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数学周报_杯_2008年全国初中数学竞赛试题及解答

发布时间:2013-12-22 14:40:20  

数学学习

购物原价超过3则第一次购物原价为00元;

(元)94.5÷0.9=105.

所以小丽应付()(元)

316+105-300×0.8+300×0.9=362.8.()证明:如图,延长C20.1B至点G,使得BG=DF,连结

因为A所以AG.BCD是正方形,在Rt△ADF和Rt△ABG中,AD=AB,F=∠ABG=∠AD90°,DF=BG.

,∴RtF≌RtBG(SAS)△AD△A

∴AF=AG,F=∠BAG.∠DA又∵AE是∠BAF的平分线,∴∠EAF=∠BAE,

∴∠DAF+∠EAF=∠BAG+∠BAE.即∠EAD=∠GAE.

2011年第4期

C,∴∠GEA=∠EAD,  ∵AD∥B

∴∠GEA=∠GAE,∴AG=GE.即A得证.G=BG+BE.∴AF=DF+BE,

()2S=S△ADF+S△ABE=F·AD+E·AB.

221

∵AD=AB=1,∴S=(DF+BE).

2)由(知,所以S=1AF=DF+BE,在RtF中,AD=1,DF=x,△AD

+1.2

由上式可知,当x达到最大值时,而0≤xS最大.所以,当x=1时,S最大值为≤1,

+1=.22

∴AF=+1∴S=

F.2

櫕櫕毇

櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕毇

选择题(共5小题,每小题6分,满分3以0分.  一、

下每道小题均给出了代号为A,其B,C,D的四个选项,请将正确选项的代号填中有且只有一个选项是正确的.

不填、多填或错填都得0分)入题后的括号里.

4242

则1.已知实数x,y满足4-2=3,y+y=3,

xx4

.  )y的值为(4+x

A.7  B.5  C  D.

22

【答】(A)

22解:因为x由已知条件得>0,y≥0,

所以

422

y=2+3+3-y=2-y+6=7.4+xxx-2)+(-2)-3=0,(xx另解:由已知得

222

y)+y-3=0.(

22

,显然-2≠y以-2,y为根的一元二次方程为

xx

所以t+t-3=0,

2222

((-2)+y=-1,-2)×y=-3.xx

櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕毇

3222

()]+y=[-2+y-2×(-2)×y

xxx

2))=(-1-2×(-3=7.轴有两个不同交点的概率是(.  )

  B  C.  D.

921236

【(答】C)

=2=84x

y=

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题及解答

2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地

均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编

号分别为m,则二次函数y=xn,+mx+n的图象与x

解:基本事件总数有6×6=3即可以得到36,6个二次函数.由题意知

即m2>4n>0,n.Δ=m-4

通过枚举知,满足条件的m,故P=n有17对..

36

大圆周上有4个不同的点,小圆3.有两个同心圆,

周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有(.  )

A.6条  B.

8条  C.10条  D.12条

【(答】B)解:如图,大圆周上有4个不同的点A,两两B,C,D,连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E,F中,至少有一个不是四边形

櫕櫕毇

22

ABCD的对角线AC与BD

(第3题)

43

数学学习

的交点,则它与A,至少有两条不同B,C,D的连线中,于A,从而这6个点可以确定的直B,C,D的两两连线.线不少于8条.

当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线.

所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条

4.已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB=a以AB为一边在圆O内<1.

点D为圆O上作正△ABC,不同于点A的一点,且DB=

2011年第4期

奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.

所以a偶,奇,奇,偶,奇,有aaaa1,2,3,4,5只能是:如下5种情形满足条件:

2,1,3,4,5;3,5,4,1;5,1,4,3;  2,  2,4,3,1,2,5;5,3,2,1.  4,

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)定义一种运算“为:6.对于实数u,v,u*v=uv*”若关于x的方程x*(+v.a*x)=-

有两个不同的

实数根,则满足条件的实数a的取值范围是

【答】或a<-1.a>0,解:由x*(a*x)=-

(第4题)

得4

AB=a,DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为(.  )

A.  B.1  C  D.a

22【(答】B)

解:如图,连接O设∠D=则E,OA,OB.α,

())a+1x+(a+1x+=0.

依题意有

2))a+1-(a+1Δ=(>0.

解得 或a<-1.a>0,

a+1≠0,

发现每隔6分钟从背后驶7.小王沿街匀速行走,

过一辆1每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,8路假设每辆1而且1公交车.8路公交车行驶速度相同,8路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是

【答】4.

