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奥赛小学四升五教师版

发布时间:2013-12-25 13:45:52  

第一讲 速算与巧算

计算是一个学生学习数学的基石,几乎在每个学期我们都要来学习计算的方法和技巧,在四年级春季第十一讲中,我们按照方法思路进行分类,给学生讲解了以下几种类型:凑整求和、找基准数、分组求解、自然数的分拆、连续自然数求和巧设中间数的方法.

【复习1】(我爱数学夏令营)计算:6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78+1.89

分析:原式=(6.11+1.89)+(9.22+2.78)+(8.33+3.67)+(7.44+4.56)+5.55=8+12+12+12+5.55=49.55

【复习2】(06香港圣公会小学奥林匹克)计算:3.72-2.73+4.6+5.28-0.27+6.4

分析:原式=(3.72+5.28)+(4.6+6.4)-(2.73+0.27)=9+11-3=17 .

【复习3】(华罗庚学校五年级入学考试试题) 8×(3.1-2.85)×12.5×(1.62+2.38)-3.27

分析:初看这道题好像不能用简便方法进行计算.但是里面有特殊数8、12.5,所以可以先算一步,再用简便方法进行计算.原式=8×0.25×12.5×4-3.27=(8×12.5)×(0.25×4)-3.27=100-3.27=96.73

【复习4】(04陈省身杯数学邀请赛)(56789+67895+78956+89567+95678)÷7

分析:原式=(5+6+7+8+9)×11111÷7=5×11111=55555 . 观察可知5、6、7、8、9在万、千、百、

十、个位各出现过一次 .

【复习5】计算:l-2+3-4+5-6+…+2005-2006+2007

分析:原式= l+3-2+5-4+7-6+…+2005+2007-2006=1+1×1003=1004 ,分组求和的思路.

巧用运算律:在速算的过程中,如果加入运算律的应用,会有意想不到的效果!我们一起先来看看常用的一些运算律和结论吧!

在计算过程中,最常用的技巧之一是灵活熟练地运用运算律.运算律有:

(1) 加法交换律:a+b=b+a

(2) 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

(3) 乘法交换律:ab=ba

(4) 乘法结合律:(ab)c=a(bc)

(5) 分配律: a(b+c)=ab+ac (反过来就是提取公因数)

(6) 减法(括号)的性质:a-b-c=a-(b+c)

(7) 除法的性质:a÷(b×c)=a÷b÷c

(a+b) ÷c=a÷c+b÷c (a-b) ÷c=a÷c-b÷c

1

和不变的规律:如果一个加数增加另一个加数减少同一个数,它们的和不变.

积不变的规律:如果一个因数扩大几倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变.

商不变的规律:如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变.

【例1】 (04陈省身杯数学邀请赛)计算:3.1415×25-3.1415×15 22

分析:(法1):题中的三项都有因数34.5,容易想到把34.5作为公因数提取出来(把乘法分配律反过来用),从而使计算简便.原式=34.5×(8.23+2.77—1)=34.5×10=345.

(法2):原式=3.1415×(252-152)=3.1415×(25+15)×(25-15)=3.1415×40×10=1256.6 应用下面的平方差公式

【回忆巩固】a、b代表任意数字,(a+b)×(a-b)=a×a-b×b,这个公式在数学上称为平方差公式。

【回忆巩固】用简便方法求292和822的值.(此为春季所学内

容)

分析:求一位数的平方,在乘法口诀的九九表中已经被同学们

熟知,如7×7=49.对于两位数的平方,大多数同学只是背熟

了10~20的平方,如右表,而21~99的平方就不大熟悉了.有

没有什么窍门,能够迅速算出两位数的平方呢?这里向同学们

介绍一种方法——凑整补零法.所谓凑整补零法,就是用所求数与最接近的整十数的差,通过移多补少,将所求数转化成一个整十数乘以另一数,再加上零头的平方数.

292=29×29=(29+1) ×(29-1)+1=30×28+1=840+1=841

822=82×82=(82-2) ×(82+2)+22=80×84+4=6724

由上例看出,因为29比30少l,所以给29―补‖l,这叫―补少‖;因为82比80多2,所以从82中―移走‖2,这叫―移多‖.因为是两个相同数相乘,所以对其中一个数―移多补少‖后,还需要在另一个数上―找齐‖.本例中,给一个29补1,就要给另一个29减l;给一个82减了2,就要给另一个82加上2.最后,还要加上―移多补少‖的数的平方.

【例2】 (06香港圣公会小学奥林匹克)计算:8.88×0.15+265×0.0888+5.2×8.88+0.888×20 分析:原式=8.88×0.15+8.88×2.65+8.88×5.2+8.88×2

=8.88×(0.15+2.65+5.2+2)

=8.88×10

=88.8

2

根据―一个因数扩大若干倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变‖的道理,进行适当变换,提取公因式,进而凑整求和.

【巩固】计算 6.25 × 0.16+264×0.0625+5.2×6.25+0.625×20

分析:原式=6.25×0.16+2.64×6.25+5.2×6.25+6.25×2=6.25×(O.16+2.64+5.2+2)=62.5

【巩固】(04陈省身杯数学邀请赛)计算:85.42×7903.29-286.5×790.329+79032.9×4.323 分析:原式=790329×(0.8542-0.2865+0.4323)=790329×1=790329

【拓展】(我爱数学夏令营)计算:6.25×8.27×16+3.75×0.827×8

分析:原式=6.25×16×8.27+3.75×0.8×8.27=8.27×(6.25×16+3.75×0.8)=8.27×

=8.27×100+8.27×3=851.81

【例3】 (希望杯数学邀请赛初赛)计算7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816

分析:不难看出式子是7.816出现过两次,联想提取公因数。

原式=7.816×(1.45+1.69)+3.14×2.184

=7.816×3.14 +3.14×2.184

=3.14×10

=31.4

【例4】 (05我爱数学夏令营)计算:147.75×8.4+4.792+409×2.1+0.9521×479

分析:原式=(147.75×4+409)×2.1+(0.0479+0.9521)×479

=1000×2.1+479

=2579

【例5】 计算11.8×43—860×0.09

分析:观察题中的每一个数,我们发现:860=43×20,可把20与O.09结合.

原式=11.8×43—43×20×0.09

=11.8× 43—43×1.8

=43×(11.8—1.8)

=430

【前铺】计算:20.06×37+200.6×2.3+1.003×800

分析:原式=20.06×37+20.06×23+20.06×40=20.06×(37+23+40)=2006

【例6】 41.2×8.1+11×8.75+537×0.19

分析:原式=41.2×8.1+11×8.75+537×0.19

=41.2×8.1+11×8.75+(41.2+12.5)×1.9

=41.2×(8.1+1.9)+11×8.75+12.5×1.9

3 100+3)(

=412+11×8.75+12.5×1.9

=412+1.1×87.5+12.5×1.9

=412+1.1×12.5×7+12.5×1.9

=412+12.5×8×1.2

=532

【巩固】计算31.4×36+64×43.9

分析:首先拿31.4×36+64×31.4讲解,要求学生要观察主要要把36和64凑在一起,这样前面有31.4,后面没有,所以思路分析很明显。原式=31.4×36+64×(31.4+12.5)=3140+800=3940

【例7】 (希望杯数学邀请赛决赛)计算 8.1×1.3-8÷1.3+1.9×1.3+11.9÷1.3

分析:原式=8.1×1.3+1.9×1.3+11.9÷1.3-8÷1.3

=(8.1+1.9) ×1.3+(11.9-8)÷1.3

=10×1.3+3.9÷1.3

=16,

【前铺】计算:11.1×4÷9×3÷7.4×2 .

