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1991年第14届奥地利-波兰数学奥林匹克

发布时间:2013-12-23 09:32:52  

1991年第14届奥地利-波兰数学竞赛

1. 证明:存在无穷多个整数m≧2使得下列方程

m n ( )=3( ) 2 4

2. 对某个整数n=n(m)≧4成立。试给出这样的m之一般公式。

3. 试找种有实数三元组(x, y, z) 满足下列方程:

(x2-6x+13)y=20;

(y2-6y+13)z=20;

(z2-6z+13)x=20。

4. 已知平面上两个不同的点A1、A2。试决定一个点A3的所有可能位置且满足下列性

质:存在一个整数n≧3,及n个点P1, P2, P3, ....., Pn。(不一定不同的)使得下列各线段P1 P2, P2P3, .....,Pn-1Pn, PnP1有相同等长度而且它们的中点是按照这样的次序为A1, A2, A3, A1, A2, A3 ,....., A1, A2, A3 。

5. 设x、y、z为任意的正实数且xyz=1,证明不等式 x2+y2+z2+xy+xy+xz≧2(√x+√y+

√z)。

6. 设P为一实系数多项式且P(x)≧0对所有的实数0≦x≦1。证明存在多项式Pi(x) (i=0,

1, 2)使得Pi(x)≧0对所有的实数x,及P(x) =P0(x) +xP1(x) +(1-x)P2(x)。

7. 假设在一个凸四边形ABCD内存在一点P使得三角形PAB、PBC、PCD、PDA有相

同等面积。证明:ABCD的面积是由其中一条对角线所平分。

8. 对固定的一个整数n≧1,试决定下列定义于正实数集合上的函数所取得的极大值,

及找出所有这样的正实数x使得f(x)到达极值:

22n-1 f(x)=。 (1+xn)2

9. 试找出三元组(x, y, z) 的数目,其中x、y、z为互异的正整数,其中一个是19,并

且满足下列同余方程组: xy≡-1(mod z), yz≡1(mod x),zx≡1(mod y)。

10. 设A={1, 2, 3, ... , n}且n是个正偶数,假设g:A→A是个函数,使得对A的所有元

素 k 满足g(k)≠k 及 g(g(k))=k。问有多少个函数f:A→A,使得对A的所有元素k满足f(k)≠g(k)及f(f( f(k) ))=g(k)。

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