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初中数学竞赛辅导资料(12)

发布时间:2013-12-22 15:48:33  

初中数学竞赛辅导资料(12)

用交集解题

甲内容提要

1. 某种对象的全体组成一个集合.组成集合的各个对象叫这个集合的元素.例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个.

2. 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集

例如6的正约数集合A={1,2,3,6},10的正约数集合B={1,2,5,10},6与10的公约数集合C={1,2},集合C是集合A和集合B的交集.

3. 几个集合的交集可用图形形象地表示,

右图中左边的椭圆表示正数集合, 右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆 的公共部分,是它们的交集――正整数集. 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集.

例如 不等式组??2x?6?(1)解的集合就是( ) ?x?2?(2)?

不等式(1)的解集x>3和不等式(2)的解集x>2的交集,x>3.

4有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案. 有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案.(如例2)

乙例题

例1. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值. 解:除以3余2的自然数集合A={2,5,8,11,14,17,20,23,26,……} 除以5余3的自然数集B={3,8,13,18,23,28,……}

除以7余2自然数集合C={2,9,16,23,30,……}

集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数.

例2. 有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数. 解: 二位的质数共21个,它们的个位数字只有1,3,7,9,即符合条件的质数它们的个位数的集合是{1,3,7,9};

其中差等于6的有:1和7;3和9;13和7,三组;

平方数的个位数字相同的只有3和7;1和9二组.

同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组

故所求质数是:23,17; 43,37; 53,47; 73,67共四组.

例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人,订阅B种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A种、只订B种的各几人?数学兴趣小组共有几人? 解:如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合,则两圆重叠部分就是它们

的交集(A、B两种都订的人数集合). ∴只订A种刊物的人数是28-6=22人; 只订B刊物的人数是21-6=15人; 小组总人数是22+15+6+1=44人. 设N,N(A),N(B),N(AB),N

分别表示总人数,订A种、B种、AB两种、都不订的人数,则得 [公式一]N=N+ N(A)+N(B)-N(AB).

例4. 在40名同学中调查,会玩乒乓球的有24人,篮球有18人,排球有10人,同时会

玩乒乓球和篮球的有6人,同时会玩乒乓球和排球的有4人,三种球都会的只有1人, 问:有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球? 解:仿公式一,得[公式二]: N=N+ N(A)+N(B)+N(C)-N(AB)-N(AC)-N(BC)+N(ABC) ①只会打乒乓球的是24-6-4+1=15(人) ②求N(BC)可用公式二:

∵40=24+18+10-6-4-N(BC)+1

∴N(BC)=3, 即同时会打篮球和排球的是3人 ③只会打排球的是10-3-1=6(人)

例5. 十进制中,六位数19xy87能被33整除,求x和y的值

解:∵0≤x,y≤9, ∴0≤x+y≤18, -9≤x-y≤9,x+y>x-y ∵33=3×11,

∴1+9+x+y+8+7的和是3的倍数,故x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8)-(9+y+7)是11的倍数, 故x-y=-4,7

∵x+y和x-y是同奇数或同偶数,∴它们的交集是下列四个方程组的解:

?x?y?8?x?y?14

??

?x?y??4?x?y??4

解得?

?x?y?11

?

?x?y?7?x?9

?y?2?

?x?y?17

?

?x?y?7?x?12

?y?5?

?x?2

y?6??x?5

?y?9?

(x=12不合题意舍去)答:x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2.

丙练习12

1. 负数集合与分数集合的交集是______

2. 等腰直角三角形集合是___三角形集合与___三角形集合的交集. 3. 12的正约数集合A={ },30的正约数集合B={ } 12和30的公约数集合C={ },集合C是集合A和集合B的__ 4. 解下列不等式组并把解集(不是空集)表示在数轴上:

?1

??x?2?x

?2?0?3x?6?x??1

①? ②?③ ?3 ④?

?5x?0?x?2?0??x??5???2x??2

5. 某数除以3余1,除以5余1,除以7余2,求某数的最小值.

6. 九张纸各写着1到9中的一个自然数(不重复),甲拿的两张数字和是10,乙拿的两张

数字差是1,丙拿的两张数字积是24,丁拿的两张数字商是3,问剩下的一张是多少?

7. 求符合如下三条件的两位数:①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数

位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同.

8. 据30名学生统计,会打篮球的有22人,其中5人还会打排球;有2人两种球都不会打.那

么①会打排球有几人?②只会打排球是几人?

9. 100名学生代表选举学生会正付主席,对侯选人A和B进行表决,赞成A的有52票,

赞成B的有60票,其中A、B都赞成的有36人,问对A、B都不赞成的有几人?

10. 数、理、化三科竞赛,参加人数按单科统计,数学24人,物理18人,化学10人;按两科统计,参加数理、数化、理化分别是13、4、5人,没有三科都参加的人.求参赛的总人数,只参加数学科的人数.(本题如果改为有2人三科都参加呢?)

11. x?y?3?x?y?5?0

12. 十进制中,六位数1xy285能被21整除,求x,y的值

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