分析:原式=3×3.7×4÷9×3÷3.7÷2×2=(3×3÷9)×(3.7÷3.7)×4÷2×2=4 .

【前铺】(06香港圣公会小学奥林匹克)计算:1998÷28+802÷28

分析:原式=(1998+802)÷28=2800÷28=100 .注意除数相同有类似提取公因数的方法.

【巩固】计算:2003×2001÷111+2003×73÷37

分析:原式=2003×(2001+73×3)÷111=2003×2220÷111=40060

【例8】 下面有两个小数:

a?0.00...0125   b=0.00...08????????

1996个02000个0

试求a+b,a—b,a×b,a÷b.

分析:只需记住小数的四则计算法则就能正确算出.

a+b,a的小数点后面有1998位,b的小数点后面有2000位.小数加法要求数位对齐,然后按整数的加法法则计算,所以

a?b?0.00...012508??????0.00...012508???

2000位1996个0

a?b?0.00...12492 ??????0.00...012492???

2000位1996个0

a?b?0.00...01???

3995位

4

a—b,方法与a+b一样,数位对齐,还要注意退位和补零.因为

a?0.00...0125?????,b?0.00...08???

1998位2000位

由12500—8=12492,所以

a?b?0.00...12492??????0.00...012492???

2000位1996个0

a×b,a×b的小数点后面应该有1998+2000位,但125×8=1000,所以:a?b?0.00...01???

3995位

a÷b,将a、b同时扩大100...0? 倍,得到:a?b?12500?8?1562.5 .

2000个0

周期性数字

周期性数字就是由相同的数字重复写几遍而来,这些数字可以利用规律来巧妙分解

如:123123123=123000000+123000+123=123×1000000+123×1000+123=123×1001001

由此我们可以巧妙的发现上面数字其实就是看有几个周期,这样原来的数就可以分解成一个周期数乘以1001001这种类型的数,0的个数就是每个周期内的数字个数减一.

也可以这样理解,其实就是在每个周期数最后一位下填1,然后看1的中间隔几个数就填几个0.

如:47564756=4756×10001

【例9】 计算2005×20062006-2006×20052005

分析:原式=2005×2006×10001-2006×2005×10001

=0

【巩固】计算:1997×2000 2000 -2000 × 1997 1997

分析:原式=1997×2000×10001-2000×1997×10001=0 .

【例10】 (希望杯数学邀请赛培训题)计算2006×20052006-2005×20062005

分析:发现后面周期性数字都多1,这样先转化成周期性数字.

原式=2006×(20052005+1)-2005×(20062006-1)

=2006×20052005+2006-2005×20062006+2005

=4011

【巩固】(05我爱数学夏令营)计算:333×332 332 333 – 332 × 333 333 332

分析:原式=333×(332 332 332+1)-332×(333 333 333 -1)

=333×(1001001×332+1)-332×(333×1001001-1)

=333+332

=665

5

【拓展】(04全国小学奥林匹克)计算:55 555 × 666 667 + 44 445 × 666 666 – 155 555 分析:原式=55 555 × 666 666 + 55 555 +44 445 × 666 666 -155 555

=(55 555+44 445)× 666 666-100 000

= 66 666 500 000

从简单情况找规律

【例11】 计算:99....9??99....9?

2006个92006个9

分析:从简单情况入手找规律.

9×9=81 ; 99 × 99 =9801 ;999 × 999 =998001 ,……

所以:99....9??99....9?=99...9800...01?? .

2006个92006个92005个92005个0

【巩固】计算:33....3??13...3?2

2006个32006个3

分析:3×132=396 ;33×1332=43956 ;333×13332=4439556 ,……

所以:33....3??13...3?2=44...43955...56?? .

2006个32006个32005个2005个

【例12】 计算:88....8??33...3?

2007个82007个3

分析:这道题目,你会发现无规律可循.这时我们就要从这个思路走出来,

88....8??99...9??88...8711...12?? ,原式可将上式除以3即可得到,296296...2962957037...03704???????????? ,学2007个82007个92006个82006个1668个296668个037生平时做题时注意对典型例题的记忆.

【例13】 求3?33?333?...?33...3?的末三位数字.

2007个3

分析:原式的末三位和每个数字的末三位有关系,有2007个3,2006个30,2005个300 , 则2007×3+2006×30+2005×300=6021+60180+601500=667701 ,原式末三位数字为701 . 附加题目

【附1】(走进美妙数学花园)若A=1921,B=1949,C=1976,D=2004,

求:(A+B+C-D)+(A+B+D-C)+(A+C+D-B)+(B+C+D-A)的值.

分析:原式=(A+B+C+D)×2 = (1921+1949+1976+2004)×2 =15700 .

【附2】(04全国小学奥林匹克)1.23452+0.76552+2.469×0.7655

6

分析:1.23452+0.7655×(0.7655+2.469)=1.23452+0.7655×(1.235+2)

=1.2345×(1.2345+0.7655)+0.7655×2=2×2=4

【附3】计算:63÷34×51÷72×64÷36

分析:原式=63×51×64÷34÷72÷36=(9×7×3×17×2×4×8)÷(17×2×8×9×4×9)=7/3

【附4】765×213÷27+765×327÷27

分析:原式=765÷27×(213+327)=765÷27×540=765×540÷27=765×20=15300

【附5】2828÷28+34965÷35

分析:原式=2828÷4÷7+34965÷5÷7=707÷7+6993÷7=7700÷7=1100

【附6】计算:(224466-2244.66)÷(112233-1122.33)

分析:原式=2×(112233-1122.33)÷(112233-1122.33)=2 .

【附7】计算:9039030÷43043

分析:原式=903×10010÷(43×1001)=903÷43×10010÷1001=210

【附8】计算:(747×127+492)÷(746×128-127)

分析:原式=(746×127+127+492)÷(746×127+746-127)=(746×127+619)÷(746×127+619)=1 练习一

1. (希望杯数学邀请赛决赛)计算2.005×390+20.05×41+200.5×2

分析:原式 =2.005×390+ 2.005×410+2.005×200=2.005×(390+410+200)=2.005×1000=2005

2. (05南京市少年数学智力冬令营)计算:3.142+68.6×1.314

分析:原式 = 3.142+68.6×1.314 = 3.142+68.6×(1+0.314)= 3.14×3.14+68.6+68.6×0.314

=68.6+3.14×(3.14+6.86)= 100 .

3. 计算4.83×0.59+0.41×1.59-0.324×5.9

分析:原式=4.83×0.59-3.24×0.59+0.41×1.59=(4.83—3.24)×0.59+0.41×1.59

=1.59×0.59+0.41×1.59=1.59

4. 计算:3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7

分析:原式=76.3×(3.42+5.76)+9.18×23.7=76.3×9.18+9.18×23.7=918

5. 计算:9966×6+6678×18

分析:原式=3322×3×6+6678×18=(3322+6678)×18=180000

7

6. 计算(2×3×5×7×11×13×17×19)÷(38×51×65×77)

分析:原式=1

7. 9×17+91÷17-5×17+45÷17

分析:原式=(9-5)×17+(91+45)÷17=68+8=76

8. (05陈省身杯数学邀请赛)计算:2004×20032002-2002×20032004

分析:原式=(2002+2)×20032002-2002×(20032002+2)=2×(20032002-2002)=40 060 000 .

9. 求1?11?111?...?11...1?的末四位数.

