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1998年第21届奥地利-波兰数学奥林匹克

发布时间:2013-12-23 09:32:53  

1998年21届波兰奥地利亚数学比赛

1. 设x1,x2及y1,y2使为实数使得x12+x22≦1、及y12+y22≦1。证明不等式

(x1y1+x2y2-1)≧(x12+x22-1) (y12+y22-1)。

2. 试考虑在一直线上等顺序n点,分别姆它们染上白、红、绿、蓝或紫色。称染色方

法为“可接纳的”若任意两个相邻的点PiPi+1(i=1, 2, ..., n-1)满足:两点有相同的颜色,或者至少有一回是白色。问有几种可接纳的染色方法。

3. 试求所有的实数对(x, y)满足下列方程:2-x3=y,2-y3=x。

4. 设m、n为正整数。证明:

mΣ [ √ k ]≦n+m(2m/4-1)。 n k2 k=1

5. 试求所有正整数对(a, b)使得方程

x3-17x2+ax-b2=0有三个整数根(不一定不同)。

6. 两两不同的点A、B、C、D、E、F顺序在一个圆周上,这个圆在点A、D的切线与

直线BF及CE四线共点。证明:直线AD、BC、EF是平行或共点。

7. 考虑所有自然数对(a, b)使得乘积aabb在十进制表示下在右端恰有98个零。试求数对

( a, b)使得ab为最小。

8. 设n>2为已知自然数。在一个无限制的网格中,分别在每个小格中填上一个自然数。

一个多边形称为“可接纳的”若它的面积是n,而且它的边都在网上。在一个可接纳的多边形内,加起各个格子的数目,称这总和为这多边形的值。证明:若任意两个任意两个的全等可接纳的多边形之值皆相同,则所有写下的自然数全部相等。

9. 设K、L、M分别为三角形ABC的三边BC、CA、AB上之中点。在ABC的外接圆

上,设X为不包含点A的弧BC之中点,Y为不包含点B的弧CA的中点,及Z为不包含点C的弧AB之中点。设R、r分别为ABC的外接圆半径、内切圆半径。证明:

r+KX+LY+MZ=2R。

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