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1989年第12届奥地利-波兰数学奥林匹克

发布时间:2013-12-23 09:32:59  

1989年第12届波兰-奥地利亚数学比赛

1. 对于正实数a1,a2,a3,...,an,b1,b2,b3,...,bn,c1,c2,c3,...,cn,证明下列

不等式成立:

n

i=1 n i=1 n i=1 n i=1 ( Σ aibici Σ ai3)( Σ bi3)( Σ ci3)。 )3 ≦ (

2. 将平面上每一点分别染上两种颜色之一。证明存在一个等边三角形,其顶点颜色相

同。

3. 试决定所有自然数N,它的十进制表示满足下列条件:

1. N=(aabb)10,其中(aab)10及(abb)10是素数;

2. N=p1 p2 p3,其中pk(1≦k≦3)是个k位素数。

。4. 设P为平面上的一凸多边形(所有内角少于180)。证明存在一个圆C,通过至少P

的三个相邻顶点,而且C的内部包含着整个多边形P。

5. 设A为一正方体内接于一个半径为1的球S内。试考虑所有过点A的直线g且包含

W的另外一点。设P为g∩S中一点与A为最接近的一点。设AQ为线段g∩W。试求APxAQ的极大值,并且将取得这极大值的直线进行分类。

6. 试考虑正整数完全平方的数列{an | n=1, 2, ....}使得对每个自然数n≧1,差an+1-an是

个素数的平方。证明:所有这样的数列是有限长,并且决定这样的最长数列。

7. 用递归的方法来定义在实数集合上的函数列 f0,f1,f2,f3,...如下:f0(x)=x,

f2k+1(x)=3^{ f2k(x) },f2k(x)=2^{ f2k-1(x)}。试决定f10(1)或f9(2)那个较大,并提供证明。

8. 已知一锐角三角形ABC,对三角形的内部及其边界上的任一点P,设Pa、Pb,Pc分

别为到边BA、CA、AB的垂足,定义函数f(P) = (APc+BPa+CPb)/(PPa+PPb+PPc)。 证明:无论P是哪个点P,f(P)是个常数的充要条件是ABC是个正三角形。

9. 试决定最小的奇数N使得N2是奇数个相邻正整数之平方和。

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