100个1

分析:原式的末四位有100个1,99个10,98个100,97个1000,100+990+9800+97000=107890 ,原式的末四位为7890 .

课外故事

成功就是将简单的事情重复做

那天,会场座无虚席,人们在热切地、焦急地等待着,那位当代最伟大的推销员,做精彩的演讲。当大幕徐徐拉开,舞台的正中央吊着一个巨大的铁球。为了这个铁球,台上搭起了高大的铁架。一位老者在人们热烈的掌声中,走了出来,站在铁架的一边。他穿着一件红色的运动服,脚下是一双白色胶鞋人们惊奇地望着他,不知道他要做出什么举动。这时两位工作人员,抬着一个大铁锤,放在老者的面前。主持人这时对观众讲:请两位身体强壮的人,到台上来。好多年轻人站起来,转眼间已有两名动作快的跑到台上。老人这时开口和他们讲规则,请他们用这个大铁锤,去敲打那个吊着的铁球,直到把它荡起来。一个年轻人抢着拿起铁锤,拉开架势,抡起大锤,全力向那吊着的铁球砸去,一声震耳的响声,那吊球动也没动。他就用大铁锤接二连三地砸向吊球,很快他就气喘吁吁.另一个人也不示弱,接过大铁锤把吊球打得叮当响,可是铁球仍旧一动不动。台下逐渐没了呐喊声,观众好像认定那是没用的,就等着老人做出什么解释。会场恢复了平静,老人从上衣口袋里掏出一个小锤,然后认真地,面对着那个巨大的铁球。他用小锤对着铁球―咚‖敲了一下,然后停顿一下,再一次用小锤―咚‖敲了一下。人们奇怪地看着,老人就那样―咚‖敲一下,然后停顿一下,就这样持续地做。十分钟过去了,二十分钟过去了,会场早已开始骚动,有的人干脆叫骂起来,人们用各种声音和动作发泄着他们的不满。老人仍然一小锤一停地工作着,他好像根本没有听见人们在喊叫什么。人们开始忿然离去,会场上出现了大块大块的空缺。留下来的人们好像也喊累了,会 8

场渐渐地安静下来大概在老人进行到四十分钟的时候,坐在前面的一个妇女突然尖叫一声:―球动了!‖刹时间会场立即鸦雀无声,人们聚精会神地看着那个铁球。那球以很小的摆度动了起来,不仔细看很难察觉。老人仍旧一小锤一小锤地敲着,人们好像都听到了那小锤敲打吊球的声响。吊球在老人一锤一锤的敲打中越荡越高,它拉动着那个铁架子―哐、哐‖作响,它的巨大威力强烈地震撼着在场的每一个人。终于场上爆发出一阵阵热烈的掌声,在掌声中,老人转过身来,慢慢地把那把小锤揣进兜里。老人开口讲话了,他只说了一句话:在成功的道路上,你没有耐心去等待成功的到来,那么,你只好用一生的耐心去面对失败。

第二讲 周期性问题

主张教师在条件允许的范围之内,尽量将题目的缘由讲解给学生,这样有利于学生―举一反三‖,逐渐帮助学生拥有研究问题、发现问题的能力.

基本概念:周期现象:事物在运动变化过程中,某些特征有规律循环出现;周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期;解决有关周期性问题的关键是确定循环周期. 阳历中有闰日的年份叫闰年,相反就是平年,平年为365天,闰年为366天. 在公历纪年中,平年的二月为28天,闰年的二月为29天. 闰年的2月29日为闰日.

一般的,能被4整除的年份是闰年,不能被4整除的年份是平年.如:1988年2008年是闰年;2005年2006年2007年是平年.但是如果是世纪年(也就是整百年),就只有能被400整除才是闰年,否则就是平年.如:2000年就是闰年,1900年就是平年.

【复习1】(华罗庚学校五年级入学考试试题)从算式1998÷8991的除数和被除数中各划去两个数字,使得新算式的结果尽可能小,那么该结果小数点后第1998位数字是多少?

分析:除数划去两个数字最小是18, 被除数划去两个数字最大是99 , 18’99=0.1818……,1998’2正好整除,所以小数点后面1998位是8.

【复习2】(05福建迎春杯)有一串数列,第一个数是8,以后每个数的规律为:如果前一个数是奇数,就将它减去1以后再乘以3;如果前一个数是偶数,就将它除以2以后再加上2,那么这串数列的第102个数是多少?

分析:写出这串数的若干项:8、6、5、12、8、6、5、12、…… ,每四个数一循环:102’4=25…2,所以第102个数是6 .

【复习3】有一列数:2、1000、998、2、996、994、…从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差,那么在这列数中第188个数是几?

9

分析:我们把这个数列延伸一下:2、1000、998、2、996、994、2、992、990、2、988、986、… ,3间隔两项出现,大数(非3的数)以2为公差减小,如上下划线所示,每三个一组,每组第二个数字差为4,188’3=62……2 ,所以第188个数是第63组的第2个数,为:1000-(63-1)×4=752.

【例1】 除0外的全体自然数如右表排列,请问

(1)数43在哪个字母下面?

(2)数47在哪个字母下面?

(3)数56在哪个字母下面?

分析:(1)43’8=5…3,所以它在3的下面,也就

是说在C的下面;(2)47’8=5…7,所以它在7的下面,也就是说在E的下面;(3)56=7×8,所以它在8的下面,也就是说在D的下面。

【例2】 (小数报数学竞赛初赛)右图中,任意三个连续的小圆圈内三个数的

连乘积都是891,那么B代表多少?

分析:根据―任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891‖,可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.

于是:B=891÷(9×9)=11.

【巩固】有一个十一位数,已知它的首位数字为9,末尾数字为8,且三个相邻的数字之和是24,则第5个数字是几? 这个数是多少?

分析:三个相邻的数字之和是24,说明第二、三个数字为24-9=15,即第四个数字为9,以此类推:

再从后往前,即可完成

可以增加一个格,要不从右边开始数,隔2个数就相等,马上就能数出来!

【例3】 (05希望杯邀请赛)将100个小球放入依次排列的36个盒子中.如果任意相邻的5个盒子中的小球总数均为14,且第1个盒中有2个小球.求第36个盒子中小球的个数.

分析:将36个盒子依次编号为1,2,3,…,36.由于任意相邻的5个盒子中的小球总数相等, 10

所以1到5号盒子中小球总数与2到6号盒子中小球总数相等.

又因为它们均含有2号、3号、4号和5号盒子,所以1号盒子与6号盒子中所含小球数相同. 同理,由6到10号盒子中小球总数与7到11号盒子中小球总数相等,可推得6号盒子与11号盒子中所含小球数相同.

按照此规律可知:1号盒子、6号盒子、11号盒子、16号盒子、21号盒子、26号盒子、31号盒子和36号盒子中小球的个数相同.

末尾数字的规律

【例4】 算式123?123?...?123?????????的得数的尾数是几?

2006个123

分析:我们只需要看个位就行了,3的个位是3,3×3个位是9,3×3×3个位是7,3×3×3×3个位是1,3×3×3×3×3个位是3,我们发现四次一循环,2006’4=501……2,所以算式123×123×123×……×123的得数的尾数是9

【拓展】an的个位数字的变化规律,如下表:从总体而言,可以总结成:―4个一循环‖

【巩固】求67999的个位数字.

分析:因为67的个位数是7,所以67n的个位数随着n的增大,按7,9,3,1四个数的顺序循环出现.