解:设1小王行走的8路公交车的速度是x米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s米.速度是y米/分,

每隔6分钟从背后开过一辆1则8路公交车,

6x-6s.y=

每隔3分钟从迎面驶来一辆1则8路公交车,

3x+3s.y=

由①,所以=4.=4x,②可得s

即1

8路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.8.如图,在△ABC中,点MAB=7,AC=11,是BC的中点,AD是

②①

分钟.

CA=120°-AC.∠Eα=∠E

又因为

11

BD=(60°+180°-2=120°-∠Aα)α,22

BO=∠A

所以△A于是ACE≌△ABO,E=

OA=1.

另解:如图,作直径E连结F,以点B为圆心,AF,AB为半径因为A则点作⊙B.B=BC=BD,由A,C,D都在⊙B上,

DA=∠CBA∠F=∠E

所以

×60°=30°,2

AE=EF×sinin30°=1.∠F=2×s

最后一个5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三数是奇数,

个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有(.  )

A.2种  B.3种  C.4种  D.5种【(答】D)

,解:设aaaaa2,3,4,5的一个满足要1,2,3,4,5是1求的排列.

首先,对于a不能有连续的两个都是偶aaa1,2,3,4,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.数,

又如果a是偶数,则a1≤i≤3)ai(i+1是奇数,i+2是

AC的平分线,MF∥∠B

AD,则F

C的长为

【答】9.

解:如图,设点N是连接MN,AC的中点,则MN∥AB.

又MF∥AD,所以

(第9题)(第8题)

44

数学学习

AD=∠DAC=∠MFN,∠FMN=∠B

所以FN=MN=

B.2

2011年第4期

,a===3BCha3即DE=

216

C=.33

因此FC=FN+NC=B+C=9

22另解:如图,过点C作AD的平行线交BA的延长线为E,延长MF交AE于点N.

则∠E=∠BAD=∠DAC=∠ACE.

所以A又FNE=AC=11.所以四边形CE,ENF是等∥C腰梯形,即

)E=×(7+11=9.

22

22

关于x,的所有10.08(x-y)y的方程x+y=2

正整数解为

【答】

x=48,x=160,

 

2,y=32.y=3

解:因为2偶数的平方数除以4所08是4的倍数,

{{

得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x,y都是偶数.

设x=2则a,b,y=2

22

()a+b=104a-b.

CF=EN=

同上可知,设a=2则a,b都是偶数.c,b=2d,

22

(,c+d=52c-d)

过△A9.△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,BC的内切圆圆心I作D分别与AE∥BC,B,AC相交于点D,则DE,E的长为

16【答】.

解:如图,设△ABC的三边长为a,内切b,c,圆I的半径为r,BC边上的高为h则a,hS△ABCa=2

)=(a+b+cr,2

所以=.

ha+b+ca

(第9题)

因此

另解:因为

于是

,,所以,设c=2则c,d都是偶数.sd=2t

22

(),s+t=26s-t

222

()),s-13+(t+13=2×13

,其中s所以t都是偶数.

222222

())s-13=2×13-(t+133-151.≤2×1<12所以|进而(为3s-133,5,7,9,t+13)37,|可能为1,2

故只能是(从而329,313,289,257,t+13)=289,

于是s-13||=7.

因为△AD所以它们对应线段成比例,E∽△ABC,

{{{{

s=6,s=20,

t=4;t=4.

x=48,x=160,

2,t=32.y=3

h-r,因此a所以=

hBCa

·aDE=a=(1-)a

hhaa

)a)a(b+c,=(1-a=a+b+ca+b+c

)18×(7+96DE==.

8+7+93

另解:∵S△ABC=rabcp=p-p-p-

=2×4×3×5=12222

())x-104+(04=2×104=21632,y+12

)则有(041632.≤2y+1

又y正整数,所以1≤y≤43.

22

令a=|则ax-104b=|04+b=21632.|,|,y+1

因为任何完全平方数的个位数为:由1,4,5,6,9,

22

a+b=21632

22

,知a的个位数只能是1和1或6和6.b

22

,当a的个位数是1和1时,则a,bb的个位数字

可以为1或9.但个位数为1和9的数的平方数的十位

22

数字为偶数,与a的十位数字为3矛盾.+b

22

,当a的个位数是6和6时,则a,bb的个位数字

)(这里p=

ABC所以r==h=.a=12a8

由△AD得E∽△ABC,

可以为4或6.

