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2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编重排版

发布时间:2013-12-22 14:40:21  

2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编重排版

目录

一 2012广东初中数学竞赛预赛 ................................................................................................- 2 -

二 2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案(河南赛区) ........................................- 5 -

三 2012年北京市初二数学竞赛试题 ..................................................................................... - 10 -

四 2012年全国初中数学竞赛(海南赛区) ......................................................................... - 11 -

五 2012年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷参考答案 ......................................... - 13 -

六 2012年全国初中数学竞赛试卷答案(福建赛区) ......................................................... - 15 -

七 2012年全国初中数学竞赛试题 ......................................................................................... - 19 -

八 2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷 ................................................................. - 21 -

九 2012年全国初中数学联赛(浙江赛区)试题及参考答案 ..............................................- 26 -

十 2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷 .................................................................. - 29 - 十一 2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】 ............................................................. - 30 - 十二 2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题 ..................................................... - 35 - 十三 2012年全国初中数学竞赛试题(副题) ..................................................................... - 39 - 十四 2012年全国初中数学竞赛试题(副题)参考答案 ..................................................... - 41 - 十五 2012年全国初中数学竞赛试题(正题) ..................................................................... - 50 - 十六 2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案 ......................................................- 55 -

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3.在默认项上点右键选择修改

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5.重启正在使用的Office程序,然后再次点Office里面超链接,ok了

- 1 -

2012广东初中数学竞赛预赛

- 2 -

- 3 -

- 4 -

2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案(河南赛区)

一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分.

1.在1,3,6,9四个数中,完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】

(A)2,3,1 (B)2,2,1 (C)1,2,1 (D)2,3,2

【答】A.解:完全平方数有1,9;奇数有1,3,9;质数有3.

2.已知一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限,则下列判断正确的是

【 】(A)m??1 (B)m??1 (C)m?1 (D)m?1

【答】C.解:一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限,说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴,且y随x的增大而增大,所以??m?1?0, 解得m?1. m?1?0.???DA???AB,给出下列三个 3.如图,在⊙O中,CD

结论:(1)DC=AB;(2)AO⊥BD;(3)当∠BDC=30°

时,∠DAB=80°.其中正确的个数是【 】

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3 第3题图

???AB,所以DC=AB;因为?AD??AB,AO是半径,所以AO⊥BD;【答】D.解:因为CD

设∠DAB =x度,则由△DAB的内角和为180°得:2(x?30?)?x?180?,解得x?80?.

4. 有4张全新的扑克牌,其中黑桃、红桃各2张,它们的背面都一样,将它们洗匀后,背面朝上放到桌面上,从中任意摸出2张牌,摸出的花色不一样的概率是【 】

- 5 -

(A)1321 (B) (C) (D) 3432

42?. 63【答】B.解:从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能,摸出的2张牌花色不一样的有4种可能,所以摸出花色不一样的概率是

5.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(?3,?3),点C是y轴上一动点,要使△ABC为等腰三角形,则符合要求的点C的位置共

有【 】(A)2个 (B)3个 (C)4个

【答】D.解:由题意可求出AB=5,如图,以点A为圆心AB

的长为半径画弧,交y轴于C1和C2,利用勾股定理可求

出OC1=OC2?C1(0,26),C2(0,?26),

以点B为圆心BA的长为半径画弧,交y轴于点C3和C4,

可得C3(0,1),C4(0,?7),AB的中垂线交y轴于点C5,利用

三角形相似或一次函数的知识可求出C5(0,?

217). 66.已知二次函数y?2x?bx?1(b为常数),当b第5题图

物线系”,图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象,它们的顶点

y 在一条抛物线上(图中虚线型

抛物线),这条抛物线的解析式是【 】

12x?1 2

122(C)y??4x?1 (D)y??x?1 4(A)y??2x?1 (B)y??2O x

?b8?b2

【答】A.解:y?2x?bx?1的顶点坐标是???4,8?2?8? b2b第6题图??,设x??4,y?8,?

8?b28?(?4x)2b??1?2x2. 由x??得b??4x,所以y?884

二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分)

7.若m?n?2,则2m?4mn?2n?1的值为 .

【答】7.解:2m?4mn?2n?1?2(m?n)?1?2?2?1?7. 222222

8.方程112??的解是 . (x?1)(x?2)(x?2)(x?3)3

111111????? (x?1)(x?2)(x?2)(x?3)x?1x?2x?2x?3【答】x1?0,x2??4.- 6 -

?11222?,解得 x1

??.∴(x?1)(x?3)3x?1x?3(x?1)(x?3)

9.如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(1,0),

若点A的坐标为(a,b),将线段BA绕点B顺时针旋转

90°得到线段BA?,则点A?的坐标是 .

【答】(b?1,?a?1).解:分别过点A、A?作x为C、D.显然Rt△ABC≌Rt△BA?D. 由于点A的 第9题图 坐标是(a,b),所以OD?OB?BD?OB?AC?1?b,A?D?BC?a?1,所以点的A?坐标是(b?1,?a?1).

?是以点A为圆心2为半径的10.如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,AM=1,DE

是以点M为圆心2为半径的1?圆弧,NB41圆弧,则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 . 4【答】2.解:连接MN,显然将扇形AED向右平移

可与扇形MBN重合,图中阴影部分的面积等于

矩形AMND的面积,等于1?2?2.

第10题图 3211.已知α、β是方程x?2x?1?0的两根,则??5??10的值为.

【答】?2.解:∵α是方程x?2x?1?0的根,∴??1?2?.

∴ ??????(1?2?)????2????2(1?2?)?5??2,又 ∵?????2, ∴ ??5??10?(5??2)?5??10?5(???)?8=5?(?2)?8??2.

12.现有145颗棒棒糖,分给若干小朋友,不管怎样分,都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上,这些小朋友的人数最多有 个.

【答】36.解:利用抽屉原理分析,设最多有x个小朋友,这相当于x个抽屉,问题变为把145颗糖放进x个抽屉,至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则4x?1≤145,解得x≤36,所以小朋友的人数最多有36个.

三、解答题(第13题15分,第14题15分,第15题18分,共48分)

13.王亮的爷爷今年(2012年)80周岁了,今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和,问王亮今年可能是多少周岁?

解:设王亮出生年份的十位数字为x,个位数字为y(x、y均为0 ~ 9的整数).∵王亮的爷爷今年80周岁了,∴王亮出生年份可能在2000年后,也可能是2000年前.故应分两种情况: ???????2分

(1)若王亮出生年份为2000年后,则王亮的出生年份为2000?10x?y,依题意,得 3322A M E B 222012?(2000?10x?y)?2?0?x?y,

- 7 -

10?11x,2

∴x?0. 此时y?5. 整理,得 y? x、y均为0 ~ 9的整数,

∴王亮的出生年份是2005年,今年7周岁.???????8分

(2)若王亮出生年份在2000年前,则王亮的出生年份为1900?10x?y,依题意,得 2012?(1900?10x?y)?1?9?x?y,

整理,得 11x?102?2y,故x为偶数,又y?

∴ 7102?11x102?11x,0≤≤9, 227≤x≤9, ∴ x?8. 此时y?7. 11

∴王亮的出生年份是1987年,今年25周岁. ???????14分

综上,王亮今年可能是7周岁,也可能是25周岁.?????15分

14.如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是(5,0)、(3,2),点D在线段OA上,BD=BA, 点Q是线段BD上一个动点,点P的坐标是(0,3),设直线PQ的解析式为y?kx?b.

(1)求k的取值范围;

(2)当k为取值范围内的最大整数时,若抛物线y?ax?5ax的顶点在直线PQ、OA、2

AB、BC围成的四边形内部,求a的取值范围.

解:(1)直线y?kx?b经过P(0,3),∴ b?3.

∵B(3,2),A(5,0),BD=BA,∴ 点D的坐标是(1,0),

∴ BD的解析式是y?x?1, 1≤x≤3. 依题意,得 ?

∴ 1≤?y?x?1,4,∴x?, y?kx?3.1?k?41≤3.解得?3≤k≤?.?????????????????7分 1?k3

1 (2)??3≤k≤?,且k为最大整数,∴k??1. 3

则直线PQ的解析式为y??x?3.?????????????????9分

2又因为抛物线y?ax?5ax的顶点坐标是?5?525?,?a?,对称轴为x?.

4?2?2

- 8 -

5?

?y??x?3,?x?,

551??2

解方程组?得 即直线PQ与对称轴为的交点坐标为x?(,), ?5

222x?.??y?1.2??2?

12582

??a?2.解得 ??a??.??????????????15分 242525?上一动点, 15. 如图,扇形OMN的半径为1,圆心角是90°.点B是MN

BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.(1)求证:四边形EPGQ是平行四边形;(2)探索

当OA的长为何值时,四边形EPGQ是矩形;(3)连结PQ,试说明3PQ?OA是定值. 解:(1)证明:如图①, ∵∠AOC=90°,BA⊥OM,BC⊥ON, ∴四边形OABC是矩形. ∴AB//OC,AB?OC. ∵E、G分别是AB、CO的中点, ∴AE//GC,AE?GC.

2

2

N

C

G

F B ∴四边形AECG为平行四边形.

∴CE//AG. ???????????4分 O A M D 连接OB, 图① ∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点, ∴ GF∥OB,DE∥OB, ∴ PG∥EQ,

∴四边形EPGQ是平行四边形.??????????????????6分

(2)如图②,当∠CED=90°时,□EPGQ是矩形. 此时 ∠AED+∠CEB =90°.