999÷4=249……3,所以67999的个位数字与73的个位数字相同,即67999的个位数字是3。

【例5】 求28128-2929的个位数字.

分析:由128÷4=32知,28128的个位数与84的个位数相同,等于6。由29÷2=14……1知,2929的个位数与91的个位数相同,等于9.因为6<9,在减法中需向十位借位,所以所求个位数字为16-9=7.

【拓展】算式(367367+762762)×123123的得数的尾数是几?

11

分析:这是一道很经典的题目,分别找规律,我们只看个位数就够了:

7:7,9,3,1……,367/4=91…3,个位数是3 ;

2:2,4,8,6……,762/4=190…2,个位数是4 ;

3:3,9,7,1……,123/4=30…3,个位数是7 ;

因此个位数:(3+4)×7=49 .

圆圈上的数学游戏

【例6】 (希望杯数学邀请赛决赛)如右图,是一片刚刚收割过的稻

田,每个小正方形的边长是1米,A、B、C三点周围的阴影部分是圆

形的水洼。一只小鸟飞来飞去,四处觅食,它最初停留在0号位,过

了一会儿,它跃过水洼,飞到关于A点对称的1号位;不久,它又飞

到关于B点对称的2号位;接着,它飞到关于C点对称的3号位,再

飞到关于A点对称的4号位,……,如此继续,一直对称地飞下去。由此推断,2004号位和0号位之间的距离是多少米?

分析:到5号位后回到0号位,因此每六个数为一个周期,所以2004号和0号在同一位臵,它们的距离是0米.

【例7】 (迎春杯刊赛)如右图,有16把椅子摆成一个圆圈,依次编上

从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个,再逆时

针前进485个,又顺时针前进328个,再逆时针前进485个,又顺时针

前进136个,这时他到了第几号椅子?

分析:这个人顺时针前进了328+328+136=792个位臵,由于792’16=49…8,所以他走到9号位臵.又这个人逆时针共退回485+485=970个位臵,由于970÷16=60…10,因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子.

【巩固】(华杯赛复赛)电子跳蚤每跳一步,可从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在,

一只红跳蚤从标有数字―0‖的圆圈按顺时针方向跳了1991步,落在一个圆圈里.一

只黑跳蚤也从标有数字―0‖的圆圈起跳,但它是沿着逆时针方向跳了1949步,落

在另一个圆圈里.问:这两个圆圈里数字的乘积是多少?

分析:电子跳蚤每跳12步就回到了原来位臵,由于1991=165×12+11 ,所以红跳蚤从标有数字―0‖的圆圈出发,按顺时针方向跳了1991步时,跳到了标有数字―1l‖的圆圈.同理,由1949=162×12+5,知道黑跳蚤从标有数字―0‖的圆圈按逆时针方向跳了162个12步后跳到了标有数字―7‖的圆圈.于是所求的乘积是11×

7=77.

12

【例8】 如右图,把1~8八个号码摆成一个圆圈,现有一个小球,第一天从

1号开始按顺时针方向前进329个位臵,第二天接着按逆时针方向前进485个

位臵,第三天又顺时针前进329个位臵,第四天再逆时针前进485个位臵……

如此继续下去,问至少经过几天,小球又回到原来的1号位臵?

分析:根据题意,小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周期中,小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156(个)位臵. 156’8=19……4,就是说,每个周期(2天)中,小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位臵. 要使小球回到原来的1号位,至少应逆时针前进8个位臵. 8÷4=2(个)周期,2×2=4(天),所以至少要用4天,小球才又回到原来―1‖号位臵.

【例9】 (1)时针如果指在5,那么分针旋转转动2008周后,钟表显示的时间是几时?

(2)时钟在下午的时候指在5,那么分针旋转转动2008周后,钟表显示的时间是几时?

分析:(1)2008’12=167…4,5+4=9时;(2)2008’24=83…16,下午5时即17时,所以17+16-24=9,钟表显示的时间是上午9时.

我来找找星期几

【例10】 (美国小学数学奥林匹克)一月份有三十一天,如果某年的1月1日星期一,这年的2月22日是星期几?

分析:从1月1日到2月22日共经过30+22=52天(我们在计算经过多少天数时,都统一算尾不算头,也就是将明天看作―第一天‖),52’7=7……3,周一往后数三天就是周四,所以2月22日是星期四.

【拓展】(美国长岛小学数学竞赛)今天是星期二,从今天算起,第100天是星期几?

分析:100’7=14……2,因为是从―今天‖算做第一天,所以第100天是星期三 .

【例11】 (国家公务员考试题改编)1999年的元旦是星期五,那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗?

分析:00、04是闰年,99、01、02、03是平年,一共度过了:365×6+2=2192(天),2192’7=313…1, 2005年的元旦是星期六.

【巩固】我国1997年7月1日收回香港的主权,这天正好是星期二.到今年7月1日十周年庆祝时是星期几?

分析:98、99、01、02、03、05、06、07年是平年,00、04是闰年,从1997年7月1日到2007年7月1日,一共度过了:365×10+2=3652(天),7天一个周期,3652’7=521……5,所以2007年7月1日是星期日

.

13

【巩固】1991年2月1日是星期五,那么2000年的2月1日是星期几?

分析:在92、93、94、95、96、97、98、99、2000年中92、96、2000是闰年,但2000年中的闰日并不包含在内,所以从1991年2月1日到2000年2月1日共经过了:365×9+2=3287,3287’7=469……4,所以2000年的2月1日是星期二.

【例12】 (06年华罗庚金杯)奶奶告诉小明:―2006年共有53个星期日.‖聪明的小明立刻告诉奶奶:2007年的元旦一定是星期( ).

分析:2006年有365天,而365=7×52+1.又已知2006年有53个星期日,只能元旦是星期日,且12月31日也是星期日.所以2007年的元旦是星期一.

【巩固】(香港圣公会奥林匹克)一个月最多有5个星期日,在一年的12个月中,有5个星期日的月份最多有几个月?

分析:1月1日是星期日,全年就有53个星期日。每月至少有4个星期日,53-4×12=5,多出5个星期日,在5个月中.即最多有5个月有5个星期日.

【例13】 某年的10月有5个星期六,4个星期日,问这一年的十月一日是星期几?

分析:星期六后面必有星期日,所以10月31号是星期六,30’7=4……2,往前数2天是周四.

【巩固】1993年一月份有4个星期四、5个星期五,1993年1月4日是星期______.

分析:由已知,1号是星期五,因此1993年1月4日是星期一.

附加题目

【附1】实验室里有一个计数器,一圈一共24个格,按照顺时针顺序标

了0~23这24个数.每经过8分钟,指针就会顺时针方向跳一次;每跳一

次,就要跳过7格.今天晚上十一点的时候,指针正好从3跳到10,那么

明天早上9点23分的时候,指针指着的数是几?

分析:从晚上11点到早上9点23分的时候,共经过了623分钟,

623’8=77…7,

指针跳过:77×7=539(格),539’24=22…11,所以相当于从10顺时针跳11格,是21格.

【附2】(01明心杯数学挑战赛)如右图,电子跳蚤游戏盘为△ABC,

AB=8,AC=9,BC=10.如果电子跳蚤开始时在BC边上的Po点,BPo=4.

第一步跳蚤跳到AC边上P1点,且CP1=CPo;

第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点,且AP2=AP1;

第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点,且BP3=BP2;

跳蚤按上述规则跳下去,第2001次落点为P2001,请计算Po与P2001

之间的距离.

14

分析:因为BP0=4,所以CP0=10-4=6.

