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2013-12-08-六年级奥数-第八讲.行程问题(二).教师版-7页

发布时间:2013-12-24 10:40:55  

行程问题(二)

教学目标:

1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点;

2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题; 3、变速变道问题的关键是如何处理“变”;

4、掌握寻找等量关系的方法来构建方程,利用方程解行程题.

知识精讲:

比例的知识是小学数学最后一个重要内容,从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言,比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势,往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上,使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题,对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况,我们将

s乙来表示,大体可分为以下两种情况:甲、乙的速度、时间、路程分别用v甲,v乙;t甲,t乙;s甲,

1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,经过同一段时间后,他们走

过的路程之比就等于他们的速度之比。

?s甲?v甲?t甲ss

,这里因为时间相同,即t甲?t乙?t,所以由t甲?甲,t乙?乙 ?

v甲v乙?s乙?v乙?t乙

得到t?

s甲s乙sv

?,甲?甲,甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比 v甲v乙s乙v乙

2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,走过相同的路程时,2个物体

所用的时间之比等于他们速度的反比。

?s甲?v甲?t甲

,这里因为路程相同,即s甲?s乙?s,由s甲?v甲?t甲,s乙?v乙?t乙 ?

?s乙?v乙?t乙

得s?v甲?t甲?v乙?t乙,

v甲t乙

?,甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反v乙t甲

比。

行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解,这种方法看似简单,其实也有很多技巧,使用公式不仅包括公式的原形,也包括公式的各种变形形式;有时条件不是直接给出的,这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件; ⑵图示法

在一些复杂的行程问题中,为了明确过程,常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中,画图分析往往也是最有效的解题方法; ⑶比例法

行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值.更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例解题; ⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来; ⑸方程法

在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.

例题精讲:

模块一、时间相同速度比等于路程比

【例 1】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发,相向而行,甲、乙的速度之比是 4 : 3,

二人相遇后继续行进,甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回,已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米,则 A、 B 两地相距多少千米?

【解析】 两个人同时出发相向而行,相遇时时间相等,路程比等于速度之比,即两个人相遇时所走过

的路程比为 4 : 3.第一次相遇时甲走了全程的4/7;第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3

45542与第一次相遇地点的距离为?(1?)?个?3?1个全程,77777

2全程.所以 A、 B两地相距30??105 (千米). 7个全程,三个全程中甲走了

【例 2】 甲、乙两人同时从A、B两点出发,甲每分钟行80米,乙每分钟行60米,出发

一段时间后,两人在距中点的C处相遇;如果甲出发后在途中某地停留了7分钟,两人将在距中点的D处相遇,且中点距C、D距离相等,问A、B两点相距多少米?

【分析】 甲、乙两人速度比为80:60?4:3,相遇的时候时间相等,路程比等于速度之比,相遇时甲走43了全程的,乙走了全程的.第二次甲停留,乙没有停留,且前后两次相遇地点距离中点77

43相等,所以第二次乙行了全程的,甲行了全程的.由于甲、乙速度比为4:3,根据时间77

33一定,路程比等于速度之比,所以甲行走期间乙走了?,所以甲停留期间乙行了74

43311???,所以A、B两点的距离为60?7?=1680(米). 77444

【例 3】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发,相向而行.出发时,甲、乙的速度之

比是 5 : 4,相遇后甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%.这样当甲到达 B 地时,乙离 A地还有 10 千米.那么 A、B 两地相距多少千米?

54【解析】 两车相遇时甲走了全程的,乙走了全程的,之后甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%,99

此时甲、乙的速度比为5?(1?20%):4?(1?20%)?5:6 ,所以甲到达 B 地时,乙又走了4685811,所以 A、 B 两地的距离为10???,距离 A地???450 (千米). 95159154545

【例 4】 早晨,小张骑车从甲地出发去乙地.下午 1 点,小王开车也从甲地出发,前往

乙地.下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米.下午 3 点时,两人之间的距离还是 l5 千米.下午 4 点时小王到达乙地,晚上 7 点小张到达乙地.小张是早晨几点出发?