N 又∵∠DAE=∠EBC =90°,∴∠AED=∠BCE.

∴△AED∽△BCE.????????????8分 C ∴

Q

ADAE

. ?

BEBC

G

O

D

A

图②

xyy22

设OA=x,AB=y,则∶=∶x,得y?2x.?10分

222

又 OA?AB?OB,即x?y?1.

2

22

2

2

2

2

2

E

M

∴x?2x?

1,解得x?

∴当OA

时,四边形EPGQ是矩形.????????????12分 (3)如图③,连结GE交PQ于O?,则O?P?O?Q,O?G?O?E..过点P作OC的平行线

- 9 -

分别交BC、GE于点B?、A?.

PGPEGE2N???, PFPCFC1

B'F2111C∴ PA?=A?B?=AB, GA?=GE=OA, 333311∴ A?O??GE?GA??OA. EG26

在Rt△PA?O?中,PO?2?PA?2?A?O?2, PQ2AB2OA2AMOD即 , 又 AB2?OA2?1, ??4936图③ 122∴ 3PQ?AB?, 3

14∴ OA2?3PQ2?OA2?(AB2?)?.??????????????18分 33

2012年北京市初二数学竞赛试题

.选择题(每小题5分,共25分)

.方程|2x-4|=5的所有根的和等于( ).

A.-0.5 B.4.5 C.5 D.4

.在直角坐标系xOy中,直线y=ax+24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72,则不在直线y=ax+24上的点的坐标是( ).

A.(3,12) B.(1,20) C.(-0.5,26) D.(-2.5,32) 由△PCF∽△PEG得,

两个正数的算术平均数等于

,则期中的大数比小数大( ).A.4 B

. C.6 D.

.在△ABC中,M是AB的中点,N是BC边上一点,且CN=2BN,连接AN与MC交于点O,四边形BMON的面积为14cm2,则△ABC的面积为( ).

A.56cm2 B.60cm2 C.64cm2 D.68cm2

121??222.当a=1.67,b=1.71,c=0.46时,a?ac?ab?bcb?ab?bc?acc?ac?bc?ab

等于( ).

A.20 B.15 C.10 D.5.55

.填空题(每小题7分,共35分)

.计算:1×2-3×4+5×6-7×8+?+2009×2010-2011×2012=___.

.由1到10这十个正整数按某个次序写成一行,记为a1,a2,?,a10,S1=a1,S2=a1+a2,?,S10=a1+a2+?+a10,则在S1,S2,?,S10中,最多能有__个质数. .△ABC中,AB=12cm,AC=9cm,BC=13cm,自A分别作∠C平分线的垂线,垂足为M,作

S?AMN?S∠B的平分线的垂线,垂足为N,连接MN,则?ABC____.

.实数x和y满足x2+12xy+52y2-8y+1=0,则x2-y2=___.

.P为等边△ABC内一点,AP=3cm,BP=4cm,CP=5cm,则四边形ABCP的面积等于__cm2.

- 10 -

(满分10分).求证:对任意

两两不等的三个数a,

b,c,

(a?b?c)2(b?c?a)2(c?a?b)2

??

(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)(a?b)是常数.

(满分15分).已知正整数n可以表示为2011个数字和相同的自然数之和,同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和,试确定n的最小值.

(满分15分).如图,在△ABC中,∠ABC=∠BAC=70°,P为形内一点,∠PAB=40°,∠PBA=20°,求证:PA+PB=PC.

2012年全国初中数学竞赛(海南赛区)初 赛 试 卷

C

PA

B

(本试卷共4页,满分120分,考试时间:3月11日8:30——10:30)

一、选择题(本大题满分50分,每小题5分) 1、下列运算正确的是( )

A.x?x=x B. 2x?3x=5x C.(x)=x D. x?x=x

2、有大小两种游艇,2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人,3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人,则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为( ) A.129 B.120 C.108 D.96 3、实数a=2012-2012,下列各数中不能整除a的是( ) A.2013 B.2012 C.2011 D.2010

4、如图1所示的两个圆盘中,指针落在每一个数所在的区域上的机会均等,则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是( )

3

236 2236623

图1

5、一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段时间后匀速行驶,过了一段时间,汽车到达下一个车站.乘客上下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶,下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是( )

12624A. B. C. D.

25252525

A B C D

6、要使?x?1有意义,则x的取值范围为

2x?1

111A.1?x? 3 B.? 3 C.?x<3 D. 3 22227、菱形的两条对角线之和为L、面积为S,则它的边长为( )

E A.1L2?4S B.1L2?2S C.12L?4S D.14S?L2 2222

8、如图2,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在BC边上的点F处, C F B 且DE∥BC,下列结论中,一定正确的个数是( ) 图2 ①△CEF是等腰三角形 ②四边形ADFE是菱形 ③四边形BFED是平行四边形 ④∠BDF+∠CEF=2∠A

A.1 B.2 C.3 D.4 29、如图3,直线x=1是二次函数 y=ax+bx+c的图象的对称轴,则有

A.a+b+c=0

B.b>a+c C.b=2a D.abc>0

图3 10、铁板甲形状为直角梯形,两底边长分别为4cm,10cm,且有一内角为60°;铁板乙形

状为等腰三角形,其顶角为45°,腰长12cm .在不改变形状的前提下,试图分别把它们从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过,结果是( )

A.甲板能穿过,乙板不能穿过

B.甲板不能穿过,乙板能穿过

C.甲、乙两板都能穿过 D.甲、乙两板都不能穿过

二、填空题(本大题满分40分,每小题5分) 11、x与y互为相反数,且x?y?3,那么x?2xy?1的值为__________.

12、一次函数y=ax+b的图象如图4所示,则化简a?b?b?得________.

22图4 213、若x=-1是关于x的方程ax+2011ax-2012=0的一个根,则a的值为__________.

14、一只船从A码头顺水航行到B码头用6小时,由B码头逆水航行到A码头需8小时,则一块塑料泡沫从A码头顺水漂流到B码头要用______小时(设水流速度和船在静水中的速度不变).

15、如图5,边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于E、F,则阴影部分的面积是 .

16、如图6,直线l平行于射线AM,要在直线l与射线AM上各找一点B和C,使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形,这样的三角形最多能画_______个.

C F 图5 图6 AEB=145°,则∠DBE的度数是图7 ________. 17、如图7,△ABC与△CDE均是等边三角形,若∠C D18、如图8所示,矩形纸片ABCD中,AB=4cm,BC=3cm,

D- 12 -

EB

图8

把∠B、∠D分别沿CE、AG翻折,点B、D分别落在对角线 AC的点B'和D'上,则线段EG的长度是________.

三、解答题(本大题满分30分,每小题15分)

19、某市道路改造工程,如果让甲工程队单独工作,需要30天完成,如果让乙工程队单独工作,则需要60天方可完成;甲工程队施工每天需付施工费2.5万元,乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题:

(1)甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程?

(2)甲、乙两个工程队一起合作10天后,甲工程队因另有任务调离,剩下的部分由乙工程队单独做,请问共需多少天才能完成此项工程?

(3)如果要使整个工程施工费不超过65万元,甲、乙两个工程队最多能合作几天? (4)如果工程必须在24天内(含24天)完成,你如何安排两个工程队施工,才能使施工费最少?请说出你的安排方法,并求出所需要的施工费.

20、如图9,四边形ABCD是矩形,点P是直线AD与BC外的任意一点,连接PA、PB、PC、PD.请解答下列问题:

(1)如图9(1),当点P在线段BC的垂直平分线MN上(对角线AC与BD的交点Q除外)时,证明△PAC≌△PDB;

2222

(2)如图9(2),当点P在矩形ABCD内部时,求证:PA+PC=PB+PD;

(3)若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中,点B的坐标为(1,1),点D的坐标为(5,3),如图9(3)所示,设△PBC的面积为y,△PAD的面积为x,求y与x之间的函数关系式. M

B C N

图9(1)

2012年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷参考答案 一、选择题(本大题满分50分,每小题5分)

- 13 -

图9 (2)

79、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a+b+c<0,当x=-1时有a-b+c>0,即a+c>b,即b<a+c,函数的对称轴为x??b?1,则b=-2a,因为抛物线的开口向上,所以a>0,抛物线

2a

与y轴的交点在负半轴,所以c<0,由b=-2a可得b<0.所以abc>0,因而正确答案为D 10、分析:分别计算铁板的最窄处便可知,如图A,直角梯形,AD=4cm,BC=10cm,∠C=60°,过点A过AE//CD,交BC于点E,过点B作BE⊥CD于点F,可求得AB=63cm>8.5cm,BE=53cm>8.5cm 铁板甲不能穿过,如图B,等腰三角形ABC中,

顶角∠A=45°,作腰上的高线BD,可求得BD=6cm<8.5cm, 所以铁板乙可以穿过; 所以选择B

二、填空题(本大题满分40分,每小题5分)

11、 ?5 12、a+1 13、 a1=2012, a2=-1 14、48

4

D

A

D

E C C A 图B 图A

E

15、1单位面积 16、3个 17、85° 18、

4

B 17、分析:易证△CEA与△CDB全等,从而有∠DBC=∠EAC,因为,

∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°, 所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°

18、分析:AB=4cm,BC=3cm,可求得AC=5cm,由题意可知

DC B'=BC=3cm,A B'=2cm设BE=x,则AE=4-x,则有(4-x)2-x2 =22,

x=1.5cm,即BE=DG=1.5cm,过点G作GF⊥AB于点F,则 可求出EF=1 cm,所以EG=2?32?