第一步:从P0→P1,CP1=CP0=6,所以AP1=9-6=3;

第二步:从P1→P2 ,AP2=AP1=3,所以BP2=8-3=5;

第三步:从P2→P3 ,BP3=BP2=5,所以CP3=10-5=5;

第四步:从P3 →P4 ,CP4=CP3=5,所以AP4=9-5=4;

第五步:从P4→P5 ,AP5=AP4=4,所以BP5=8-4=4;

第六步:从P5→P6 ,BP6=BP5=4.

可以看出,P6与P0点重合,而2001=6×333+3,故P2001点与P3点重合. P0与P2001之间的距离就是P0与P3之间的距离,等于:BP3一BP0=5-4=1.

【附3】(05香港圣公会奥林匹克)某月有31天,有4个星期一和4个星期四,那么这个月的20日是星期几?

分析:4个星期一和4个星期四,意味着有4个周一、二、三、四,31-4×4=15,即星期五、星期

六、星期日各有5个,1日、2日、3日是星期五、星期六、星期日,因此20日是星期三.

【附4】(迎春杯刊赛)甲、乙、丙三名学生,每天早晨轮流为李奶奶取牛奶.甲第一次取奶是星期一,那么甲第100次取奶是星期( ).

分析:甲第100次取奶,意味着甲、乙、丙三名学生已经都取过99次,所以甲的第100次,在总的次数中是第99×3+1=298,过了297次,297’7=42……3,所以是星期四.

【附5】(华罗庚学校五年级入学考试试题)甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三,那么当丙首次在周日义诊时,丁医生已经下乡义诊几次了?

分析:甲第30次义诊是在总次数的第4×29+1=117(次),117’7=16……5,从星期三往前数5天,由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六,甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二 . 丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天,所以那是丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天义诊,他已经去过5次.

【附6】(05年华罗庚金杯)从冬至之日起每九天分为一段,依次称之为一九,二九,…,九九.2004年的冬至为12月21日,2005年的立春是2月4日.问:立春之日是几九的第几天?;

分析:从2004年12月21日到2005年2月4日共计有11+31+4=46(天),46=5×9+1,所以立春之日是六九的第一天.故民间有―春打六九头‖之俗语.

【附7】(保良局亚洲区城市数学竞赛)每一年至少有一次星期五是某月的13日,但出现的次数不会超过三次.1998年正好有三次,分别在二月、三月和十一月.请问:下一次刚好又有三个月的13日是星期五的是公元哪一年?

15

分析:365=52×7+l,则平年52周多1天,闰年52周多2天.1998~2008年之间有三个闰年,共多14天(即2周),所以,2009年2月、3月、11月的13日又均在星期五.

【附8】如右图所示的数表中,从左往右依次看作五列.

(1) 第99行右边第一个数是几?

(2) 2006出现在第几行,第几列?

分析:(1)每7个数,分成两行一个周期,99’2=49……1,相当于49个周

期多一行,也就是50个周期第一行。第98行中最大的那个数为:(49×7-1)×2=684或者总共是7×49=343个数,所以342×2=684,所以第99行从左到右的数依次为:686、688、690 ,第99行右边第一个数是690 .

(2)2006÷2+1=1004,1004’7=143……3,所以在第287行,第5列.

练习二

1.(小学数学奥林匹克初赛)如果时钟现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是几点钟?分析:1990’24=82……22,18+22-24=16,于是分针旋转1990圈后是16点钟.

2.除0外的自然数都按右表排列,问:

(1)21排在第几列的下面?

(2)32排在第几列的下面?

(3)54排在第几列的下面?

分析:我们可以把7个看成一组

(1)21=3×7 ,所以21在7的下面,所以在第二列;

(2)32’7=4…4,所以32在4的下面,所以在第七列;

(3)54’7=7…5,所以54在5的下面,所以在第六列。

3.2008个数排成一排,其中任意五个相邻数之和都是2008,已知第1个数是1,第9个数是9,第90个数是9,第102个数是3,那么第2008个数是 ;

分析:根据题意可知,5个数一循环,前5个数分别为:1、3、1986、9、9 ,2008’5=401…3,所以第2008个数是1986 .

4.求291+3291的个位数字。

分析:因为2n的个位数字按2,4,8,6四个数的顺序循环出现,91÷4=22……3,所以,291的个位数字与23的个位数字相同,等于8.

类似地,3n的个位数字按3,9,7,1四个数的顺序循环出现:291÷4=72……3,所以3291与33的个位数相同,等于7.最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同,等于5.

16

5.(迎春杯刊赛)元旦是星期日,那么同年的国庆节是星期_______.

分析:平年元旦到国庆节经过273天.由于273÷7=39,故平年的国庆节是周日;

闰年元旦到国庆节经过274天,由于274’7=39…1,故闰年的国庆节是星期一.

6.(迎春杯刊赛)阳历1978年1月1日是星期日,那么阳历2000年的1月1日是星期_______. 分析:从1978年1月1日到2000年1月1日经过22年.这个期间内1980、1984、1988、1992、1996是闰年,其余年份是平年.于是这22年的总天数:365×22+5=8035.这样,问题转化为求8035被7除所得的余数.8035’7=1147…6,公元2000年1月1日是星期六.

课外故事

永远看得起自己

有一天某个农夫的一头驴子,不小心掉进一口枯井里,农夫绞尽脑汁想办法救出驴子,但几个小时过去了,驴子还在井里痛苦地哀嚎着.

最后,这位农夫决定放弃,他想这头驴子年纪大了,不值得大费周章去把它救出来,不过无论如何,这口井还是得填起来。于是农夫便请来左邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋了,以免除它的痛苦.

农夫的邻居们人手一把铲子,开始将泥土铲进枯井中。当这头驴子了解到自己的处境时,刚开始哭得很凄惨。但出人意料的是,一会儿之后这头驴子就安静下来了。农夫好奇地探头往井底一看,出现在眼前的景象令他大吃一惊:当铲进井里的泥土落在驴子的背部时,驴子的反应令人称奇──它将泥土抖落在一旁,然后站到铲进的泥土堆上面!

就这样,驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底,然后再站上去。很快地,这只驴子便得意地上升到井口,然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了!

第三讲 行程问题

行程问题是一类常见的重要应用题,在历次数学竞赛中经常出现.行程问题包括:相遇问题、追及问题、流水行船问题、环形行程问题等等,思维灵活性大,辐射面广,但万变不离根本,就是距离、速度、时间三个基本量之间的关系,即:距离=速度×时间 .在这三个量中,已知两个,可求出第三个未知量.这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解.

解决行程问题时,画图分析是一个非常有效的方法,我们一定要养成画图解决问题的好习惯!

【复习1】甲、乙两辆汽车从东、西两地同时相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米,两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地间的距离是多少千米?

分析:画图分析.相遇时甲车比乙车多行:32×2=64(千米),甲车每小时比乙车多行:56-48=8(千米),甲、乙两车从同时出发到相遇要:64÷8=8(小时),东、西两地间的距离是:(56+48)×8=832(千米). 17

【复习2】如右图,A,B是圆的直径的两端,甲在A点,乙在B点同时

出发反向而行,两人在C点第一次相遇,在D点第二次相遇。已知C离A

有80米,D离B有60米,求这个圆的周长.