由1取b=105≤b≤147,06,114,116,124,126,

22

只有当b=134,136,144,146代入a+b=21632得,

45

数学学习2011年第4期

即136时,a=56,

解得

x-1046,||=50436.||=1y+1x=48,x=160,

 

2;y=32.y=3

n=4,n=p,q-q-

  22

,q+n=4n=2n=pp.q+p,q+

2,n=2n=pq-p,q-

 

n=2n=4q+p,q+

n=2,q-

三、解答题(共4题,每题1满分65分,0分)一次函数y=k11.在直角坐标系xOx+b(ky中,)的图象与x轴,B两点,≠0y轴的正半轴分别交于A,且使得△OAB的面积值等于|OAOB|+||+3.

()用b表示k;1

)(求△O2AB面积的最小值.

()解:令x=0,得y=令y=0,得1b,b>0;

消去n,解得

5q=q+1,q=2+,q=,q=2p,q=2+.

222

对于第1,从而q=5;对于第2,3种情形,5p=2,;种情形,从而q=4(不合题意,舍去)对于第4种p=2,情形,不合题意,舍去).q是合数(

又当p=2,方程为2它的x-5x+2=0,q=5时,

x=-

k<0.>0,

,根为xx2它们都是有理数.1=2=2

综上所述,存在满足题设的质数.

关于x的方程x2-22.已知a,b为正整数,ax★1

关于y的方程y2+2+b=0的两个实数根为xxa1,2,y且满足x+b=0的两个实数根为yx1,2,1·1-2·2yyy求b的最小值.=2008.

解:由韦达定理,得

),所以A,于B两点的坐标分别为A(-,0,B(0,b)

k是,AB的面积为△O

1·(b)

-.2k

S=

由题意,有

·()-=-+b+3.2kk

2,解得 k=()b>2.2b+3

xx2a,xxb;2a,b,1+2=1·2=1+2=-1·2=yyyy即

())由(知21S=·(-)

2k()=

b-2=

()()b-2

,2a=-(xx=(-x+(-x1+2=-1+2)1)2)yy

·(b=(-x-x.1·2=1)2)yy

解得 

xx1=-1,1=-2,yy 或xx2=-2;2=-1.yy

把yx2008得1,2的值分别代入x1·1-2·2=yyy

{{

x-x-x-x=200.1·(1)2·(2)

或即因为所以于是有即

(不成立)x-x-x-x=2008.1·(2)2·(1)

22

((xx2008,xxxx=2008.2-1=2+1)2-1)

+7b-2+=

b-2

10)2

=(+7+20-2- b-2

xx2a>0,xxb>0,1+2=1·2=

x0,x0.1>2>

2a·008.a-4b=2

2 

a·02=1×502=2×251.-b=5

0.≥7+2 时,当且仅当b-2=有S=7+2即当b0, b-2不等式中的等号成立.=2+0,k=-1时,

所以,BC面积的最小值为7+20.△A 使得关于x的一元二次方12.是否存在质数p,q,程px2-x+p=0有有理数根?q

解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令Δ=

222

,其中n是一个非负整数.则nq-4p=

((n)n)=4q-q+p.

因为a,所以b都是正整数,或

a=1,

22

a-b=502

a=505,a=2,a=251,

或或

2222a-b=1a-b=251a-b=4.

{{

分别解得:

a=1,

b=1-502

a=502,

b=502-1

a=2,

b=2-251

由于1≤且q-故同n≤n,n与q+n同奇偶,q-q+为偶数.因此,有如下几种可能情形:

a=502a=251

,经检验只有:符合题意.22

b=502-1b=251-4

{{

a=251,

2b=251-4.

所以b的最小值为:b最小值=251-4=62997.

46

数学学习

且13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC?证明你的结论.

解:存在满足条件的三角形.

当△ABC的三边长分别为a=6,b=4,c=5时,∠A=2∠B

如图,当∠A=2延长BA至点∠B时,

使AD=A连接D,C=b.则△ACD,CD为等腰因为∠B三角形.AC为所CD的一个外角,△A

((第1题答案)3A)

以∠B由已知,所以∠B=AC=2∠D.AC=2∠B,∠B所以△CBD为等腰三角形.∠D.