C

D

图7 D

图8

三、解答题(本大题满分30分,每小题15分)

19、本题满分15分,第(1)、(2)、(3)小题,每小题4分,第(4)小题3分. 解:(1)设甲、乙两个工程队一起合作x天就可以完成此项工程,依题意得:

(

11解得:x=20 答:甲、乙两个工程队一起合作?)x?1,3060

EB

20天就可以完成此项工程.

(2)设完成这项道路改造工程共需y天,依题意得:1?10?y?1,解得y=40 。

30

60

答:完成这项道路改造工程共需40天.另:也可列方程:10(1?1)?1(y?10)?1

306060 (3)因为甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元,乙工程队单独完成工程需1×60=60万元,

要想使施工费尽可能少,甲工程队要少参与,即合作的时间要尽可能少,剩下的由乙单独完成,设甲、乙两个工程队合作a天,则由题意可知乙工程队还需单独做(60-3a)天,得: (1+2.5)a +1×(60-3a)≤65

3.5 a+60-3 a≤65 a≤10 答:甲、乙两个工程队最多能合作10

天.

(4)由题意知,甲、乙两个工程队单独做都不可能在规定时间内完成,必须合作,又甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元,乙工程队单独完成工程需1×60=60万元,75>60,因而应安排乙工程队在工程期限内尽可能多做,即做满24天。设应安排他们合作m天,由题意可得:

- 14 -

11m??24?1 解得:m=18. 即,安排甲、乙两工程队合作18天,剩下的部3060

分乙工程队单独做6天. 施工费为:2.5×18+1×24=69(万元). 20、本题满分15分,第(1)、(2)、(3)小题各5分.

解:(1)作BC的中垂线MN,在MN上取点P,连接PA、PB、PC、PD, 如图9(1)所示,∵MN是BC的中垂线,所以有PA=PD,PC=PB,

又四边形ABCD是矩形,∴AC=DB ∴△PAC≌△PDB(SSS) (2)证明:过点P作KG//BC ,如图9(2) ∵四边形ABCD是矩形,∴AB⊥BC,DC⊥BC

222

∴AB⊥KG,DC⊥KG, ∴在Rt△PAK中,PA=AK+PK B 222222222同理,PC=CG+PG ;PB= BK+ PK,PD=+DG+PG 222222,222222PA+PC= AK+PK+ CG+PG ,PB+ PD= BK+ PK +DG+PG

AB⊥KG,DC⊥KG,AD⊥AB ,可证得四边形ADGK是矩形,

∴AK=DG,同理CG=BK , 22222222

∴AK=DG,CG=BK ∴PA+PC=PB+PD

M

C

N 图9(1)

图9(2)

(3)∵点B的坐标为(1,1),点D的坐标为(5,3) ∴BC=4,AB=2 ∴S矩形ABCD=4×2=8 作直线HI垂直BC于点I,交AD于点H ①当点P在直线AD与BC之间时

S?PAD?S?PBC?

1

BC?HI?4 2

1

BC?HI?4 2

1

BC?HI?4 2

即x+y=4,因而y与x的函数关系式为y=4-x ②当点P在直线AD上方时,S?PBC?S?PAD?

图9(3)

即y -x =4,因而y与x的函数关系式为y=4+x ③当点P在直线BC下方时, S?PAD?S?PBC?

即x - y =4,因而y与x的函数关系式为y=x-4

2012年全国初中数学竞赛试卷答案(福建赛区) 一、选择题(每小题7分,共35分)

1.如果实数a,b,c

在数轴上的位置如图所示,那么代数式

a?bb?c可以化简为( C )

A.2c?a B.2a?2b C.?a D.a

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知b?a?0?c,且b?

c,所以

a?bb?c??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a

2.在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x?y?2x?2y的整数点坐标(x,y)的个数为( B )A.10 B.9 C.7 D.5

解:由题设x?y?2x?2y,得0?(x?1)?(y?1)?2.因为x,y均为整数,所以

- 15 -

2

2

2

2

22

2222??(x?1)?0??(x?1)?1??(x?1)?0??(x?1)?1,?,?,? ?2222??(y?1)?0??(y?1)?0??(y?1)?1??(y?1)?1

?x?1?x?1?x?1?x?0?x?2?x?0?x?0?x?2?x?2解得?,?,?,?,?,?,?,?,?,以上y?1y?2y?0y?1y?1y?0y?2y?0y?2?????????

共计9对(x,y)

3.如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.?ADC?30?,AD = 3,BD = 5,则CD的长为( B )A.32 B.4 C.25 D.4.5 解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.由于AC = BC,CD = CE,

?BCD??BCA??ACD??DCE??ACD??ACE.

所以 △BCD≌△ACE, BD = AE.又因为?ADC?30?,所以?ADE?90?.

在Rt△ADE中,AE?5,AD?3,于是DE

?4,所以CD = DE = 4.

4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( D )A.1 B.2 C.3 D.4 解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,x,y均为非负整数.

?x?2?n(y?2)由题设可得 ?.消去x得,(2y?7)n?y?4,y?n?2(x?n)?

(2y?7)?1515. 2n??1?2y?72y?7

15因为为正整数,所以2y?7的值分别为1,3,5,15.y的值只能为4,5,6,11. 2y?7

从而n的值分别为8,3,2,1.所以 x的值分别为14,7,6,7.

5.黑板上写有1,?共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数111

23100

a,b,然后删去a,b,并在黑板上写上数a?b?ab,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( C )A.2012 B.101 C.100 D.99

解:因为a?b?ab?1?(a?1)(b?1),所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变.

设经过99次操作后黑板上剩下的数为x,则x?1?(1?1)(?1)(?1)?...?(1

2131?1), 100

解得,x?1?101,x?100.

二、填空题(每小题7分,共35分)

6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作.如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是

7?x?19 .

解:前四次操作的结果分别为

由3x?2,3(3x?2)?2?9x?8,3(9x?8)?2?27x?26,3(27x?26)?2?81x?80.

?27x?26?487.解得7?x?19.

?81x?80?487

容易验证,当7?x?19,3x?2?487,9x?8?487,故x的取值范围是7?x?19.

7.如图,⊙O的半径为20,以OA为对角线作矩形OBAC,且OC?12.

延A是⊙O上一点.已知得,?

- 16 -

28

长BC,与⊙O分别交于D,E两点,则CE?BD的值等于 5 .

解:如图,设DE的中点为M,连接OM,则OM?DE.

OB?OC16?1248因为OB??16,所以OM?,

??BC205

3664. CM??,BM?55

643628. ?BM?CM???CE?BD?(EM?CM)?(DM?BM)555

2011x398.如果关于x的方程x2?kx?k2?3k??0的两个实数根分别为x1,x2,那么1

2012 42x2

2?的值为 3 .

32922解:根据题意,关于x的方程有??k?4(k?3k?)?0,由此得(k?3)?0. 42

22又(k?3)?0,所以(k?3)?0 ,k?3. x120111293?? 此时方程为x?3x??0,解得x1?x2??.故2012?x2x23422

9.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分.比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 8 .

解:设平局数为a,胜(负)局数为b,由题设知 2a?3b?130.由此得0?b?43. (m?1)(m?2),所以2a?2b?(m?1)(m?2). 2

于是0?b?130?(m?1)(m?2)?43,87?(m?1)(m?2)?130.

由此得m?8或m?9.

a?b55当m?8时,b?40,a?5;当m?9时,b?20,a?35,a?不合题设.故?.22

m?8.

10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD?DC.分别延长BA,CD,交点为E.作BF?EC,并与EC的延长线交于点F.若AE?AO,BC?6,则CF的长为 32

2 .

解:如图,连接AC,BD,OD. 由AB是⊙O的直径知?BCA??BDA?90?. 依题设?BFC?90?,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,

BCBA所以?BCF??BAD.所以Rt△BCF∽Rt△BAD,因此 . ?CFAD

因为OD是⊙O的半径,AD?CD,

DEOE所以OD垂直平分AC,OD∥BC,于是 ??2. DCOB

因此DE?2CD?2AD,CE?3AD.由△AED∽△CEB,知DE?EC?AE?BE. BA3BA3因为AE?,BE?BA,所以 2AD?3AD??

BA,BA?. 2222又a?b?

- 17 -

故CF?AD?BC??. BA2三、解答题(每题20分,共80分)

11.如图,在平面直角坐标系xOy中,AO?8,AB?AC,sin?ABC?4.CD与y轴5

交于点E,且S△COE?S△ADE.已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物

线对应的二次函数的解析式.

解:因为sin∠ABC =

由勾股定理,得BO?AO4

?,AO?8,所以AB = 10. ?6.易知△ABO≌△ACO,

因此 CO = BO = 6. 于是A(0,?8),B(6,0),C(?6,0).

设点D的坐标为(m,n).由S△COE?S△ADE,得S△CDB?S△AOB. 1111所以 BC?n?AO?BO,?12(?n)??8?6.解得 n??4. 2222

因此D为AB的中点,点 D的坐标为(3,?4).因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,

8点E为△ABC的重心,所以点E的坐标为(0,?). 3

设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y?a(x?6)(x?6).将点E的坐

2标代入,解得a =. 故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为27

228y?x?. 273

12.如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心.

