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“数学之星”第一届数学竞赛试题

发布时间:2013-12-24 16:39:46  

虎林市实验高级中学“数学之星” 第一届数学竞赛试题 一、填空题(每小题5分,共50分) 1、设集合M?{x|y?,集合N={y|y?x?2},则M?N?_____ 2、已知△ABC的顶点B、C在椭圆y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另3外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是________ x23、若函数f(x2?1)的定义域为[?2,1),则函数f(x)的定义域为________ 4、求函数y?x2?2x?5,x?[?1,2]的值域_________________________ 5、函数y?lgx?3_____________________________ 6、若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数a的取值范围是________________________ 7、函数y?log1??x2?2x?的单调递增区间是__________________ 28、过抛物线y2?4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与11FQ的长分别是p、q,则??_______ pq9、过抛物线y2?4x的焦点F作垂直于x轴的直线,交抛物线于A、B两点,则以F为圆心、AB为直径的圆方程是______________________________. x2y2、如图,F1和F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两 ab个焦点,A和B是以O为圆心,以OF1为半径的圆与该双曲线左 支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为________________________ 二、解答题(本大题共5小题,每题10分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1、求y?2sin2x?3cosx?1的值域为

1

2、

求y?2x?1?的值域为

3、求函数y?

4、已知f(x)?2f(?x)?3x?2,求f(x)的解析式 2sin??1的值域 1?sin?

5、已知椭圆4x2?y2?1及直线y?x?m.(1)当m为何值时,直线与椭圆有公共点?

(2)若直线被椭圆截得的弦长为

2,求直线的方程. 5

2

虎林市实验高级中学数学之星”第一届数学竞赛

试题答案

一、填空题

1、[2,+∞)

2.43

3、[1,5]

4、[4,8]

5、[0,2)∪(2,3)∪(3,4)

6、 a??3

7、(1,2)

8、1

9、(x-1)2+y2=4

10、+1

二、解答题

171、[?4,] 8

2、{y|y≥3}

13、(??,] 2

24、f(x)??3x? 3

22225、解:(1)把直线方程y?x?m代入椭圆方程4x?y?1得 4x??x?m??1,

即25x2?2mx?m2?1?0.???2m??4?5??m2?1???16m2?20?0,解得?5?m?. 22

m2?12m(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1,x2,由(1)得x1?x2??,x1x2?. 55

m2?12?2m?2?根据弦长公式得 ?1???.解得m?0.方程为y?x. ??4?555??

2

3

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