,x1007中的6个数.

其次,将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对,每对数的和为2008,每对数记作(k ,2008-k) ,其中k=1,2,?,1003.

2006个数中至少有1005个数被取出,因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数,这1003对数中,至少有2对数是x1,x2,x3,?,x1007中的4个数,不妨记其

2008?k1). 中的一对为(k1,

2009?m1),(m2,2009?m2),(m3,2009?m3),(m1,m2,m3互不相又在三对数(m1,

2008?k1)中的两个数互不相同,等)中至少存在1对数中的两个数与(k1,不妨设该对2009?m1), 数为(m1,

于是m1?2009?m1?k1?2008?k1?4017. (2)不成立.

当n?1006时,不妨从1,2,?,2008中取出后面的1006个数:

1003 ,1004,?,2008,

则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017; 当n?1006时,同样从1,2,?,2008中取出后面的n个数,其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017. 所以n?1006时都不成立.

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