求证:(1)OI是△IBD的外接圆的切线;(2)AB?AD?2BD.

解:(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

?CID??IAD??IDA,?CDI??CDB??BDI??BAC??IDA??IAD??IDA.

所以?CID??CDI, CI = CD.

同理,CI = CB .故点C是△IBD的外心.连接OA,OC,因为I是AC的中点,

且OA = OC,所以OI⊥AC,即OI⊥CI .故OI是△IBD外接圆的切线.

(2)如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F.

??CD?,知OC⊥BD. 由BC

因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以Rt△BCF≌Rt△AIE.所以BF = AE. 又因为I是△ABD的内心,所以AB?AD?BD?2AE?BD?BD?2BF?BD.

故AB?AD?2BD.

13.已知整数a,b满足:a?b是素数,且ab是完全平方数.当a?2012时,求a的最

小值.

【解答1】设a?b?m(m是素数),ab?n(n是正整数).

因为 2(a?b)2?4ab?(a?b)2,所以 (2a?m)2?4n2?m2,

(2a?m?2n)(2a?m?2n)?m2.

因为2a?m?2n与2a?m?2n都是正整数,且2a?m?2n?2a?m?2n(m为素数),

2所以 2a?m?2n?m,2a?m?2n?1.

2(m?1)2m2?1(m?1)解得a?, n?. 于是b?a?m?.又a?2012,即444- 18 -

(m?1)2

?2012. 4

(89?1)2

又因为m是素数,解得m?89. 此时,a?=2025. 当a?2025时,m?89,4

b?1936,n?1980.因此,a的最小值为2025.

【解答2】设a?b?m(m是素数),ab?n(n是非负整数)。

由于2012?2?1006,2013?3?671,2014?2?1007,2015?5?403,2016?2?1008,

因此,2012,2013,2014,2015,2016都不是质数。 5分

由于?2????44,且2017不能被2,3,4,?,44整除,

因此,2017是质数。???? 10分

(1)当n?0,即b?0时,由a?2012以及a?b是素数知,a的最小值为2017。???? 15分

(2)当n?0时,b?1,a?2012?1?2013,

由于2013,2014,2015,2016都不是质数,而2017是质数。

当a?2017时,b?6,ab不是完全平方数。所以,此时a?2017。

由(!)、(2)可知,a的最小值为2017。 ????? 20分

14.将2, 3, ,?n(n?2)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a,,bc(可以相同)使得a?c,求n的最小值.

解:当n?2?1时,把2, 3, ,?n分成如下两个数组:16b

 3, ,2 2?1, ?, 2?1?和?4, 5, ?, 2?1?. ?2,

 3, ,2 2?1, ?, 2?1?中,由于3?2(,2)?2在数组?2,881688816388216?1,所以其中不存在

数a,,bc,使得a?c.

b48 5, ?, 2?1中,在数组4,由于4?2?1,所以其中不存在数a,,使得a?c. bc,b?8?

所以,n?2.

下面证明当n?2时,满足题设条件.不妨设2在第一组,若2?4也在第一组,则结论

248已经成立.故不妨设2?4在第二组. 同理可设4?2在第一组,(2)?2在第二组. 821616162

b?8,c?2,此时a?c;如果8在第二此时考虑数8.如果8在第一组,我们取a?2,8b

b?8,c?2,此时a?c.综上,n?2满足题设条件.所以,n的组,我们取a?4,

最小值为2.

注:也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况得到n最小值为65536. 2012年全国初中数学竞赛试题 1616b16

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.

11.如果a??2?2,那么1?的值为( ). 12?3?a

(A)?2 (B)2 (C)2 (D)22

2.在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2?y2≤2x+2y的整数点坐标(x , y)的个数为( )(A)10 (B)9 (C)8 (D)7

- 19 -

3.如果a,b为给定的实数,且1?a?b,那么1,a?1, 2a?b,a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ). (A)1 (B)

2a?111

(C) (D)

244

4.如果关于x的方程x2?px?q?0(p、q是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的个数是( ).(A)5 (B)6 (C)7 (D)

8

5.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为p0,p1,p2,p3,则p0,p1,p2,p3中最大的是( ). (A)p0 (B)p1 (C)p2 (D)p3

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

11110

6.如果a、b、c是正数,且满足a?b?c?9,???,那么

a?bb?cc?a9

abc

的值为 . ??

a?bc?aa?b7.如图,正方形ABCD的边长为,E,F分别是AB,BC的中

点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是 .

398.如果关于x的方程x2+kx+k2-3k+= 0的两个实数根分别为

24

x1,x2,那么

x1x2

20112012

的值为 .

9.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为

单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .

10.已知n 是偶数,且1≤n≤100,若有唯一的正整数对(a,b)使得a2?b2?n成立,则这样的n的个数为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

(m?3)x?m?2,当?1?x?3时,11.二次函数y?x2?

(m?3)x?m?2?0的两个恒有y?0;关于x的方程x2?

A

实数根的倒数和小于?

9

.求m的范围. 10

12.如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心.求证:

(1)OI是△IBD的接圆的切线;

- 20 -

B

D

C

( 第12题 )

(2)AB+AD=2BD.

13.已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值.

14.将2,3,?,n(n≥2)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a,b,c(可以相同)使得a?c,求n的最小值.

2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷

一、选择题

⑴若四个互不相等的正实数a,b,c,d满足?a2012?c2012??a2012?d2012??2012,b?b2012?c2012??b2012?d2012??2012,则?ab?2012??cd?2012的值为()

?A??2012 ?B??2011 ?C?2012 ?D?2011

⑵一个袋子中装有4个相同的小球,它们分别标有号码1,2,3,4.摇匀后随机取出一球,记下号码后放回;再将小球摇匀,并从袋中随机取出一球,则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为()?A?1135 ?B? ?C? ?D? 4288⑶如图,矩形纸片ABCD中,AB?3,AD?9,将其折叠,使点D与点B重合,得折痕EF,则EF的长为()(A

(B

) (C

(D

- 21 -

⑷在正就变形ABCDEFGHI中,若对角线AE?2,则AB?AC的值等于()

35(D) 2 2

⑸有n个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动,规定每人至少参加1 项比赛,至多参加2项比赛,但乙、丙两项比赛不能同时兼报,若在所有的报名方式中,必存在一种方式至少有20个人报名,则n的最小值等于 ( ) (A) 171 (B) 172 (C) 180 (D) 181

二、填空题

1??2,则x2?2的值为 x⑺若四条直线x?1,y??1,y?3,y?kx?3所围成的凸四边形的面积等于12,则k的值为(A

(B)2 (C)__________.

⑻如图,半径为r的?O沿折线ABCDE作无滑动的滚动,如果AB?BC?CD?DE?2?r,?ABC??CDE?150?,?BCD?120?,那么,?O自点A至点E转动了__________周

.

(9)如图,已知△ABC中,D为BC中点,E,F为AB边三等分点,AD分别交CE,CF于点M,N,则AM:MN:ND等于

_______.

(10)若平面内有一正方形ABCD,M是该平面内任意点,则

三、解答题

⑾已知抛物线y=x2+mx+n经过点(2,-1),且与x轴交于两点A(a,0) B(b,0),若点P为该抛物线的顶点,求使△PAB面积最小时抛物线的解析式。

- 22 - MA?MC的最小值为______. MB?MD

⑿如图,分别以边长1为的等边三角形ABC的顶点为圆心,以其边长为半径作三个等圆,得交点D、E、F,连接CF交?C于点G,以点E为圆心,EG长为半径画弧,交边AB于点M,求AM的长。

⒀已知p与5p2-2同为质数,求p的值。

?x<a+1⒁已知关于x的不等式组?的解集中的整数恰好有2个,求实数a的取值范围。 2x-2>a?

答案及详解

(2)答案:A。可将a2012与b2012看做方程(x?c2012)(x?d2012)?2012的两个解,则?ab?2012??cd?2012化为x1x2??cd?2012,因为x1x2?c2012d2012?2012,所以原式??2012

(3)答案:D。可以分四种情况讨论:若第一次抽出1号球,则第二次抽出任一球都1可满足条件,概率为?1;若第一次抽出2号球,则第二次抽出2,3,4号球可满足要求,概4

1312率为?;若第一次抽出3号球,则第二次抽出3,4号球可满足要求,概率为?;若第4444

115一次抽出4号球,则第二次抽出4号球可满足要求,概率为?;加和得到最后概率为 448

(4)答案:C。因为BE?ED,AD?9,所以BE?AE?9,根据勾股定理得到AE2?AB2?BE2,得到AE?4,BE?5,易得BF?BE,过点E作EG?BF于G,

- 23 -

GF?5?4?

1,EF?(5)答案:B。如图,设O为正九边形ABCDEFGHI的中心,连结OE、OA,则?AOE?160?,??OEA?10?,又易得?OED?70?,??DEA?60?,在AE上截取EP?ED

180??80?

连结DP、PC,?PDC?140?60?80,??DPC??50?,??CPA?70?,又2

,,,又??CAP??BAP??BAC?40???CAP?70??AC?AP

?AB?DE?EP?AE?AB?

AC ???

(6)答案:B。对于一个人来说,他的报名方式有两种:报一项或两项。报一项比

2?1?5种,每个人报名方式有9种,要求有20赛的方式有4种,报两项比赛的方式有C4

人相同,可以让每一种方式都有19个人,然后只要任意一种再加一个人即可。所以应该为n?19?9?1?172

2112(7

)答案:?