分析:从A点出发到第一次相遇,两人共走了0.5圈;从A点出发到第二

次相遇,两人共走了1.5圈。因为1.5÷0.5=3,所以第二相遇时甲走的路程是第一次相遇时的3倍,即弧ACD=AC×3=240(米),则弧AB=240—BD=180(米),圆周长为180×2=360(米)

【复习3】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑. 甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米,两人同时同地同向出发,经过45分钟甲追上乙;如果两人同时同地反向出发,经过多少分钟两人相遇?

分析:在封闭的环形道上同向运动属追及问题,反向运动属相遇问题.同地出发,其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度.

环形道一周的长度:(250-200)×45=2250(米).反向出发的相遇时间:2250÷(250+200)=5(分钟).

【例1】 汽车往返于A,B两地,去时速度为40千米/时,要想来回的平均速度为48千米/时,回来时的速度应为多少?

分析:假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米,那么总时间=480÷48=10(小时),回来时的速度=240÷(10-240÷40)=60(千米/时).

【前铺】汽车上山以30千米/时的速度,到达山顶后立即以60千米/时的速度下山.求该车的平均速度.

分析:注意平均速度=总路程÷总时间,我们可以把上山的路程看作―1‖,那么就有:(1+1)÷(11)?3060=40(千米/时),在这里我们使用的是特殊值代入法,当然可以选择其他方便计算的数值,比如上山路程可以看作60千米,总时间=(60÷30)+(60÷60)=3,总路程=60×2=120,平均速度=120÷3=40(千米/时).

【例2】 一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它

每分钟分别爬行50cm,20cm,40cm(如右图).它爬行一周平均每分钟爬行多

少厘米?

分析:假设每条边长为200厘米,则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19

(分钟),爬行一周的平均速度=200×3÷19=3111(厘米/分钟). 19

老王开汽车从A到B为平地(见右图),车速是30千米/时;从B到

C为上山路,车速是22.5千米/时;从C到D为下山路,车速是36

18

米/时. 已知下山路是上山路的2倍,从A到D全程为72千米,老王开车从A到D共需要多少时间?

分析:设上山路为x千米,下山路为2x千米,则上下山的平均速度是:(x+2x)÷(x÷22.5+2x÷36)=30(千米/时),正好是平地的速度,所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时,与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30=2.4(时).

【例3】 小明放学后,沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停地运行. 每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车. 问:该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?公共汽车的速度是小明步行速度的几倍?

分析: 假设小明在路上向前行走了63(7、9的最小公倍数)分钟后,立即回头再走63分钟,回到原地.这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9(辆)车,后63分钟有63÷9=7(辆)车追上他,那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车,所以发车的时间间隔为:63×2÷(9+7)=7(分).

公共汽车的发车时间以及速度都是不变的,所以车与车之间的间隔也是固定不变的. 根据每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他,我们可以得到:间隔=9×(车速-步速);每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,我们可以得到:间隔=7×(车速+步速),所以9×(车速-步速)=7×(车速+步速),化简可得:车速=8倍的步速.

【巩固】小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米/时的速度往家走,一边走一边数来往的公共汽车. 到家时迎面来的公共汽车数了11辆,后面追过的公共汽车数了9辆. 如果公共汽车按相等的时间间隔发车,那么公共汽车的平均速度是多少?

分析:我们可以假设小红放学走到家共用99分钟,那么条件就可以转化为:―每隔9分钟就有辆公共汽车迎面开来,每隔11分钟就有辆公共汽车从后面超过他‖.

根据汽车间隔一定,可得:间隔=11×(车速-步速)=9×(车速+步速),化简可得:车速=10倍的步速.所以车速为40千米/时.

【例4】 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开78往乙站,全程要走15分钟. 有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站. 他出发的时候,恰好有一辆电车到达乙站. 在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出. 问他从乙站到甲站用了多少分钟?

分析:骑车人一共看到12辆车,他出发时看到的是15分钟前发的车,此时第4辆车正从甲发出. 骑车中,甲站发出第4到第12辆车,共9辆,有8个5分钟的间隔,时间是5×8=40(分钟).

19

猎狗追兔

一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子,已知狗一跳前进3米,

兔子一跳前进2.1米,狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问:

兔子跑出多远将被猎狗追上?

分析:在一个单位时间里,狗跑3×3=9(米),兔子跑4×2.1=8.4(米),

所以兔子跑的距离为:[20÷(9-8.4)]×8.4=280(米).

【例5】 猎狗前面26步远有一只野兔,猎狗追之. 兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问:兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步?

分析:―猎狗前面26步……‖显然指的是猎狗的26步。因为题目中出现―兔跑8步的时间……‖和―兔跑9步的距离……‖,8与9的最小公倍数是72,所以可以统一在―兔跑72步‖这个情况下考虑. 兔跑72步的时间狗跑45步,兔跑72步的距离等于狗跑32步距离,所以在兔跑72步的时间里,狗比兔多跑了45—32=13(步)的路程,这个13步是猎狗的13步. 由此推知,要追上26(狗)步,兔跑了72×(26÷13)=144(步),此时猎狗跑了5×(144÷8)=90(步).

【巩固】野兔逃出80步后猎狗才开始追,野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步,野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步.问:猎狗至少跑多少步才能追上野兔?

分析:―野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步,野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步.‖讲条件转化为:―野兔跑35步的路程猎狗只需跑15步,野兔跑27步的时间猎狗只能跑15步.‖在猎狗跑15步的时间内,猎狗比野兔多跑35-27=8(兔步). 猎狗追上野兔需跑:15×(80÷8)=150(步).

【例6】 猎狗追赶前方15米处的野兔.猎狗跑3步的时间野兔跑5步,猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.猎狗至少跑出多少米才能追上野兔?

分析:―猎狗跑3步的时间野兔跑5步,猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.‖将条件转化为:―猎狗跑12步的时间野兔跑20步,猎狗跑12步的距离野兔要跑21步.‖我们也就可以这样认为:在一个单位时间内(猎狗跑12步的时间),猎狗跑了野兔的21步,野兔跑了20步,速度差为野兔的1步.追击时间=15÷野兔的1步,所以猎狗追击的距离=(15÷野兔的1步)×野兔的21步=315(米).

【例7】 狼和狗是死对头,见面就要相互撕咬. 一天,它们同时发现了对方,它们之间的距离狼要跑568步.如果狼跑9步的时间狗跑7步,狼跑5步的距离等于狗跑4步的距离,那么从它们同时奔向对方到相遇,狗跑了多少步?狼跑了多少步?

分析:由题目条件知,狼跑45步的时间狗跑35步,狼跑45步的距离等于狗跑36步的距离,也就是说,在相同的时间里,狼跑狗的36部,狗跑35步.所以相遇时,狼跑了:568?

狗跑了:288÷9×7=224(步).

20 36,?288(步)36?35

多人行程

【例8】 东、西两城相距75千米.小明从东向西走,每小时走6.5千米;小强从西向东走,每小时走6千米;小辉骑自行车从东向西,每小时骑行15千米.三人同时动身,途中小辉遇见小强即折回向东骑,遇见了小明又折回向西骑,再遇见小强又折回向东骑.这样往返,直到三人在途中相遇为止.问小辉共走了多少米?

分析:在这一过程中,小辉始终在小强与小明之间往返.对于确定小辉与小强或小明的每一次相遇时间和地点,是十分繁琐并且不必要的.事实上,小辉一直在以每小时15千米的速度骑行.为求出他所骑的路程,只需要求出从开始到最终相遇的时间.而这个时间只要由小强和小明的速度就可以计算.从开始到相遇的时间为:75÷(6.5+6)=6小时.6小时内小辉一共骑了15×6=90千米.