又∠D为△ACD与△CBD的一个公共角,有于是CD∽△CBD,△A

∴r=

2011年第4期

和点I分别为△A且∠G求BC的重心和内心,IC=90°,

BC的周长.△A

解:如图,连结G过G,A,GB.I作直线交BC,AC于点E,作△A切B记F,BC的内切圆I,C边于点D.内切圆半径为r,BC的半周长为P,BC,AC边上的△A

高线长为hha,b.

∵S△ABC=rbcp=p-qp-p-

,易知:在RCD=p-c,tIE中,DE=△C

cp-(()a)b--即DE=.

(())=.

pp

又∵C所以CI⊥EF,CI平分∠ACB,E=CF.)∴CE=CD+DE=(c+p-

由S△ABC=S△ABG+S△BEG+S△AFG+S△FEC,

,即,

== CDBDab+c

22

(),所以 而6所以此三角形a=bb+c.=4×(4+5)

S△ABC()h(a

S△ABC=+×a-×+×b-

3232pab)h1ab,b

×+2×××r

2p3p

即 S△ABC=

故存在满足条件的三角形.满足题设条件,

说明:满足条件的三角形是唯一的.

若∠A=2∠B,可得a有如下三种情=b(b+c).

ABC+×a×h×+×b×a)3232p

形:

((当a>设a=c>b时,n+1,c=n,b=n-1n为ⅰ)

,(),代入a=得大于1的正整数)bb+c

())()n+1=(n-12n-1.

aab-

h×+2×rb)p.

3pp

2整理得2即cab,p-p=3

))3ab=2c2c=p(a+b.p=p(p-p-

解得n=5,有a=6,b=4,c=5;

((当c>设c=a>b时,n+1,a=n,b=n-1n为ⅱ)

,(),代入a=得大于1的正整数)bb+c

为整数

设△A则m=2BC的周长为m,.p=

a+b),,,),由已知(设a=2且(a,b=2,sb=2tst=1,st都是正整数,代入上式,得m=.

s+t

,)(,)∵(ss+t=1,ts+1-1,

即s∴s+t是12的约数,+t=1,2,3,4,6,12.,)不妨设s则(得st=1,≥1,

)·2n=(n-1n.

解得n=2,有a=2,此时不能构成三角形;b=1,c=3,

((当a>设a=b>c时,n+1,b=n,c=n-1n为ⅲ)

,(),大于1的正整数)代入a得=bb+c

2()),n+1=n(2n-1

即n此方程无整数解.-3n-1=0,

所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4,5,6构成的三角形满足条件

3.如图,★1

, , ,=1=1=1m=6;m=8;m=9;, , ,=1=1=5m=10;m=11;m=35.,经检验,只有 符合题意,=5 m=35.所以 a=14,b=10,c=10或a=10,b=14,c=11,即所求△ABC的周长为35.

=1,=2,=3,

=5,=11,=7,

BC的三边长△A

BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c都是整数,且a,b的最大公约数是2.点G

=7,

47

数学学习

…,其中一定可以找14.从1,2,9中任取n个数,,到若干个数(至少一个,也可以是全部)它们的和能被求n的最小值.10整除,

解:当n=4时,数1,3,5,8中没有若干个数的和能被10整除.

…,,…,当n=5时,设aaa2,9中的5个1,2,5是1不同的数.若其中任意若干个数,它们的和都不能被10…,;整除,则aaa2和8;1,2,5中不可能同时出现1和9…,于是a3和7;4和6.aa.1,2,5中必定有一个数是5

…,,若a则不含9.于是不含4(aa4+11,2,5中含1),(),故含6;于是不含3故含7;于3+6+1=10+5=10(,是不含2故含8.但是5+7+8=22+1+7=10)0是矛盾.10的倍数,

2011年第4期

…,,若a则不含1.于是不含6(aa6+91,2,5中含9),(),故含4;于是不含7故含3;于+5=207+4+9=20(,故含2.但是5+3+2=1是不含88+9+3=10)0是矛盾.10的倍数,

综上所述,n的最小值为5.

…,4.已知有6个互不相同的正整数aa★★11,2,且a从这6个数中任意取出3个数,aaa6,1<2<…<6,,分别设为a其中i<j<k.记f(aaik)=i,k,j,j,

+ai

,,证明:一定存在3个不同的数组(其中+.ik)j,

aakj,使得对应着的3个f(两两之差1≤ik≤6,ik)<j<j,

(的绝对值都小于0.征求答案)5.

獉獉獉獉

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