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有趣的周期问题

发布时间:2013-12-25 13:45:52  

有趣的周期问题

导言:

在日常生活中,有一些现象按照一定的规律不断重复出现,比如每周七天,从星期一开始,到星期日结束,总是以七天为一个循环不断重复出现。我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。

要解决这类问题,关键要抓住两点:

①找出规律,找出周期。即多少个(次)又出现重复。 ②用总量除以周期,看余数,余几就是周期里的第几个,没有余数就是最后一个。

例1.有一列数,1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、

(1)第2009个数是多少?

(2)这列数字中,“2”会出现多少次

(3)这2009个数相加的和是多少?

解析:仔细观察,这2009个数不是随意排列的,每六个数重复一次,按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出

现排列的。周期找到了,接着用总量除以周期,把余数与周期对比,很容易解答问题。

(1) 2009÷6=334、、、5,即重复了334次,还余5个数,分别是1、4、2、8、5。所以第2009个数就是5

(2)(1、4、2、8、5、7)重复了334次,“2”也就出现了334次,再加上余下的五个数中,“2”又出现了一次,所以,数字“2”总共出现了335次

(3)我们把2009个数按每一组(1、4、2、8、5、7)这样分组,可以分成334组,还剩5个数,334组的数都相同,每组的和=1+4+2+8+5+7=27,那么这334组的总和是27×334=9018,再加上还余下的五个数,即为2009个数的总和了。

(1+4+2+8+5+7)×334+(1+4+2+8+5)=9018+20=9038 例2.求2×2×、、、×2(2008个2相乘)+ 3×3×、、、×3(2009个3相乘)的个位数字

解析:要想求和的个位数字,关键是要求出每个加数的个位数字。

(1)先观察下2×2×、、、×2(2008个2相乘)个位数的特点,看是否有周期性,若有,则可根据周期问题的方法来解答

2 个位数字是2

2×2 个位数字是4

2×2×2 个位数字是8

2×2×2×2 个位数字是6

2×2×2×2×2 个位数字是2

可见,个位数字是按2、4、8、6不断循环重复,所以周期是4,

2008÷4=502,没余数,个位数字就是最后一个6。 ( 2)同理,我们也可以找出3×3×、、、×3(2009个3相乘)个位数字的排列规律。

3 个位数字是3

3×3 个位数字是9

3×3×3 个位数字是7

3×3×3×3 个位数字是1

3×3×3×3×3 个位数字是3

可见,个位数字是按3、9、7、1不断循环重复出现,所以周期是4,

2009÷4=502、、、1,余数是1,个位数字就是周期里面的第一个数,即3

所以,求2×2×、、、×2(2008个2相乘)+ 3×3×、、、×3(2009个3相乘)的个位数字,就是6+3的个位数字,即9。 例3.2009个学生按下列方法编号排成五列:

一 二 三 四 五

1 2 3 4 5

9 8 7 6

10 11 12 13

17 16 15 14

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 问最后一个学生应该在第几列?

解析:仔细观察,除了第一个学生外,其余学生都是按这样的次序排列的:二、三、四、五、四、三、二、一、二、

三、四、五、四、三、二、一、、、、、、、。按“二、

三、四、五、四、三、二、一”不断循环重复,所以周期是8。

(2009-1)÷8=251,没余数,说明最后一个学生排在周期里的最后一个数,即第一列。

注意:周期可以是从第一个数开始不断循环重复,也可以不从第一个数开始,当不是从第一个数开始循环重复时,我们一般先从总数中把不参与循环的数剔除掉,再除以周期,看余数。

例4.2009年9月8日是星期二

(1)2009年9月27日是星期几?

(2)2009年12月25日是星期几?

(3)2012年10月1日是星期几?

解析:推算星期几的题目,第一:要知道周期;第二:要学会计算天数(最重要的)。第三:推星期几;总天数除以7,看余数,余几就从当天往后推几天。一周七天,不断循环重复,周期是7。计算天数时,遵守以下几个规律:①一个月之内的,尾减首就得天数②跨月的,先算整月再算零头天数③跨年的,先算整年再算整月最后算零头天数

④有几个常识要清楚:一、三、五、七、八、十、腊(十

二)为大月,31天;四、六、九、十一为小月,30天;2月平年28天,闰年29天;年,平年365天,闰年366天,四年一闰,一般情况下能被4整除的是闰年,下面的年份为例外:能被100整除的但不能被400整除的是平年。

(1)属一个月之内的。从9月8日到27日有 27-8=19天 19÷7=2(周)、、、、5(天)

从星期二往后推5天,就是星期日。

即2009年9月27日是星期日

(2)属跨月的。

先算整月:9月8日至10月8日至11月8日至12月8日,三个月共 30+31+30=91(天)

再算零头:12月8日至12月25日有 25-8=17天 所以,共有91+17=108(天)

108÷7=15(周)、、、3(天)

从星期二往后推三天,就是星期五。

即2009年12月25日是星期五。

(3)属跨年的

先算整年:2009.9.8--2010.9.8--2011.9.8--2012.9.8 三年共365+365+366=1096天

再算整月:2012.9.8—2012.10.8 一个月 共 30天 最后算零头: 2012.10.8—10.1 共8-1=7天

所以 共有 1096+30-7=1119天

1119÷7=159(周)、、、、6天

从星期二往后推六天,就是星期一

即2012年10月1日是星期一

例5.伸出你的左手,从大拇指开始,按大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指、、、、、的顺序依次数数字:1、2、3、、、、,问:数到2009时,你数在哪个手指上?

解析:我们先看数字规律,找出周期来。大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指、、、、、8个循环重复一次,周期是8

2009÷8=251、、、1

余几就是一个周期中的第几个。

所以,数到2009时,正好数到大拇指的位置上。

例6.一列数1、2、4、7、11、16、22、29、、、、。这列数左起第2009年数除以5的余数是几?

解析:由于是求余数,因此找出这列数除以5的余数规律是本题的关键。

1÷5 余数是1

2÷5 余数是2

4÷5 余数是4

7÷5 余数是2

11÷5 余数是1

16÷5 余数是1

22÷5 余数是2

29÷5 余数是4

从上可以看出余数的排列规律是:按1、2、4、2、1、、、、、每隔这五个数循环重复出现,周期是5

2009÷5=401、、、、4 余数是几就是一个周期中的第几个数

所以,第2009个数除以5的余数是2。

小结:解答周期性问题,需要我们具有较强的观察能力,能从数字变化中找出它的周期性变化规律。找周期是关键,找周期的方法往往从出发位置开始,看经过多少步以后又回到起始位置。对于一些较复杂的问题,我们可以借助画示意图或列举部分数字等方法帮助寻找周期。

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