???2??4,展开后x??2?4,x??6,xx1?

,?x??2?

8即?8,x

2

x2?1?1??x????2xx??

(8)答案:1或?2。无论k为正或负,围成的图形均为直角梯形或直角三角形,面积都等于中位线乘以高,高为4,则中位线为3。中位线一定在y?1这条直线上,则可得到中点坐标为?4,1?或??2,1?,则代入y?kx?3得到k?1或?2

1(9)答案:4。AB、BC、CD、DE的长度刚好为圆的一个周长,4段线段长度和3

为4倍周长,也就是圆转了4周,但经过点B从AB到BC时,从与AB相切到与BC相切转动了一个?ABC补角的度数,同理C、D两点都要转一个补角度数,总共转了120?,即周长

(10)答案:5:3:2。如图,作PD//BF,QE//BC,PD:BF?1:2,

?DN:NA?PD:AF?1:4,?ND?131AD,AQ:QD?QE:BD?AE:AB?1:3,5

- 24 -

?AQ?11211AD,QM?QD??AD?AD,44363

1AD,?AM:MN:ND?

5:3:2 2?AM?AQ?QM?

。如图,通过勾股定理易得MA2?MC2?MB2?MD2,AC2?MA2?MC2?2MA?MC?cos?AMC,BD2?MB2?MD2?2MB?MD?cos?BMD,

MA?MCcos?BMD,?AC?BD?MA?MC?cos?AMC?MB?MD?cos?BMD,?MB?

MDcos?AMC(11

MA?MCcos?BMD2222又,所以当最??MA?MC?MB?MDMB?MDcos?AMC小时,这个值最小,所以当?BMD?90?,?AMC?0?时最小,即点M与点A、C重合时

(12)因为y?x2?mx?n经过?2,?1?,代入得,n??2m?

5,|AB|,

1P点纵坐标为?m2?2m?5,

S△PAB4m??4时S△PAB最小,解析式为y?x2?4x?3

(13)如图,过点E作EP?AB,连结EA、EC,易得△EAC为正三角形,所以

又?CG?AB,?

EC?CG?EM?EG?

?EAP?60?,?EP?EC//AB,

PM?

,?AM?PM?AP? 1,AP

?

,2

- 25 -

(14)5p2?2?5?p?1??p?1??3,①当p?1?3n?n?1?,即p?3n?1时,3|5?p?1??p?1??3,即5p2?2为合数,不符合题意;②当p?1?3n?n?1?,即p?3n?1时,3|5?p?1??p?1??3,即5p2?2为合数,不符合题意;③当p?3n?n?2?时,p为合数,不符合题意;此时p只能取3,当p?3时,5p2?2?43为合数符合题意,所以p?3

(15)

2012年全国初中数学联赛(浙江赛区)试题及参考答案

第一试

- 26 -

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

b?

c?1.

已知a?

1,2,那么a,b,c的大小关系是 ( )

A. a?b?c B. a?c?b C. b?a?c D.b?c?a

2.方程x?2xy?3y?34的整数解(x,y)的组数为 ( ) 22

A.3. B.4. C.5. D.6.

3.已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于

点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为 ( )

A

C

D

22444.已知实数a,b满足a?b?1,则a?ab?b的最小值为 ( )

A.?19. B.0. C.1. D.. 88

223235.若方程x?2px?3p?2?0的两个不相等的实数根x1,x2满足x1?x1?4?(x2?x2),

则实数p的所有可能的值之和为 ( )

A.0. B.?35. C.?1. D.?. 44

6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd(数字可重复使用),要求满足a?c?b?d.

这样的四位数共

( )

A.36个. B.40个. C.44个. D.48个.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.已知互不相等的实数a,b,c满足a?

m有 111?b??c??t,则t? . bca2.使得5?2?1是完全平方数的整数m的个数为 .

3.在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则

4.已知实数BC= . AP,a,b,c满足abc??1,a?b?c?4

abc4222,则= a?b?c???222a?3a?1b?3b?1c?3c?19

答案:选择题:1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C

填空题:1.?

12. 1 3. 4.33

2

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的

- 27 -

面积.

解 设直角三角形的三边长分别为a,b,c(a?b?c),则a?b?c?30. 显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c,下面先求c的值.

由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?3c,所以c?10.

由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?2c,所以c?15.

又因为c为整数,所以11?c?14.

根据勾股定理可得a?b?c222,把c?30?a?b代入,化简得ab?30(a?b)?450?0,所以

(30?a)(30?b)?450?2?32?52,

2??a?5,?30?a?5,因为a,b均为整数且a?b,所以只可能是?解得 ?2??b?12.?30?b?2?3,

所以,直角三角形的斜边长c?13,三角形的外接圆的面积为169?. 4

二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证明:AD?BD?CD.

2

证明:连接OA,OB,OC. ∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得PA?PD?PO,AD?PD?OD.

又由切割线定理可得PA?PB?PC,∴PB?PC?PD?PO,∴D、B、C、O四点共圆, ∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD, ∴222PDBD2,∴AD?PD?OD?BD?CD. ?CDOD

12三.(本题满分25分)已知抛物线y??x?bx?c的顶点为P,与x轴的正半轴交6

于A(x1,0)、B(x2,0)(x1?x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,?),若AM//BC,求抛物线的解析式.

解 易求得点P(3b,b?c),点C(0,c).

323

22

- 28 -

设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为(3b,m).

显然,x1,x2是一元二次方程?12x?bx?c?

0的两根,所以x1?3b

,6

x2?3b,又AB的中点E的坐标为(3b,0),所以AE

.

因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得AE2?PE?DE,

即2?(b2?c)?|m|,又易知m?0,所以可得m??6.

22又由DA=DC得DA?

DC,即?m?(3b?0)?(m?c),把m??6222232

代入后可解得c??6(另一解c?0舍去).

3|?|OAOM又因为AM//BC,所以?. ?

OBOC|?6|55(另一解b??舍去). 22

125因此,抛物线的解析式为y??x?x?6. 62把c??6代入解得b?2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷

.选择题(每小题7分,共42分)

.若x<1,则化简|x-1|得( ).

A.x-1 B.x+1 C.-x-1 D.-x+1

.已知(x+a)(x-b)=x2+2x-1,则ab等于( ).

A.-2 B.-1 C.1 D.2

.若a<0,p>q>0,则( ).

A.|pq|>|qa| B.|pq|<|qa| aa?pq C.pq?a D.a

.已知凸四边形ABCD对角线交于O,满足AO=OC,BO=3OD,若△ADO的面积为1,则凸四边形ABCD的面积为( ).A.4 B.6 C.8 D.10

.若|a-1|+|a-2|<3,则a的取值范围是( ).

A.a<0 B.0<a<3 C.3<a D.1<a<2

在凸四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠B=60°,AD=2CD=

,则AB=( ).A.4

B.

C.6 D.

.填空题(每小题7分,共28分)

.如果每人工作效率相同,a个人b天共做c个零件,那么要做a个零件,b个人需要的天数是___.(用含a、b、c的代数式表示)

- 29 -

.若aa2?1a2的值为_____.

.两个单位正方形,其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心,则两个正方形重叠部分的面积为______.

.P为矩形ABCD内的一点,且PA=2,PB=3,PC=4,则PD的长等于____. .计算与应用(本题满分20分)

.已知直线y=kx+b经过点A(1,1)和点B(-1,3),且与x轴、y轴的交点分别为C、D.设O为坐标原点,求△COD的面积.

.(本大题满分25分)

.在△ABC中,∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分线.

求证:BC=AC+AD.

.(本大题满分25分)

把1到15的15个自然数分成A和B两组.若把10从A组转移到B组.则A、B两组数的1

平均数都分别比原来的减少了2.求两组数原来的平均数.

2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1

、如果a??21?1

2?3?a的值为【 】

(A

) (B

(C)2 (D

)解:B∵3?a?1?2∴11?2?1,2??2?1,3?a3?a112?3?a?2?1因此原

式=2

2、 在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x?y?2x?2y的整数点坐标(x,y)的个

数为【 】(A)10 (B)9 (C)7 (D)5

解:B解法一:x?y?2x?2y化为?x?1???y?1??2 222222

因为x、y均为整数,因此?x?1???y?1??0或?x?1???y?1??1或2222?x?1?2??y?1?2?2

- 30 -

分别解得??x?1?x?0或??y?1?y?1?x?2?x?1??y?1??y?0?x?1?x?0或???y?2?y?2?x?2??y?2?x?0??y?0?x?2所以共??y?0有9个整点

解法二:x?y?2x?2y化为?x?1???y?1??2它表示以点(1,1)为圆心,2为2222

半径的圆内,画图可知,这个圆内有9个(0,2)、(0,1)(0,0),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)

3、如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.?ADC?30?,AD = 3,BD = 5,则CD的长为【 】

(A)32 (B)4 (C)25 (D)

4.5

解:图,以CD为边作等边△CDE,连接AE. 由于AC = BC,CD = CE,

?BCD??BCA??ACD??DCE??ACD??ACE.所以 △BCD≌△ACE, BD = AE.

又因为?ADC?30?,所以?ADE?90?.在Rt△ADE中,AE?5,AD?3, 于是

?4,所以CD = DE = 4.