【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块.下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米.下午 3 点

时,两人之间的距离还是 l5 千米,所以下午 2 点时小王距小张 15 千米,下午 3 点时小王超过小张 15千米,可知两人的速度差是每小时 30 千米.由下午 3 点开始计算,小王再有 1 小时就可走完全程,在这 1 小时当中,小王比小张多走 30 千米,那小张 3 小时走了15+30=45千米,故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时,小王的速度是15 +30 =45千米/时.全程是 45 ×3 =135千米,小张走完全程用了135 +15= 9小时,所以他是上午 10 点出发的。

模块二、路程相同速度比等于时间的反比

【例 5】 甲、乙两人同时从A地出发到B地,经过3小时,甲先到B地,乙还需要1小时

到达B地,此时甲、乙共行了35千米.求A,B两地间的距离.

【分析】 甲用3小时行完全程,而乙需要4小时,说明两人的速度之比为4:3,那么在3小时内的路

4程之比也是4:3;又两人路程之和为35千米,所以甲所走的路程为35?即A,?20千米,3?4

B两地间的距离为20千米.

【例 6】 在一圆形跑道上,甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行,6 分后两人相遇,

再过4 分甲到达 B 点,又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分?

【解析】 由题意知,甲行 4 分相当于乙行 6 分.(抓住走同一段路程时间

或速度的比例关系)

从第一次相遇到再次相遇,两人共走一周,各行 12 分,而乙行 12

分相当于甲行 8 分,所以甲环行一周需 12+8=20(分),乙需

20÷4×6=30(分).

【例 7】 上午 8 点整,甲从 A地出发匀速去 B 地,8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去

A地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍,乙速度不变;8 点 30 分,甲、乙两人同时到达各自的目的地.那么,乙从 B 地出发时是 8 点几分.

【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟,之后甲的速度提高到原来的 3 倍,又走了 10 分钟到达目

的地,根据路程一定,时间比等于速度的反比,如果甲没提速,那么后面的路甲需要走10× 3= 30分钟,所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3,由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟,所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟,也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟,所以乙从 B 地出发时是 8 点5 分.

【例 8】 小芳从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路,一半下

坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的1.6 倍,那么上坡的速度是平路速度的多少倍?

【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2,那么走一半平路所需时间是1.由于下坡路与一半平路的长度相同,根据路程一定,时间比等于速度的反比,走下坡路所需时间是1?1.6?

上坡路需要的时间是2?5,因此,走8511?,那么,上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比,为88

1181:?8:11,所以,上坡速度是平路速度的倍.

811

【例 9】 一辆汽车从甲地开往乙地,每分钟行750米,预计50分钟到达.但汽车行驶到3路程的时,出了故障,用5分钟修理完毕,如果仍需在预定时间内到达乙地,5

汽车行驶余下的路程时,每分钟必须比原来快多少米?

333【分析】 当以原速行驶到全程的时,总时间也用了,所以还剩下50?(1?)?20分钟的路程;修理555

完毕时还剩下20?5?15分钟,在剩下的这段路程上,预计时间与实际时间之比为

根据路程一定,速度比等于时间的反比,实际的速度与预定的速度之比也为4:3,20:15?4:3,

4因此每分钟应比原来快750??750?250米. 3

【例 10】 一列火车出发1小时后因故停车0.5小时,然后以原速的3前进,最终到达目的地4

3

4晚1.5小时.若出发1小时后又前进90公里因故停车0.5小时,然后同样以原速的

前进,则到达目的地仅晚1小时,那么整个路程为________公里.

【解析】 如果火车出发1小时后不停车,然后以原速的3前进,最终到达目的地晚1.5?0.5?1小时,在4

一小时以后的那段路程,原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4,所以原计划要花1??4?3??3?3小时,现在要花1??4?3??4?4小时,若出发1小时后又前进90公里不停车,3前进,则到达目的地仅晚1?0.5?0.5小时,在一小时以后的那段路程,4

原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4,所以原计划要花0.5??4?3??3?1.5小时,然后同样以原速的现在要花0.5??4?3??4?2小时.所以按照原计划90公里的路程火车要用3?1.5?1.5小时,所以火车的原速度为90?1.5?60千米/小时,整个路程为60??3?1??240千米.

