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竞赛试题:分式方程1

发布时间:2013-12-22 16:48:46  

分式方程竞赛试题

一、选择题(每题5分,共30分) 1.若

12y?3y?7

12

2

的值为,则

8117

114y?6y?9

17

2

的值是( )

17

(A)?2.已知

1x

(B)?

3y?z

?

(C)?,则

x?2y2y?z

(D)

?

5z?x

32

的值为( )

32?

(A)1 (B) (C)?

mx?3

(D)

nx?3

?

8x

2

14

均成立,则mn的值是( )

3.若对于x??3以外的一切数

x?9

(A)8 (B)?8 (C)16 (D)?16 4.有三个连续正整数,其倒数之和是

4760

,那么这三个数中最小的是( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.若a,b,c,d满足

ab?bc?cd?da

,则

ab?bc?cd?daa

2

?b?c?d

222

的值为( )

(A)1或0 (B)?1 或0 (C)1或?2(D)1或?1

6.设轮船在静水中的速度为v,该船在流水(速度为u?v)中从上游A驶往下游B,再返回A,所用的时间为T,假设u?0,即河流改为静水,该船从A至B再返回A,所用时间为t,则( )

(A)T?t (B)T?t (C)T?t (D)不能确定T与t的大小关系 二、填空题(每题5分,共30分) 7.已知:x满足方程

12006?

1a

1b

5a?b

xx?1

ba?ab

?

12006

,则代数式

xx

20042006

?2005?2007

的值是_____.

8. 已知:

??

,则的值为_____.

9.方程x?

1y?

1z

?

107

的正整数解?x,y,z?是_____.

2x?ax?2

10. 若关于x的方程??1的解为正数,则a的取值范围是_____.

1 / 6

11. 若x?1

y?1,y?1

z?1,则xyz?_____.

12.设x,y是两个不同的正整数,且1

x?1

y?2

5,则x?y?_____.

三、解答题(每题10分,共40分)

13. 已知ax?2与bx?2的和等于4xx?42,求a,b之值.

14.解方程:

1

x?x2?1x?3x?22?1x?5x?62?1x?7x?122?1x?9x?202?5x?11x?7082.

15. a为何值时,分式方程

3x?1x?1?x?ax?x?1??0无解?

16. 某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).

(1)扶梯在外面的部分有多少级.

(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?

2 / 6

参考答案

一、选择题

1.解:根据题意, 1

2y?3y?72?18.可得2y2?3y?1.

1

4y?6y?92 所以4y2?6y?9?2?2y2?3y??9??7. 所以

1

x3y?z5z?x??17. 2.解:由??得y?z?3x,z?x?5x.从而z?4x,y??x.

3

2 所以

3.解: x?2y2y?zm??nx?2x?2x?4x?8x?.

x?3x?3x?92.

左边通分并整理,得

?m?n?x??3m?3n?

x?92?8xx?92.

因为对x??3以外的一切数上式均成立,比较两边分子多项式的系数,得 ??m?n?8,

?3m?3n?0.解得??m?4,

?n??4. 所以mn?4???4???16.

4. 解:设这三个连续的正整数分别为x,x?1,x?2.则有 1

x?1

x?1?1

x?2?47

60.

47?1?,?3939?x60?3?x?3. 根据题意,得?解得14747?1?47.?60?3?x?2

因x是正整数,所以x?2或x?3.经检验x?2适合原方程.

5. 解:设 a

b?b

c?c

d?d

a?k,则a?bk,b?ck,c?dk,d?ak.

上述四式相乘,得abcd?abvdk4.从而k??1. 当k?1时,a?b?c?d, ab?bc?cd?da

a?b?c?d2222?1;

当k??1时, a??b?c??d.ab?bc?cd?da

a?b?c?d

3 / 6 2222??4a4a22??1.

6. 解:设A,B相距为s,则T? 所以

Tt?

v

2

2

2

sv?u

?

sv?u

?

2vsv?u

2

2

,t?

2sv

.

v?u

?1,即T?t

二、填空题 7. 解:由

12006?

xx?1

?