4、如果关于x的方程x2?px?q?0(p,q是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的个数是【 】(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 解:C∵p、q是正整数∴??p?4q?0,x1?x2??q?0∴正根为2p?p2?4q?3 2

解得q?9?3p∴??p?1?p?1?p?1?p?1?p?1?p?2?p?2 ,?,?,?,?,?,??q?1?q?2?q?3?q?4?q?5?q?1?q?2

- 31 -

5、黑板上写有1,111,,?,共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个23100

数a,b,然后删去a,b,并在黑板上写上数a?b?ab,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是【 】(A)2012 (B)101 (C)100 (D)99 解:C a?b?ab?(a?1)(b?1)?1∵计算结果与顺序无关 111,,(1?1)(?1)?1?2(2?1)(?1)?1?3(3?1)(?1)?1?4,?? ∴顺次计算得:234

1(99?1)(?1)?1?100 100

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、如果a,b,c是正数,且满足a?b?c?9,11110,那么???a?bb?cc?a9abc的值为 . ??b?cc?aa?b

11110解:7在两边乘以a?b?c?9得???a?bb?cc?a9

cabcab3????10即???7 a?bb?cc?aa?bb?cc?a

7、如图,⊙O的半径为20,以OA为对角线作矩形OBAC,且OC?12.延A是⊙O上一点.

28

长BC,与⊙O分别交于D,E两点,则CE?BD的值等于 5 .

解:如图,设DE的中点为M,连接OM,则OM?DE.

因为OB??16,所以OM?OB?OC16?1248,

??BC205

CM??3664. ,BM?55

643628. ??555?BM?CM?CE?BD?(EM?CM)?(DM?BM)

8、设n为整数,且1≤n≤2012. 若(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除,则所有n的个数为 .

解:1600n?n?3n?n?3?n?3

44?2??2??2?2?n2?n4?5n2?9 因此5|n?9,所以n?1(mod5),因此n?5k?1,或5k?22012?5?402??2所以共有2012-402=1600个数

9、如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数.若(a,b,c)(x,y,z)

- 32 -

a111和均为三角形数,且a≤b≤c,则的取值范围是 . (cabc

解:3?5a??1 2c

?a?b?c?依题意得:?111,所以b?c?a,代入(2)得 ????bca

11111????,两边乘以a得 abcc?ac

aac?aa化简得a2?3ac?c2?0,两边除以c2得 1??即?c?accc?a

a3?5a3?a?a?另一方面:a≤b≤c,所以?1综合得?????3?1?0所以c2c2c?c?2

3?a??1 2c

10、已知n是偶数,且1≤n≤100.若有唯一的正整数对使得a2?b2?n成立,则(a,b)

这样的n的个数为 .

22n?a?b??a?b??a?b? 解:依题意得

由于n是偶数,a+b、a-b同奇偶,所以n是4的倍数当1≤n≤100时,4的倍数共有25个

但是4?2?2,24?2?12?4?6,32?2?16?4?8,40?2?20?4?10, 48?2?24?4?12?6?8,56?2?28?4?14,60?2?30?6?10,64?2?32?4?16

72?2?36?4?18?6?12,80?2?40?4?20?8?10,88?2?44?4?22 96?2?48?4?24?6?16?8?12

这些不符合要求,因此这样的n有25-12=13个

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11、如图,在平面直角坐标系xOy中,AO?8,AB?AC,sin?ABC?4.CD与y轴5

交于点E,且S△COE?S△ADE.已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.

- 33 -

解:因为sin∠ABC =AO4?,AO?8,所以AB = 10.

AB5

?6.易知△ABO≌△ACO, 因此 CO = BO = 6.

于是A(0,?8),B(6,0),C(?6,0).设点D的坐标为(m,n).由S△COE?S△ADE,得由勾股定理,得BO?S△CDB?S△AOB.

1111所以 BC?n?AO?BO,?12(?n)??8?6.解得 n??4. 因此D为AB的2222

中点,点 D的坐标为(3,?4). 因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为△ABC的

8重心,所以点E的坐标为(0,?). 3

设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y?a(x?6)(x?6).将点E的坐

2标代入,解得a =. 故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为27

228y?x?. 273

12、如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心. 求证:

(1)OI是△IBD的外接圆的切线;(2)AB+AD=

2BD.

(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

?CID??IAD??IDA,

?CDI??CDB??BDI??BAC??IDA??IAD??IDA.

所以?CID??CDI, CI = CD. 同理,CI = CB .

故点C是△IBD的外心.连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA = OC,

所以OI⊥AC,即OI⊥CI .故OI是△IBD外接圆的切线.

??CD?,知OC⊥BD. (2)如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F.由BC

又因为I是△ABD的内心,所以AB?AD?BD?2AE?BD?BD?2BF?BD.故因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以Rt△BCF≌Rt△AIE.所以BF = AE.

- 34 -

AB?AD?2BD.

13、给定一个正整数n,凸n边形中最多有多少个内角等于150??并说明理由. 解:

14、将2,3,?,n(n≥2)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a,b,c(可以相同)使得ab?c,求n的最小值.

解:当n?2?1时,把2, 3, ,?n分成如下两个数组:

16

 3, ,2 2?1, ?, 2?1?和?4, 5, ?, 2?1?. ?2,

 3, ,2 2?1, ?, 2?1?中,由于3?2(在数组?2,,2)?2

8

8

16

8

8

8

16

388216

?1,

所以其中不存在数a,,bc,使得a?c.

b

 5, ?, 2?1中,由于44?28?1, 在数组4,

所以其中不存在数a,,bc,使得a?c. 所以,n?2. 下面证明当n?2时,满足题设条件.

不妨设2在第一组,若22?4也在第一组,则结论已经成立.故不妨设22?4在第二组. 同

48

理可设4?2在第一组,(2)?2在第二组.

82

16

?

8

?

b

16

16

b?8,c?2,此时a?c;如果8在第二此时考虑数8.如果8在第一组,我们取a?2,

8b

b?8,c?2,此时a?c. 组,我们取a?4,

综上,n?2满足题设条件.

所以,n的最小值为2.

注:也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况得到n最小值为65536. 2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题 一、选择题(每题5分,共25分)

222

1、已知三个关于x的一元二次方程ax+bx+c=0,bx+cx+a=0,cx+ax+b=0恰有一个公共根,

16

16

16b

a2b2c2

??则的值为( )A、0 bccaab

2

B、1 C、2 D、3

a2?b2

2、设a、b是整数,方程x+ax+b=0的一根是4?23,则的值为( )

ab

A、2 B、0 3、正实数

C、-2 a1,a2,?.,a2011

D、-1 满足

a1+a2+?..+a2011=1,

P=3a1?1?a2?1?.....?a2011?1,则( ) A、p>2012 B、p=2012

C、p<2012 D、p与2012的大小关系不确定

4、如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点,与反比例函数y?

k

的图象相交于C、D两点,分别过C、D两x

点作y轴,x轴的垂线,垂足为E、F,连接CF、DE,有下列结

- 35 -

论:①△CEF与△DEF的面积相等;②EF∥CD;③△DCE≌△CDF;④AC=BD;⑤△CEF的面积等于

N

k

,其中正确的个数有( )A、2 2

B、3

M

(5题)

C、4 D、5

5、如图,正方形ABCE的边长为1,点M、N分别在BC、CD上,且△CMN的周长为2,则△MAN的面积的最小值为( ) A、2?1

B、22?2

C、22

D、22?1

二、填空题(每题5分,共25分) 6、已知实数x,y满足(x?

7、已知实数

22

x2?2011)(y?y2?2011)?2011,则3x-2y+3x-3y-2012=

a,b,c满足a+b+c=10,且

11114abc,则的?????

b?cc?aa?ba?bb?cc?a17

值是

8、 如图,在平面直角坐标系中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0)、A(0,6)、B(4,6)、C(4,4)、D(6,4),E(6,0),若直线L经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线L 的函数表达式是

9、如图,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在 BC、CD边上,高AG与正方形的边长相等,连BD分别交 AE、AF于点M、N,若EG=4,GF=6,BM=32,则MN 的长为

22

10、x?2x?2?(x?2)?16的最小值为

X

D

三、解答题

C 2

11、边长为整数的直角三角形,若其两直角边边长是方程x-(k+2)x+4k=0的两根,求k的值,并确定直角三角形三边之长。(10分)

12、如图1,等腰Rt△CEF的斜边CE在正方形ABCD的边BC的延长线上,CF>BC,取线段AE的中点M 。

(1)求证:MD=MF,MD⊥MF(6分)

(2)若Rt△CEF绕点C顺时针旋转任意角度(如图2),其他条件不变。(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由。(6分)

- 36 -

F A A

M C E (图

2) E (图1)

13、黄冈市三运会期间,武穴黄商有一种姚明牌运动装每件的销售价y(元)与时间x(周)之间的函数关系式对应的点都在如图所示的图象上,该图象从左至右,依次是线段AB、线段BC、线段CD,而这种运动装

每件的进价Z(元)与时间x(周)之间的函数关系式为12Z=?x?8)?12(1≤x≤16且x为整数) 8

(1)写出每件的销售价y(元)与时间x(周)之间的函数

关系式;(4分)

(2)设每件运动装销售利润为w,写出w(元)与时间x(周)周) 之间的函数关系式;(4分)

(3)求该运动装第几周出销时,每件运动装的销售利润最大?最大利润为多少?(6分)

14、如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,3),直线x=-3交x轴于点B,P为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交于直线x=﹣3于点C。过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于M,交直线x=﹣3于点N。

(1)当点C在第二象限时,求证:△OPM≌△PCN;(4分)

(2)设AP长为m,以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S,请求出S与M之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(6分)

(3)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=-3上移动,△PBC是否可能成为等腰三角形?如果可能,求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标,如果不可能,请说明理由。(4分)

X - 37 -

1、D 2、C

7) 3、A 九年级数学答案 4、C 5、A 6)-1 89 178)y??111x? 33 9)52 10) 11、设直角边为a,b(a<b),则a+b=k+2,ab=4k,因为方程的根为整数,故△=(k+2)2-16k为完全平方数。

222222设(k+2)-16k=n ∴k-12k+4=n ∴(k-6)-n=32

∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8

∵k+n-6>k-n-6 ∴?

