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1997年加拿大数学奥林匹克

发布时间:2013-12-23 09:32:58  

1998年第9期              数学通

讯45

数学竞赛之窗

本期给出1997年加拿大数学奥林匹克问题及解答.解答由洪湖一中周维发编拟.

1997年加拿大数学奥林匹克

问题及解答

11有多少对正整数x,y满足条件(x,y)=5!且[x,y]=50!?((x,y)表示x,y的最大公约数.[x,y]表示x,y的最小公倍数)

考虑区间[0,1),[2,3),…[2k,2k+1),…,[48,49),由已证结论,设Αi1∈[0,1),Αi2∈[2,3),…,Αi25∈[48,49),则区间[Αi1,Βi1],[Α.i2,Βi2],…,[Αi25,Βi25]满足要求

31证明:

<???…?<1999246199844

证 设p=???…??

2462k

…?1998

∵>,k=1,2,…,2k2k+1

∴p>???…?=35719991999又∵<,k=1,2,…

2k2k+1∴p<???…?=

3571999 ???…??=13519971999 ?,p1999

∴p2<<=,

19991936442∴p<44

41如图1,O是

解 设7到47的素数从小到大分别是p1,p2,…,p12,则

00

5!=23?31?51?p01?p2…p12,b2b12150!=2Α1?3Α2?5Α3?pb1?p2…p12.

∵x??50!,y??50!,故x,y具有如下形式:

nnn15

,x=21?32?…?p12

mmm

y=21?32?…?p1212.

其中max{ni,mi}是50!的第i个素数的指数,min{ni,mi}是5!的第i个素数的指数,在不考虑条件x<y的情况下,ni(i=1,2,…,15)的选取方式有两种,故x的个数为215.当

.又当x取定时得x选定时,y是唯一确定的

到的y,此时有x<y或x>y,故满足题设条

15

件的正整数对有=214个.

2

21闭区间A=[0,50]是n个长度为1的闭区间[Α1,Β1],[Α2,Β2],…,[Αn,Βn]的并集.求证必可在这n个闭区间中选出25个互不相交的闭区间.(注:闭区间[a,b]的长度为b-a)

证 我们首先证明结论:对于任意x,0≤x≤49,区间[x,x+1)中至少含有一个i(1≤i≤n).Α

事实上,若1≤i≤n,均有Α[x,x+i|1),不妨设Α1≤Α2≤Α3≤…≤Αn,∵[0,50]=∪[Α.∵Βki,Βi],不妨设Αk<x,而Αk+1≥x+1i=1

-Αk=1,从而Βk<x+1,故区间(Βk,x+1)不

n

在[0,50]中,与[0,50]=∪[Α.i,Βi]矛盾i=1

n

??ABCD内一点,

∠AOB+∠COD=180°,求证∠OBC=∠ODC.

证 将△DOC延DA方向平移使DC与图1

.AB重合,得△ABO′

∵∠AO′B=∠DOC,∴∠AO′B+∠AOB=∠DOC+∠AOB=180°.

∴A,O,B,O′四点共圆.

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46数学通讯              1998年第9期

又∵O′=O∥BC,∴∠OBC=∠BOO′∠O′AB=∠ODC,即∠OBC=∠ODC.

51将和式

66

n+4

j=4

(-1)j(-1)j

n+4

(j-3)=j

n+4

(j-3)-j

1n+1

n+4

6

n32

k=0k+9k+26k+24

n

(-1)k()

j=0

[-3+(-1)((-1)2(

n+4

写成()的形式,这里p(n),q(n)是n的整

qn系数多项式.

解 k3+9k2+26k+24=

(k+2)(k+3)(k+.

n令S(n)=,32

k=0k+9k+k+24

则Sn=

n

1

)(1-3)+

2

)(2-3)]=

n+1

6

n+4

=0

n+4

(-1)j?j(-1)j?-3

j=0j

6

6

(-1)k

n+42

(n+3n+2).+2j

n+4

∵6(-1)j?j(

j=0

n+4

)=0,j

66

k=

(n-k)!(k+2)(k+3)(k+4)k=0k!

k=0(k+4)!(n-k)!

,

(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

∴(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)Sn=

n

n

6

n+4

)=0,

j=0j

∴(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)S(n)=

n+1

(-1)j(

66

n

k=0n

(-1)k

n+4

(k+1)=k+令k+4=n+4

(k+1)

 k+j

2(n+3n+2)=(n+1)(n+2),22

∴Sn=(=

2n+1)(n+2)(n+3)(n+4)2(n+3)(n+4)

k=0

(-1)k+4

问题征解

本栏特邀主持人 陈 计 叶中豪 葛 军

有关不等式与组合几何的稿件邮送陈计老师(315211,宁波大学应用数学系),平面几何与数学游戏的稿件邮送叶中豪老师(200031,上海教育出版社数学编辑室),其它稿件邮送葛军老师(210097,南京师范大学数学系),题号右上角的星号(3)表示问题提出时尚无解答.

1871上海熊斌提供

(a)坐标平面上一对平行线的斜率为无理

数,求证:一定有整点(m,n)位于平行线之间.

(b3)上题中若m,n互素.证明或否定:平行线间必有素点(p,q).

(责任编辑:葛 军)

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