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全国初中数学竞赛辅导(初1)第19讲 几何图形的计数问题

发布时间:2013-12-24 13:36:58  

第十九讲* 几何图形的计数问题

在几何中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等. 例1 如图1-65所示,数一数图中有多少条不同的线段?

解 对于两条线段,只要有一个端点不同,就是不同的线段,我们以左端点为标准,将线段分5类分别计数:

(1)以A为左端点的线段有AB,AC,AD,AE,AF共5条;

(2)以B为左端点的线段有BC,BD,BE,BF共4条;

(3)以C为左端点的线段有CD,CE,CF共3条;

(4)以D为左端点的线段有DE,DF共2条;

(5)以E为左端点的线段只有EF一条.

所以,不同的线段一共有

5+4+3+2+1=15(条).

一般地,如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点),那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为

n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2

例2 图1-66中有多少个三角形?

解 以OA为一边的三角形有△OAB,△OAC,△OAD, △OAE,△OAF共5个;以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数,下同),它们是△OBC,△OBD,△OBE, △OBF;以OC为一边的三角形有△OCD,△OCE,△OCF共3个;以OD为一边的三角形有△ODE,△ODF共2个;以OE为一边的三角形有△OEF一个.所以,共有三角形

5+4+3+2+1=15(个).

说明 其实,不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数.一般地,当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时,它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.

例3(1)图1-67中一共有多少个长方形?

(2)所有这些长方形的面积和是多少?

解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点),所以,长的一边上不同的线段共有

1+2+3+4=10(条).

同样,宽的一边上不同的线段也有10条.

所以,共有长方形

10×10=100(个).

(2)因为长的一边上的10条线段长分别为

5,17,25,26,12,20,21,8,9,1,

宽的一边上的10条线段长分别为

2,6,13,16,4,11,14,7,10,3.

所以,所有长方形面积和为

(5×2+5×6+…+5×3)

+(17×2+17×6+…+17×3)

+…+(1×2+1×6+…+1×3)

=(5+17+…+1)×(2+6+…+3)

= 144×86=12384.

例4 图1-68中共有多少个三角形?

解 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,两类中三角形的个数相等.尖向上的三角形又可分为6类:最大的三角形1个(即△ABC), 第二大的三角形有1+2=3(个),

第三大的三角形有1+2+3=6(个),

第四大的三角形有1+2+3+4=10(个),

第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个),

最小的三角形有

1+2+3+4+5+6+3=24(个).

我们的计数是有规律的.当然,要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个),所以最小的三角形不是21个而是24个.

于是尖向上的三角形共

1+3+6+10+15+24=59(个).

图中共有三角形

59×2=118(个).

例5 图1-69中有多少个等腰直角三角形?

解 图1-69中有

5×5+4×4=41

个点.在每点标一个数,它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数.因此,共有等腰直角三角形

4×8+5×16+6×4+10×4+8×4+11×4+16×1

=268(个).

例6(1)图1-70(a)中有多少个三角形?

(2)图1-70(b)中又有多少个三角形?

解(1)图1-70(a)中有6条直线.一般来说,每3条直线能围成一个三角形,但是这3条直线如果相交于同一点,那么,它们就不能围成三角形了.

从6条直线中选3条,有

种选法(见说明),每次选出的3条直线围成一个三角形,但是在图1-70(a)中,每个顶点处有3条直线通过,它们不能围成三角形,因此,共有

20-3=17

个三角形.

(2)图1-70(b)中有7条直线,从7条直线中选3条,有

7×6×5/6=35

种选法.每不过同一点的3条直线构成一个三角形.

图1-70(b)中,有2个顶点处有3条直线通过,它们不能构成三角形,还有一个顶点有4条直线通过,因为4条直线中选3条有4种选法,即能构成4个三角形,现在这4个三角形没有了,所以,图1-70(b)中的三角形个数是

35-2-4=29(个).

说明 从6条直线中选2条,第一条有6种选法,第二条有5种选法,共有6×5种选法.但是每一种被重复算了一次, 例如l1l2与l2l1实际上是同一种,所以,不同的选法是6×5÷2=15种.

从6条直线中选3条,第一条有6种选法,第二条有5种选法,第三条有4种选法,共有6×5×4种选法.但是每一种被重复计算了6次,例如,111213,111312,121113,121311,131112,131211实际上是同一种,所以,不同的选法应为6×5×4/6=20种.