解得k1??k?6?n?32?k?6?n?16?k?n?6?32或?或? k?6?n?1k?6?n?2k?n?6?1???45,k2=15,k3=12 (舍去)2

当k2=15时,a+b=17,ab=60 ∴a=15 , b=12 , c=13;当k=12时,a+b=14,ab=48 ∴a=6 , b=8 ,c=10

12、略

13、(1)

?20?2(x?1)(1?x?6且x为整数)?2x?18(1?x?6且x为整数)??y??30(6?x?11且x为整数)即y??30(6?x?11且x为整数) ?30?2(x?11??2x?52()12?x?16且x为整数)(12?x?16且x为整数)??

1?20?2x?(x?8)2?14(1?x?6且x为整数)?8?1?2(6?x?11且x为整数) (2)w??30?x-8)-128??1x-8)2-2x?40(12?x?16且x为整数)?8?

?12?8x?14(1?x?6且x为整数)

??12(6?x?11且x为整数) (3)由(2)化简得w??x?2x?268??12(12?x?16且x为整数)?8x?4x?48?

12x?14时 ∵1≤x≤6 ∴当x=6时,w有最大值,最大值为18.5 8

1212②当w?x?2x?26?(x?8)?18 88

1∵6≤x≤11,故当x=11时,w有最大值,最大值为19 8

1212③当w?x?4x?48时,即w?(x?16)?16 88①当w?

- 38 -

∵12≤x≤16 ∴当x=12时,w有最大值为18

综上所述,当x=11时,w有最大值为191 8

1 8答:该运动装第11周出售时,每件利润最大,最大利润为19

14、(1)略 ?125232m?9........(0?x?)?m??222(2)S??

?32m...................(32?x?32)?2?4

(3)P1(0,3) P2(?3232,3?) 22

2012年全国初中数学竞赛试题(副题)

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.

1. 小王在做数学题时,发现下面有趣的结果:

由上,我们可知第100行的最后一个数是( ).

(A)10000 (B)10020 (C)10120 (D)10200

2. 如图,在3×4表格中,左上角的1×1小方格被染成黑色,则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是( ).

(A)11 (B)12 (C)13 (D)14

3.如果关于的方程有两个有理根,那么所有满足条件的正整数的个数是( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4. 若函数y=(k2-1)x2-(k+1)x+1(k为参数)的图象与x轴没有公共 点,则k的取值范围是( ).

(A)k>,或k<-1 (B)-1<k<,且k≠1

(C)k>,或k≤-1 (D)k≥,或k≤-1

- 39 -

5. △ABC中,为上一点,且,分别为,则上的点,与

平分,BM=CM,的大小关系为( ). (A)

(C) (B) (D)无法确定

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6. 如图,正方形ABCD的面积为90.点P在AB上,

BD上,且,则△PZX的面积为.

;X,Y,Z三点在

(第6题)

7.甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地.乙车比丙车晚5分钟出发,出发后40分钟追上丙车;甲车比乙车晚20分钟出发,出发后100分钟追上丙车,则甲车出发后 分钟追上乙车.

8. 设an=(n为正整数),则a1+a2+?+a2012的值 1.

(填“>”,“=”或“<”)

9.红、黑、白三种颜色的球各10个.把它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种颜色的球都有,且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等, 那么共有 种放法.

10. △ABC中,已知,且b=4, 则a+c三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11. 已知c≤b≤a,且

12. 求关于a,b,c,d的方程组

,求的最小值.

的所有正整数解.

- 40 -

13. 如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AC,BD相交于点O.P,Q分别是AD,BC上的点,且,.求证:OP=OQ.

(第13题)

14.(1)已知

值.

(2)设为非零实数,为正整数,是否存在一列数

满足首尾两项的积等于中间项的平方?

(3)设为非零实数,若将一列数

中的某一项删去后得到又一列数(按原来的顺序),满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.

2012年全国初中数学竞赛试题(副题)参考答案

一、选择题

1.D 解:第k行的最后一个数

2. B解:这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定,由于包含黑色小方格,于是,对角线的一个端点确定,另一个端点有3×4=12种选择.

3.B解:由于方程的两根均为有理数,所以根的判别式

≥0,又2≥

当时,解得

. 时,解得

; ≥0,且为完全平方数.

,所以, ,故第100行的最后一个数

是三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方,求的

4. C解:当函数为二次函数时,有

- 41 -

k2-1≠0,

=(k+1)2-4(k2-1)<0.

解得k>

,或k<-1.

当函数为一次函数时,k=1,此时y=-2x+1与x轴有公共点,不符合题意.

当函数为常数函数时,k=-1,此时y=1与x轴没有公共点.

所以,k的取值范围是k>

5. B

,或k≤-1.

(第5题)

解:如图,设

于是A,B,E,C四点共圆. 因为 是的中点,所以,从而有

,作BKCE,则

平分.

- 42 -

二、填空题

6. 30

(第6题)

解:如图,连接PD,则

7.180

解:设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x,y,z米,由题意知

消去z,得

设甲车出发后t分钟追上乙车,则

,即

解得

8.<

解:由an==, 得

- 43 -

a1+a2+?+a2012=

=

9.25

<1.

解:设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为

1≤

≤9, ,则有

, (1)

于是

此时,y可取1,2,?,8,9(相应地z取 9,8,?,2,1),共9种放法.同理可得y=5,或者z=5时,也各有9种放法.但

9×3-2 = 25种放法.

10. 6

时,两种放法重复.因此共有 .因此中必有一个取5.不妨设,代入(1)式,得到

, (2)

- 44 -

(第10题)

解:如图,设△ABC内切圆为⊙I,半径为r,⊙I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,连接IA,IB,IC,ID,IE,IF.

由切线长定理得

AF=p-a,BD=p-b,CE=p-c,其中p=

(a+b+c).

在Rt△AIF中,tan∠IAF=

,即

tan

.

同理, tan

代入已知等式,得

, tan.

.

因此 a+c=

三、解答题

.

11. 解:已知,又,且

- 45 - ,所以b,c是关于x的一元

二次方程

的两个根.

≥0,

≥0,

所以≥20.

于是

≥30,

12. 解:将abc=d 代入10ab+10bc+10ca=9d得

10ab+10bc+10ca=9abc.

时,等号成立. ≤-10,≥10,从而≥≥10,故

≥0,

因为abc≠0,所以,

不妨设a≤b≤c,则

.

≥ ≥>0.

- 46 -

于是,

<≤,

<≤,

<a≤

从而,a=2,或3.

.

若a=2,则

.

因为 <≤,所以,<≤,<b≤5.

从而,b=3,4,5. 相应地,可得 c=15,

当a=2,b=3,c=15时,d=90;

当a=2,b=5,c=5时,d=50.

(舍去),5.

若a=3,则

.

因为<≤,所以,<≤,<b≤.

从而,b=2(舍去),3.

当b=3时,c=

(舍去).

- 47 -

因此,所有正整数解为

(a,b,c,d)=(2,3,15,90),(2,15,3,90),(3,2,15,90),

(3,15,2,90),(15,2,3,90),(15,3,2,90),

(2,5,5,50),(5,2,5,50),(5,5,2,50).

13. 证明:延长DA至

△DPC∽△

, ,使得,则,于是

所以PO∥

(第13题)

又因为△DPO ∽△

,所以

- 48 -

同理可得

而AB∥CD,所以

,故OP=OQ.

14. 解:(1)由题设可得

.

,或,或

,解得

; ,解得

,解得

.

所以满足题设要求的实数

(2)不存在. 由题设

间项的平方,则有

解得 ,这与矛盾. , . (整数≥1)满足首项与末项的积是中

故不存在这样的数列.

- 49 -

(3)如果删去的是1,或者是

或数列

如果删去的是,则由(2)知, 均为1,1,1,即,这与题设矛盾. ,得到的一列数为,那么

,可得

.

如果删去的是 ,得到的一列数为,那么

,开得

.

所以符合题设要求的的值为1,或.

2012年全国初中数学竞赛试题(正题)

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1(甲).如果实数a,b,c

在数轴上的位置如图所示,那么代数式

可以化简为( ).

(第1(甲)题)

(A)2c?a (B)2a?2b (C)?a (D)a

1(乙).如果(A) (B),那么 (C)2 (D) 的值为( ).

2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

- 50 -

2(乙). 在平面直角坐标系

y)的个数为( ).

(A)10 (B)9 (C)7 (D)5

3(甲).如果中,满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x,为给定的实数,且,那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B) (C) (D)

,(乙)3.如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.

AD = 3,BD = 5,则CD的长为

( ).

(第3(乙)题)

(A) (B)4 (C) (D)4.5

4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4(乙).如果关于x的方程

是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的个数是( ).