【例9】 有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行走,甲与乙、丙相背而行.甲每分钟走40米,乙每分钟走38米,丙每分钟走36米.出发后,甲和乙相遇后3分钟和丙相遇.这花圃的周长是多少米?

分析:由已知可知,甲先与乙相遇.在甲乙相遇这段时间里,乙丙所行的路程差正是甲丙在3分钟内相向而行的路程之和:(40+36)×3=228(米).从出发到甲乙相遇所用时间为228÷(38-36)=114(分钟).所以,花圃的周长为(40+38)×114=8892(米).

【前铺】甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米.甲、乙两人从A地,丙一人从B地同时相向出发,丙遇到乙后2分钟又遇到甲,A、B两地相距多少米?

分析:线段示意图如右:当乙和丙相遇时,乙和

甲相距:(70+50)×2=240(米),从3人同时出发到

乙、丙相遇经过:240÷(60-50)=24(分),A、B两

地相距:(60+70)×24=130×24=3120(米).

附加题目

【附1】某司机开车从A城到B城. 若按原定速度前进,则可准时到达. 当路程走了一半时,司机发现前一半行程中,实际平均速度只达到原定速度的

半的行程中,实际平均速度是原定速度的多少倍? 分析:前一半路程用去原定时间的

度是原定速度的11倍. 913139,后一半路程就用去原定时间的2-=,所以实际平均速11111111,如果司机想准时到达B城,那么在后一13

【附2】甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟?

21

分析:(法1)全程的平均速度是每分钟(80+70)÷2=75米,走完全程的时间是6000/75=80分钟,走前一半路程速度一定是80米,时间是3000÷80=37.5分钟,后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟 (法2)设走一半路程时间是x分钟,则80x+70x=6×1000,解方程得:x=40分钟,因为80×40=3200米,大于一半路程3000米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是3000÷80=37.5分钟,后一半路程时间是40+(40-37.5)=42.5分钟

【附3】一只快、中、慢3辆车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的一个骑车人.这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人. 现在知道快车每小时走24千米,中车每小时走20千米,那么,慢车每小时走多少千米?

1分析:(法1)快车6分钟行24×1000×6÷60=2400(米),中车10分钟行20×1000×10÷60=3333,3

1700骑车人速度每分钟行(3333-2400)÷(10-6)=(米) 33

慢车12分钟行2400-

(法2)6分钟快车追上骑车人时,中车与它们还相差6×(24-20)÷60=0.4千米,10分钟时,中车又开了4×20÷60=

=4414千米,追上骑车人,说明骑车人4分钟骑了-0.4=千米,即骑车人速度3315700700×6+×12=3800(米),每小时行3800÷12×60=19000(米)=19(千米) 331460,因为快车用6分钟追上骑车人,由此可知原本三辆汽车落后骑车人6×?=14(千米/小时)154

(24-14)÷60=1千米,12分钟时,骑车人离三车出发点1+14×12÷60=3.8千米,所以,慢车速度=(3.8÷12)×60=19千米/小时.

【附4】设有甲、乙、丙3人,他们步行的速度相同,骑车的速度也相同,骑车的速度是步行速度的3倍。现甲从A地去B地,乙、丙从B地去A地,双方同时出发。出发时,甲、乙为步行,丙骑车。途中,当甲、丙相遇时,丙将车给甲骑,自己

改为步行,3人仍按各自原有方向继续前进;当甲、乙

相遇时,甲将车给乙骑,自己重又步行,3人仍按各自

原有方向继续前进。问:3人之中谁最先达到自己的目

的地?谁最后到达目的地?

分析:(法1): 如图,甲与丙在M点相遇,甲走了

AM,同时乙也走了同样距离BN。当甲与乙在P

点相

22

遇时,乙一共走了BP,甲还要走PB,而丙只走了MA。所以3人步行的距离,甲=AM+PB,乙=BP,丙=MA。甲最远,最后到;丙最短,最先到.

(法2):由于每人的步行速度和骑车速度都相同,所以,要知道谁先到、谁后到,只要计算一下各人谁步行最长,谁步行最短. 将整个路程分成4份,甲丙最先相遇,丙骑行3份,步行1分;甲

333533先步行了1份,然后骑车与乙相遇,骑行=份,总步行4-=份;乙步行1+(2-)=,422222

35骑行4-=份,所以,丙最先到,甲最后到. 22

【附5】甲、乙、丙、丁4人在河中先后从同一个地方同速同向游泳,现在甲距起点78米,乙距起点27米,丙距起点23米,丁距起点16米.那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳 米时,甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3人距起点的距离之和.

分析:现在乙、丙、丁3人距起点的距离总和是27+23+16=66米,甲目前比它们的距离之和要多78-66=12米.此后甲每向前游1米,乙、丙、丁3人也都同时向前游了1米,那么甲距起点的距离与那3人的距离总和之差就要减少2米.要使这个差为0,甲应向前游了12÷2=6米. 练习三

1.有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑自行车过桥时,上坡、走平路和下坡的速度分别为4米/秒、6米/秒和8米/秒,求他过桥的平均速度.

分析:假设上坡、平路及下坡的路程均为24米,那么总时间=24÷4+24÷6+24÷8=6+4+3=13(秒),过桥的平均速度=24×3÷13=57(米/秒). 13

2.小宇以均匀速度走路上学,他观察来往的同一路电车,发现每隔12分钟有一辆电车从后面超过他,每隔4分钟有一辆电车迎面而来.如果电车也是匀速行驶的,那么起点站和终点站隔多少分钟发一辆电车?

分析:(法1):[12,4]=12,12×2÷(1+3)=6(分钟).

(法2):把电车的间隔距离看作1,那么有:车速+人速=11,车速-人速= , 412

1111所以车速=(?)?2?,发车间隔时间=6(分钟). 41266

3.猎狗追赶前方30米处的野兔.猎狗步子大,它跑 4步的路程兔子要跑7步,但是兔子动作快,猎狗跑3步的时间兔子能跑4步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔?

分析:猎狗跑12步的路程兔子要跑21步,猎狗跑12步的时间兔子要跑16步,在猎狗跑12步这个单位时间内,两者的速度差为兔子的5步,所以猎狗追击距离为:30÷5×21=126(米). 23

4.有甲、乙、丙三人,甲每分钟走100米,乙每分钟走80米,丙每分钟走75米.现在甲从东村,乙、丙两人从西村同时出发相向而行,在途中甲与乙相遇6分钟后,甲又与丙相遇.那么东、西两村之间的距离是多少米?

分析:如右图,甲、乙两人在C地相遇,之后甲、丙在E地相遇,

此时乙已经走到D地.CD是乙6分钟的路程,为80×6=480米;EC

是甲6分钟的路程,为100×6=600米.所以ED=480+600=1080米.这个长度就是从开始到甲、丙相遇时乙、丙的距离差.

从开始到甲、丙相遇所经历的时间为:1080÷(80-75)=216分钟.也就是经过216分钟,甲、丙从东、西两村出发相遇,所以东、西两村相距:(100+75)×216=37800米.