【例 11】 王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,结

果提前一个半小时到达;返回时,按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高1/6,于是提前1 小时 40 分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米?

【解析】 从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,即车速为原计划的10/9,则所用时间为原

计划的1÷10/9=9/10,即比原计划少用1/10的时间,所以一个半小时等于原计划时间的1/10,原计划时间为:1.5÷1/10=15(小时);按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高1/6,即此后车速为原来的7/6,则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7,即此后比原计划少用1/7的时间,所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7,则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为:5/3÷1/7=35/3(小时),所以,原计划的速度为:84(千米/时),北京、上海两市间的路程为:84 ×15= 1260(千米).

【例 12】 一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高 20%可以提前1小时到达.如果按原速

行驶一段距离后,再将速度提高 30% ,也可以提前1小时到达,那么按原速行驶了全部路程的几分之几?

5【解析】 车速提高 20%,即为原速度的6/5,那么所用时间为原来的5/6,所以原定时间为1?(1?)?66

小时;如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ,此时速度为原速度的13/10,所用时间为原来的10/13,所以按原速度后面这段路程需要的时间为1?(1?

速度行使的时间为6?4

101)?4小时.所以前面按原13315?小时,根据速度一定,路程比等于时间之比,按原速行驶了全33

部路程的55?6? 318

【例 13】 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%,可以比原定时间提前1小时到达;

如果以原速行驶120千米后,再将车速提高25%,则可以提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?

【分析】 车速提高20%,速度比为5:6,路程一定的情况下,时间比应为6:5,所以以原速度行完全6?5程的时间为1??6小时.以原速行驶120千米后,以后一段路程为考察对象,车速提高6

25%,速度比为4:5,所用时间比应为5:4,提前40分钟到达,则用原速度行驶完这一段路405?410108程需要??小时,所以以原速行驶120千米所用的时间为6??小时,甲、乙605333

8两地的距离为120??6?270千米. 3

【例 14】 甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程.乙火车上午8:00从B站

开往A站,开出若干分钟后,甲火车从A站出发开往B站.上午9:00两列火车相遇,相遇的地点离A、B两站的距离的比是15:16.甲火车从A站发车的时间是几点几分?

[分析]甲、乙火车的速度比已知,所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知.由此可以求得甲火

车单独行驶的距离与总路程的比.根据题意可知,甲、乙两车的速度比为5:4.

从甲火车出发算起,到相遇时两车走的路程之比为5:4?15:12,而相遇点距A、B两站的距离的比是15:16.说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小时所走路程的

1?16?12??16?.也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一,也就是15分钟.所以甲火4

车从A站发车的时间是8点15分.

模块三、比例综合题

【例 15】 小狗和小猴参加的100米预赛.结果,当小狗跑到终点时,小猴才跑到90米处,

决赛时,自作聪明的小猴突然提出:小狗天生跑得快,我们站在同一起跑线上不公平,我提议把小狗的起跑线往后挪10米.小狗同意了,小猴乐滋滋的想:“这样我和小狗就同时到达终点了!”亲爱的小朋友,你说小猴会如愿以偿吗?

【解析】 小猴不会如愿以偿.第一次,小狗跑了100米,小猴跑了90米,所以它们的速度比为

100:90?10:9;那么把小狗的起跑线往后挪10米后,小狗要跑110米,当小狗跑到终点时,9小猴跑了110??99米,离终点还差1米,所以它还是比小狗晚到达终点. 10

【例 16】 甲、乙两人同时从 A地出发到 B 地,经过 3 小时,甲先到 B 地,乙还需要 1

小时到达 B 地,此时甲、乙共行了 35 千米.求 A, B 两地间的距离.

【解析】 甲、乙两个人同时从A地到B地,所经过的路程是固定.