下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题. 例7 问8条直线最多能把平面分成多少部分?

解 1条直线最多将平面分成2个部分;2条直线最多将平面分成4个部分;3条直线最多将平面分成7个部分;现在添上第4条直线.它与前面的3条直线最多有3个交点,这3个交点将第4条直线分成4段,其中每一段将原来所在平面部分一分为二,如图1-71,所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分.

完全类似地,5条直线最多将平面分成11+5=16个部分;6条直线最多将平面分成16+6=22个部分;7条直线最多将平面分成22+7=29个部分;8条直线最多将平面分成29+8=37个部分. 所以,8条直线最多将平面分成37个部分. 说明 一般地,n条直线最多将平面分成

个部分.

例8 平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分?

解 1个圆最多能把平面分成2个部分;2个圆最多能把平面分成4个部分;3个圆最多能把平面分成8个部分;现在加入第4个圆,为了使分成的部分最多,第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点.如图1-72所示.因此得6个交点,这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧,而每一段圆弧将原来的部分一分为二,即增加了一个部分,于是,4个圆最多将平面分成8+6=14个部分.

同样道理,5个圆最多将平面分成14+8=22个部分.

所以,5个圆最多将平面分成22个部分.

说明 用上面类似的方法,我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为

2+1×2+2×2+…+(n-1)×2

=2+2[1+2+…+(n-1)]

=n2-n+2.

例9 平面上5个圆和一条直线,最多能把平面分成多少个部分? 解 首先,由上题可知,平面上5个圆最多能把平面分成22个部分.现在加入一条直线.由于一条直线最多与一个圆有两个交点,所以,一条直线与5个圆最多有10个交点.10个点把这条直线分成了11段,其中9段在圆内,2条射线在圆外.9条在圆内的线段把原来的部分一分为二,这样就增加了9个部分;两条射线把圆外的平面一分为二,圆外只增加了一个部分.所以,总共增加了10个部分.

因此,5个圆和1条直线,最多将平面分成22+10=32个部分. 例10 平面上5条直线和一个圆,最多能把平面分成多少个部分? 解 首先,由例7知,5条直线最多将平面分成16个部分.

现在加入一个圆,它最多与每条直线有两个交点,所以,与5条直线最多有10个交点.这10个交点将圆周分成10段圆弧,每一段圆弧将原来的部分一分为二,所以,10段圆弧又把原来的部分增加了10个部分. 因此,5条直线和一个圆,最多能把平面分成16+10=26个部分. 例11 三角形ABC内部有1999个点,以顶点A,B,C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形?

解 设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1个小三角形,我

们考虑新增加一个点Pn之后的情况:

(1)若点Pn在某个小三角形的内部,如图1-73(a),则原小三角形的

三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三,即增加了两个小三角形;

(2)若点Pn在某两个小三角形公共边上,如图1-73(b).则这两个小

三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分别一分为二,即也增加了两个

小三角形.

所以,△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为

an=an-1+2.

易知a0=1,于是

a1=a0+2,a2=a1+2,…,an=an-1+2.

将上面这些式子相加,得

an=2n+1.

所以,当n=1999时,三个顶点A,B,C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形.

练习十九

1.填空:

(1)在圆周上有7个点A,B,C,D,E,F和G,连接每两个点的线段共可作出______条.

(2)已知5条线段的长分别是3,5,7,9,11,若每次以其中3条线段为边组成三角形,则最多可构成互不全等的三角形_____个.

(3)三角形的三边长都是正整数,其中有一边长为4,但它不是最短边,这样不同的三角形共有_____个.

(4)以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中,锐角三角形的个数是_______.

(5)平面上10条直线最多能把平面分成_____个部分.

(6)平面上10个圆最多能把平面分成_____个区域.

2.有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11厘米的细木条,它们的数量足够多,从中适当选取3根木条作为三条边,可围成一个三角形,如果规定底边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形?

3.图1-74中有多少个三角形?

4.图1-75中有多少个梯形?

5.在等边△ABC所在平面上找到这样一点P,使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形,具有这样性质的点的个数有多少?

6.平面上有10条直线,其中4条直线交于一点,另有

4

条直线互相平行,这10条直线最多有几个交点?它们最多能把平面分成多少个部分?

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