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1998年加拿大数学奥林匹克

发布时间:2013-12-23 09:32:51  

46数学通讯             1999年第6期

 

 

 

 

 

本栏特邀主持人 熊 斌  冯志刚

有关本栏的稿件,请直接寄给熊斌(200062,华东师大数学系),或冯志刚(200231,上海市上海中学).提供试题及解答请尽量注明出处.

  本期给出由伍能先生提供的1998年加拿大数学奥林匹克试题及解答.

解  答

11由x-1<[x]≤x,可得

 a>(-1)+(-1)+(-1)

235=a-3,30 a≤++=a.

23530∴0≤a<90.

1998年加拿大数学奥林匹克

11求满足下面方程的实数a:

[

2

]+[

3

]+[

5

]=a.

其中[x]表示不超过x的最大整数.21求所有的实数x,使得

x=

xx

+x

31设n,()  +…n+132n-1(+). >+…+n242n

41在三角形ABC中,∠BAC=40°,

又a是非负整数,故

)+(-)+(-),a≥(-223355

∴a≤59.由题设可知:

5

且{}=0,,{}=0,,,{}=0,,

2233355,,,故共有2×3×5=30个.555

又15i+10j+6k(i=0,1,j=0,1,2,k=0,1,2,3,4)是方程的解.所以,a=15i+10j+6k(i=0,1,j=0,1,2,k=0,1,2,3,4).

x-≥0,

x

{

2

}+{

3

}+{

}=

a,30

∠ABC=60°.D和E分别是边AC和AB上的点,使得∠CBD=40°,∠BCE=70°.F是直线BD和CE的交点.证明直线AF和直线BC垂直.

51设m是一个正整数.数列{an}定义

为:a0=0,a1=m,

2

an+1=man-an-1,n≥1.

证明:一个有序非负整数对(a,b)(其中

22=m2的解的充分必要条a<b)是方程

ab+1

件是(a,b)具有(an,an+1)的形式,其中n≥0.

2

11-≥0,

xx≠0

得x≥1.

? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.

1999年第6期             数学通讯47

因为 x=所以 =

x

xxx

+-

x

x-1x为,则2

,BC=sin40°.AB=sin80°

易知∠BFC=70°=∠BCF,故BF=BC=sin40°.作GF

   =

x

x

-x

①+②,得

x+

=2x

3

2

xx

x-2x-x++1=0,

4

⊥AB,垂足为G,则

,BG=sin40°cos20°,GF=sin40°sin20°

此即

==GFGF

(第3题图)

(x-x-1)=0,

22

∴x=

2

所以,∠BAF=30°.F⊥BC.51首先证明:a,b满足

=m2,0<a<b,ab+1

2

2

31(1+)+…+n+132n-1

(+) ++…+n+1242n(+)>+…+n242n

(+) ++…+n+1242n

(1+)Ζ++…+n+1232n(1+)>+…+

2n(n+1)2n

Ζ1+++…+

232n)(1+)>(1++…+2n2n

Ζ++…+

n+1n+22n

(1+).>+…+2n2n上面这个不等式显然.41首先

=2sin40°sin80°co

s40°

)=2sin40°-20°cos(60°

(cos60°=2sin40°cos20°

) +sin60°sin20°(cos20°),=sin40°+sin20°∴ =sin40°如图所示,不妨设△ABC那么a≥m.

事实上,如果0<a<m,把上式写成关于b的一元二次方程的形式:

2222

b-(ma)b+(a-m)=0.设这个方程的另一个根为b1,由韦达定理,得

b1+b=mab1b=a-m

2

22

①②

由①知,b1是整数,由②知,b1<0,于是

.b1为负整数

<0.m=

ab1+1

2

2

2

矛盾.所以a≥m.

而由上面过程来看,只要m<a<b,b总可以用另一个正整数b1取代,并且

b1b=a-m

<a<ab,

2

2

2

∴ b1<a.

这样,由对称性,一组解(a,b)就用(b1,.a)来替代了,此处b1=ma-b

2

这一过程不可能无限地进行下去,而由

上述论证知,最后总能化到(0,m)这组“基本解”.以上每步都是可以逆推的.最后便知(a,

.b)必定是数列{an}的连续两项

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