所需要的时间为:甲3个小时,乙4个小时(3+1).两个人速度比为:甲:乙=4:3

当两个人在相同时间内共行35千米时,相当与甲走4份,已走3份,

所以甲走:35÷(4+3)×4=20(千米),所以,A、B两地间距离为20千米

【例 17】 甲、乙二人步行远足旅游,甲出发后1小时,乙从同地同路同向出发,步行2小

时到达甲于45分钟前曾到过的地方.此后乙每小时多行500米,经过3小时追上速度保持不变的甲.甲每小时行多少米?

[分析]根据题意,乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程,所以甲、乙的速度之

比为2:2.25?8:9,乙的速度是甲的速度的1.125倍;

乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程,所以加速后甲、乙的速度比为

3:3.75?4:5.加速后乙的速度是甲的速度的1.25倍;

由于乙加速后每小时多走500米,所以甲的速度为500??1.25?1.125??4000米/小时.

【例 18】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度

都是各自上山速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时,甲与乙

在离山顶 600 米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好到半山腰。那么甲回到出发

点共用多少小时?

【解析】 甲如果用下山速度上山,乙到达山顶时,甲恰好到半山腰,

说明甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍,

就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。

两人相遇时走了 1 小时,这时甲还要走一段下山路,这段下山路乙上山用了 1 小时,所以甲下山要用1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5(小时)

练习:

练习1. 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发,在 A、B 之间不断往返行驶,已知甲车的速3,并且甲、乙两车第 2007 次相遇(这里特指面对面的相遇)7

的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米,那么,A、B 两地之间的距离等于多少 千米? 度是乙车的速度的

【解析】 甲、乙速度之比是 3:7,所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份,这样一个全程中甲走 3 份,

第 2007 次相遇时甲总共走了 3×(2007×2-1)=12039 份,第 2008 次相遇时甲总共走了 3×(2008×2-1)=12045 份,所以总长为 120÷[12045-12040-(12040-12039)]×10=300 米.

练习2. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度之比是3:2,

他们第一次相遇后甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有14千米,那么A、B两地的距离是多少千米?

【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同,所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:2,

相遇后,甲、乙两人的速度比为?到达B地时,?3??1?20%???:??2??1?30%????3.6:2.6?18:13;

即甲又行了2份的路程,这时乙行的路程和甲行的路程比是18:13,即乙的路程为134452??1.乙从相遇后到达A还要行3份的路程,还剩下3?1?1(份),正好还剩下14千18999

5米,所以1份这样的路程是14?1?9(千米). 9

A、B两地有这样的3?2?5(份),因此A、B两地的总路程为:9??3?2??45(千米).

练习3. 小明和小刚进行100米短跑比赛(假定二人的速度均保持不变).当小刚跑了90米

时,小明距离终点还有25米,那么,当小刚到达终点时,小明距离终点还有多少米?

【分析】当小刚跑了90米时,小明跑了100?25?75米,在相同时间里,两人的速度之比等于相应的

路程之比,为90:75?6:5;在小刚跑完剩下的100?90?10米时,两人经过的时间相同,所

525以两人的路程之比等于相应的速度之比6:5,则可知小明这段时间内跑了10??米,还剩63

25502下25???16米. 333

练习4. 客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶,3小时后客车到达甲地,货车

离乙地还有22千米,已知货车与客车的速度比为5:6,甲、乙两地相距多少千米?

【分析】 货车与客车速度比5:6,相同时间内所行路程的比也为5:6,那么客车走的路程为

6?522??132(千米),为全程的一半,所以全程是132?2?264(千米). 6

5练习5. 甲、乙两人从A,B两地同时出发,相向而行.甲走到全程的的地方与乙相遇.已11

1知甲每小时走4.5千米,乙每小时走全程的.求A,B之间的路程. 3

【分析】 相同的时间内,甲、乙路程之比为5:?11?5??5:6,因此甲、乙的速度比也为5:6,所以乙的速度为4.5?61?5.4千米/时.两地之间的路程为:5.4?1??16.2千米. 53

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