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第四届中国数学奥林匹克 (1989年)

发布时间:2013-12-22 14:40:24  

第四届中国数学奥林匹克 (1989年)

1. 在半径为1的圆周上,任意给定两个点集A、B,它们都由有限段互不相交的弧组成,其中B的每段的长度都等于π/m,m是自然数。用Aj表示将集合A反时针方向在圆同上转动jπ/m弧度所得的集合(j=1, 2, ...)。 求证:存在自然数k,使得L(Aj∩B)≧L(A)L(B)/(2π)。这里L(x)表示组成点集x的互示相交的弧段的长度之和。

2. 设x1, x2, ... , xn都是正数(n≧2)且x1+ x2+ ... +xn=1。求证:

3. 设S为复平面上的单位圆同(即模为1的复数的集合),f为从S到S的映射,对于任意S的元素z,定义f(1)(z)=f(z),f(2)(z)=f( f(z)),...,

f(k)(z)=f( f(k-1)(z) )。如果S的元素c,使得f(1)(z)≠c,f(2)(c)≠c,...,f(n-1)(c)≠c,f(n)(c)≠c。则称c为f的n─周期点。设m是大于1的自然数,f定义为f(z)=zm,试计算f的1989─周期点的总数。

4. 设点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上,且△AEF、△BFD、△CDE的内切圆有相等的半径r,又以r0的R分别表示△DEF 和△ABC的内切圆半径。求证:r+r0=R。

5. 空间中有1989个点,其中任何三点不共线,把它们分成点数各不相同的30组,在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形。

6. 设f:(1, +∞)→(0, +∞)满足以下条件:对于任意实数x、y>1,及u、v>0,有f(xuyv)≦f(x)1/(4u) f(y)1/(4v)。试确定所有这样的函数。

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