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3

的概率为,则

(A) (B) (C)中最大的是( ). (D)

- 51 -

5(乙).黑板上写有

中选取2个数,然后删去共100个数字.每次操作先从黑板上的数,并在黑板上写上数,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).

(A)2012 (B)101 (C)100 (D)99

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是

.

(第6(甲)题)

6(乙). 如果a,b,c是正数,且满足,,那么的值为 .

7(甲).如图,正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是 .

(第7(甲)题) (第7(乙)题)

7(乙).如图,

且.延长,与的半径为20,分别交于是上一点.以两点,则 为对角线作矩形的值等于 . ,8(甲).如果关于x的方程x2+kx+k2-3k+= 0的两个实数根分别为,,那么 的值为 .

8(乙).设为整数,且1≤n≤2012. 若能被5整除,则所有的个数为 .

- 52 -

9(甲).2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .

9(乙).如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数.若和均为三角形数,且a≤b≤c,则的取值范围是 .

10(甲).如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与

EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为

.

(第10(甲)题)

10(乙).已知是偶数,且1≤≤100.若有唯一的正整数对成立,则这样的的个数为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11(甲).已知二次函数,当时,恒有;使得关于x的方程围. 的两个实数根的倒数和小于.求的取值范

11(乙). 如图,在平面直角坐标系xOy中, AO = 8,AB = AC,sin∠ABC=. CD与y轴交于点E,且S△COE = S△ADE. 已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式

.

(第11(乙)题)

- 53 -

12(甲).如图,上的点,线与与交于点的直径为,且,过点.点.

,且与在上,且内切于点.为交于点,BE的延长,求证:△BOC∽△

(第12(甲)题)

12(乙).如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线, AC的中点I是△ABD的内心. 求证:

(1)OI是△IBD的外接圆的切线;

(2)AB+AD = 2BD

.

(第12(乙)题)

13(甲).已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值.

13(乙).凸边形中最多有多少个内角等于

14(甲).求所有正整数n,使得存在正整数?并说明理由 ,满足,且

14(乙).将. (n≥2

)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数,求的最小值. (可以相同)使得2012-04-16 人教网

- 54 -

2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案

一、选择题

1(甲).C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知

,且

所以

1(乙).B

. ,

解:

2(甲).D

解:由题设知, ,,所以.

解方程组得

所以另一个交点的坐标为(3,2).

注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).

2(乙).B

解:由题设x2+y2≤2x+2y, 得0≤

因为均为整数,所以有

- 55 - ≤2.

解得

以上共计9对

3(甲).D

解:由题设知,

. ,所以这四个数据的平均数为

中位数为

于是

.

3(乙).B

解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.

(第3(乙)题)

- 56 -

由于AC = BC,CD = CE,

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE,

所以△BCD≌△ACE, BD = AE.

又因为

在Rt△

于是DE=

4(甲).D

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,

可得

均为非负整数. 由题设,所以CD = DE = 4. 中, ,所以.

消去x得 (2y-7)n = y+4,

2n =

.

因为为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

4(乙).C

解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为

二次函

.

由于的图象知,

当都是正整数,所以时

,,故方程的根为一正一负.由,所

以,即

,1≤q≤2,此时都,1≤q≤5;或

- 57 -

有. 于是共有7组符合题意.

5(甲).D

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所

以,因此

5(乙).C

解:因为最大. ,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变.

设经过99次操作后黑板上剩下的数为,则

解得

二、填空题

6(甲).7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得 27x-26≤487,

81x-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,

7<x≤19.

- 58 - ,. ≤

487 ≤487,故x的取值范围是

6(乙).7

解:由已知可得

7(甲).8

解:连接DF,记正方形

的边长为2. 由题设易知△∽△,所以

由此得 ,所以.

(第7(甲)题)

在Rt△ABF中,因为

- 59 - ,所以

于是

.

由题设可知△ADE≌△BAF,所以

, .

于是

.

又 因为 ,所以,所以. .

7(乙).

解:如图,设所以

的中点为,连接,则.因为,

- 60 -

(第7(乙)题)

所以

.

8(甲).

解:根据题意,关于x的方程有

=k2-4

由此得 (k-3)2≤0.

≥0,

又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+ =0,解得x1=x2=.

故==.

8(乙).1610

解:因为 当被5除余数是1或4时,整除;

当被5除余数是2或3时,能被5整除,则

- 61 - ==. 或能被5整除,则能被5能被5整除;

当被5除余数是0时,

不能被5整除.

所以符合题设要求的所有的个数为

9(甲).8

解:设平局数为,胜(负)局数为,由题设知

由此得0≤b≤43.

0≤

,所以. 于是 ≤43,

87≤

由此得

,或. ≤130,

当 故

时,;当时,,,不合题设. .

9(乙).

解:由题设得

≤1

- 62 -

所以

整理得

.

由二次函数 的图象及其性质,得.

又因为

≤1,所以≤1.

10(甲).

解:如图,连接AC,BD,OD.

(第10(甲)题)

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

- 63 -

依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O

的内接四边形,所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此

.

因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC,

于是

. 因此

.

由△ ∽△,知.因为,

所以

,BA=AD ,故

.

10(乙). 12

解:由已知有4的倍数.设

(Ⅰ)若

(Ⅱ)若至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数

对满足,可得,与b是正整数矛盾. ,则1≤,且为偶数,所以≤25. 同为偶数,于是是

- 64 -

;若恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数对 满足.

(Ⅲ)若是素数,或恰是一个素数的幂,且这个幂指数为2,则有唯一的正整数对 满足.

因为有唯一正整数对

23,25,共有12个.

三、解答题

11(甲).解: 因为当

,所以m的可能值为2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,时,恒有,所以

即,所以.

????(5分)

当 ≤,

解得≤.

????(10分)

≤, 时,≤;当时,≤,即

- 65 -

设方程的两个实数根分别为系数的关系得

因为,所以

解得,或.

因此.

11(乙).解:因为sin∠ABC=,,所以

AB = 10.

由勾股定理,得 BO=.

(第11(乙)题)

易知△ABO≌△ACO, 因此 CO = BO = 6.

- 66 - ,由一元二次方程根与????(20分)

于是A(0,-8),B(6,0),C(-6,0).

设点D的坐标为(m,n),由S△COE = S△ADE,得S△CDB = S△AOB. 所以

解得n=-4.

因此D为AB的中点,点 D的坐标为(3,-4).

????(10分)

因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为△ABC的重心,所以点E的坐标为.

设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a(x-6)(x+6). 将点E的坐标代入,解得a =.

故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为

.

????(20分)

12(甲). 证明:连接BD

,因为

,所以△CBE是等腰三角形.

的直径,所以

.又因为

- 67 -

(第12(甲)题)

????(5分)

????(15分)

又因为

△BOC∽△. 分别是等腰△,等腰△的顶角,所以 与交于点,连接OM,则.又因为,所以

????(20分)

12(乙).证明:(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

(第12(乙)题)

所以 CI = CD.

同理, CI = CB.

- 68 -

故点C是△IBD的外心.

连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA = OC,

所以OI⊥AC,即OI⊥CI.

故OI是△IBD外接圆的切线.

????(10分)

(2) 如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F.

由,知OC⊥BD.

因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以

Rt△BCF≌Rt△AIE,

所以BF = AE.

又因为I是△ABD的内心,所以

AB+AD-BD = 2AE = BD.

故AB+AD = 2BD.

????(20分)

13(甲).解:设a-b = m(m是素数),ab = n2(n是正整数).

因为 (a+b)2-4ab = (a-b)2,

所以 (2a-m)2-4n2 = m2,

2 (2a-m+2n)(2a-m-2n) = m.

????(5分)

因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以

2 2a-m+2nm,2a-m-2n1.

- 69 -

解得

a

,.

于是

= a-

m.

????(10分)

又a≥2012,即

≥2012.

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥

当时,,,. =2025.

因此,a的最小值为2025.

????(20分)

13(乙).解:假设凸边形中有个内角等于

(1)若于,由,得,正十二边形的12个内角都等,则不等于的内角有个. ;

????(5分)

(2)若,且≥13,由,可得,即≤11.

当时,存在凸边形,其中的11

个内角等于

,其余

个内角都等于

- 70 -

????(10分)

(3)若 当一个内角

可得

;由

≥8

可得

,且

时,设另一个角等于

.存在凸边形,其中的

个内角等于

,另

,且≤≤

????(15分)

(4)若其中

综上,当 当≤≤

时,的最大值为

;当3≤≤7时,的最大值为

. ????(20分)

14(甲).解:由于

≥1,

≥2,?,

≥2012.

都是正整数,且

,所以

时,的最大值为12;当≥13时,的最大值为11; ,且3≤≤7,由(3)可知≤

,另两个内角都等于

.当

时,存在凸边形,

个内角等于

于是

≤.

????(10分)

时,令,则

.

- 71 -

????(15分)

,则

时,其中≤≤

,令

综上,满足条件的所有正整数n为

????(20分)

14(乙).解:当

在数组不存在数

在数组.

所以,≥

????(10分)

下面证明当

不妨设2在第一组,若组. 同理可设

- 72 -

时,把分成如下两个数组:

中,由于

,使得

,所以其中

中,由于,所以其中不存在数

,使得

时,满足题设条件.

也在第一组,则结论已经成立.故不妨设

在第二组.

在第二

在第一组,

此时考虑数8.如果8在第一组,我们取在第二组,我们取 综上,

所以,的最小值为. 满足题设条件. ,此时. ,此时;如果8

- 73 - ????(20分)

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