12006

,得2006?

xx?1

?2006

.所以?

xx?1

?0.所x?0.

经检验x?0满足原方程. 故8. 解: 由

1a?1b?

5a?b

xx

20042006

?2005?2007

??

20052007

.

,得

a?bab

?

5a?b

.

所以?a?b?2?5ab. 所以

9. 解:由x?

1y?

1z?107

ba?ab?a?bab

2

2

?

?a?b?2

ab

?2ab

?

5ab?2ab

ab

?

3abab

?3.

,得x?

1y?

1z

?1?

371z

.

73

13

因为是正整数,故必有x?1,因而 y?

??2?

.

又因为y,z也是正整数,故又必有y?2,z?3. 经检验?1,2,3?是原方程的根.因此,原方程的正整数解?x,y,z?是?1,2,3?. 10. 解:由方程

2x?ax?2

??1,得2x?a?2?x,从而x?

2?a3

.

?2??

又由题意,得?

?2??

?a3?a3

?0,?2.

所以?

?a?2,?a??4.

故a的取值范围是a?2且a??4.

11. 解:由x?

1y

?1,y?

1z

?1,得x?1?

1y

?

y?1y

,z?

11?y

.

所以xyz?

y?1y

?y?

11?y

??1.

4 / 6

12. 解:由条件

1x

?

1y

?

25

12x

?

12y

?

15

.

显然2x?5,2y?5,故可设2x?5?t1,2y?5?t2. 则

15?t1

?

15?t2

?15

.去分母并整理,得t1t2?25.

因为x,y是两个不同的正整数,所以t1?t2. 所以t1?1,t2?25或t1?25,t2?1. 所以x?y?三、解答题

13. 解:根据题意,有

ax?2

5?t1

2

?

5?t2

2

?

10?t1?t2

2

?

10?26

2

?18.

+

bx?2

=

4xx?4

2

. 去分母,得a?x?2??b?x?2??4x.

去括号,整理 ?a?b?x?2?b?a??4x.

比较两边多项式系数,得a?b?4,b?a?0. 解得a?b?2. 14. 解:因为方程的左边

1x?x?

1x?x?1?

2

?

1x?3x?2?

1

2

?

1x?5x?6?

1

2

?

1x?7x?12

?

1

2

?

1x?9x?20

?

1

2

?x?1??x?2??x?2??x?3??x?3??x?4??x?4??x?5?

1??11??11??11??11??1

????????????????????

x?1??x?1x?2??x?2x?3??x?3x?4??x?4x?5??x?1x?

1x?5

?

5x?x?5?

.

故原方程可变为

5x?x?5?

?

5

x?11x?708

2

所以x?x?5??x2?11x?708.

解得x?118.经检验x?118是原方程的根.

15. 解:方程

3x?

1x?1

?

x?ax?x?1?

?0的两边同乘以x?x?1?,去分母,得

3?x?1??x??x?a??0.整理,得3x?a?3?0。

5 / 6

即x???a?3?.把x???a?3?代入最简公分母x?x?1?,使其值为零,3311

说明整式方程的根是增根.当 x???a?3??0时,a??3; 31

当 x?1???a?3??1?0时,a?0. 31

于是当a??3或a?0时原分式方程无解.

16. 解: (1)设女孩速度为x级/分,电梯速度为y级/分,楼梯(扶梯)为s级,则男

孩速度为2x级/分,依题意有 s?27?27?,?2xy? ? ①

?18?s?18.?y?x

把方程组①中的两式相除,得

因此楼梯有54级. 34?s?27s?18,解得s?54.

(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m次,走过楼梯n次,则这时女孩走过扶梯?m?1?次,走过楼梯?n?1?次.

将s?54 代入方程组①,得y?2x,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x级/分.于是有

54m

4x?

m

454n2x?n

2??54?m?1?3xm?1

3??54?n?1?x. 从而n?1

1,即6n?m?16.

无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,m,n中必有一个为正整数,且0?m?n?1,经试验知只有m?3,n?21

6符合要求. 1

6这时,男孩第一次追上女孩所走过的级数是:3?27?2?54?198(级).

6 / 6

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