课外故事

一粒种子里有什么

在《平凡世界的卓越人生》一书中,牧师罗伯特·H·舒勒写道:―多年来,我反复向听众宣讲:任何傻瓜都能数出一个苹果有多少粒种子,然而只有神才知晓一粒种子里面有多少个苹果。‖

作者舒勒先生的一名听众,农场主安斯利·米勒对这句话深有体会,他给舒勒先生寄去了一封夹有大豆种子的信。他在信里写道:―舒勒先生,那是1977年,我种的庄稼几乎颗粒无收,那年天气特别糟糕,雨水太多。在10月的收获季节,我走在自家的地里,看着满目的稀稀落落的豆荚,走上去一捏,大多数都是瘪的,我感到心灰意冷。就在那个时候,我猛然看见不远处有一株大豆特别显眼。我走过去,小心翼翼地摘下上面全部的豆荚。一共有202个,一个个看上去都硕大饱满。我把这些豆荚剥开,得到了503颗大豆。我把这些大豆带回家,整个冬天都放在一个平底罐里,让它们风干。―第二年春天,那是对我有特殊意义的一个季节。我拿出那503颗大豆种子,撒在我家屋后的一小块地里。那年10月,那块地让我收获了32磅的大豆!到了冬天,我又把种子全部晾干。―1979年,我把那32磅大豆尽数种在一英亩的田里。那年10月,我总共收获了2409磅大豆。―1980年的春天,我将大豆种在一块69英亩的田里,那是我全部的土地。就在那年10月,那块地大获丰收,足足收获了8万多升大豆,卖了1.5万美元!―舒勒先生,一株大豆,202个豆荚,503粒大豆,4年以后变成了1.5万美元。还不错,不是吗??任何傻瓜都能数出一个苹果有多少粒种子,然而只有神才知晓一粒种子里面有多少个苹果‘。一粒种子里面有多少个苹果?

噢,我知道了,我明白了。瞧,我给你寄一粒我收获的种子。‖不要小瞧任何微小的可能和机会,那里蕴藏着无限的希望和收获。

24

第四讲 流水行船问题

基本的流水行船问题

在行程问题的基础上,这一讲我们将研究流水行船的问题.船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到流水的推送或顶逆,在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程,叫做流水行船问题.另外一种与流水行船问题相类似的问题是―在风中跑步或行车‖的问题,其实处理方法是和流水行船完全一致的.

行船问题是一类特殊的行程问题,它的特殊之处就是多了一个水流速度,

船速:在静水中行船,单位时间内所走的路程叫船速;

逆水速度:逆水上行的速度叫逆水速度;

顺水速度:顺水下行的速度叫顺水速度;

水速:船在水中不借助其他外力只借助水流力量单位时间所漂流的路程叫水流速度(以下简称水速),

顺水速度=船速+水速 ;

逆水速度=船速-水速 .

顺水行程=顺水速度×顺水时间

逆水行程=逆水速度×逆水时间

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2 ;

水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 .(可理解为和差问题)

【例1】 甲、乙之间的水路是234千米,一只船从甲港到乙港需9小时,从乙港返回甲港需13小时,问船速和水速各为每小时多少千米?

分析:从甲到乙顺水速度:234÷9=26(千米/小时);从乙到甲逆水速度:234÷13=18(千米/小时);船速是:(26+18)÷2=22(千米/小时);水速是:(26-18)÷2=4(千米/小时).

【前铺】轮船在静水中的速度是每小时21千米,轮船自甲港逆水航行8小时到达相距144千米的乙港,再从乙港返回甲港需要多少小时?

分析:要求轮船从乙港返回甲港所需的时间,即轮船顺水航行144千米所需时间,就要求出顺水航行的速度。现在知道轮船在静水中的速度,只需求出水流速度.根据已知,自甲港逆水航行8小时,到达相距144千米的乙港,由此可求出轮船的逆水航行的速度.再根据逆水速度与船速、水速的关系即可求出水速.

水流速度:21—144÷8=21—18=3(千米/小时),顺水速度:2l+3=24(千米/小时),乙港返回甲港所需时间:144÷24=6(小时).

25

【巩固】甲、乙两港相距208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达.水流速度是多少?

分析:顺水速度=208÷8=26(千米/小时),逆水速度=208÷13=16(千米/小时),水速=(顺水速度-逆水速度)÷2=(26-16)÷2=5(千米/小时).

【例2】 A、B两港相距560千米,甲船往返两港需要105小时,逆流航行比顺流航行多了35小时,乙船的静水速度是甲船静水速度的2倍,那么乙船往返两港需要多少小时?

分析:先求出甲船往返航行的时间分别是:(105+35)÷2=70小时,(105-35)÷2=35.再求出甲船逆水速度每小时560÷70=8千米,顺水速度每小时560÷35=16千米,那么甲船在静水中的速度是每小时(16+8)÷2=12千米,水流的速度是每小时12-8=4千米,乙船在静水中的速度是每小时12×2=24千米,所以乙船往返一次所需要的时间是560÷(24+4)+560÷(24-4)=20+28=48小时.

【例3】 甲河是乙河的支流,甲河水速为每小时3千米,乙河水速为每小时2千米.一艘船沿甲河顺水航行7小时,行了133千米到达乙河,在乙河中还要逆水航行84千米,问:这艘船还要航行几小时?

分析:船在甲河中的顺水速度为:133÷7=19(千米/小时),船速=19-3=16(千米/小时). 船在乙河中的逆水速度=船速一水速=16-2=14(千米/小时),

逆水时间=逆水行程÷逆水速度=84÷14=6(小时).

【例4】 一艘轮船在两个港口间航行,水速为每小时6千米,顺水下行需要4小时,返回上行需要7小时.求:这两个港口之间的距离.

分析:两港口间的距离=顺水速度×顺水时间=(船速+水速)×顺水时间=(船速+6)×4 ;

两港口间的距离=逆水速度×逆水时间=(船速-6)×7;

所以可得:(船速+6)×4=(船速-6)×7,解得:船速=22,

可得两港口间的距离为:(22+6)×4=(22—6) ×7=112(千米).

【例5】 某船从甲地顺流而下,5天到达乙地;该船从乙地返回甲地用了7天.问:水从甲地流到乙地用了多少时间?

分析:(法1)水流的时间=甲乙两地间的距离÷水速,而此题并未告诉我们―甲乙两地间距离‖,且根据已知,顺水时间及逆水时间也无法求出,而它又是解决此题顺水速度、逆水速度和水速的关键.

11将甲、乙两地距离看成单位―1‖,则顺水每天走全程的,逆水每天走全程的. 57

11水速=(顺水速度一逆水速度)÷2=,所以水从甲地流到乙地需:1??35(天). 3535当然,我们还可以把甲乙两地的距离设成其他方便计算的数字,这其实就是特殊值代入法!

(法2)用方程思路,5×(船速+水速)=7×(船速—水速),即 船速=6×水速,所以轮船顺流行5 26

天的路程等于水流5+5×5=35(天)的路程,即木筏从A城漂到B城需35天.

(法3)逆水比顺水多2天到达,即船要多行驶2天,为什么会多2天呢,因为顺水时得到了5天的水速帮助,逆水时又要去克服7天的水速,这一切都是靠2天的船速所实现的,即船速等于6天的水速;所以轮船顺流行5天的路程等于水流5+5×6=35(天)的路程,即木筏从A城漂到B城需35天.

【例6】 一艘小船在河中航行,第一次顺流航行33千米,逆流航行11千米,共用11小时;第二次用同样的时间,顺流航行了24千米,逆流航行了14千米.这艘小船的静水速度和水流速度是多少?

分析:(法1)两次航行顺流的路程差:33-24=9 (千米),逆流的路程差:14-11=3 (千米),也就是说顺流航行9千米所用的时间和逆流航行3千米所用时间相同,那么顺流航行33千米与逆流航行33÷3=11 (千米)时间相同,则逆流速度:(11+11)÷11=2(千米/小时),同样可得顺流速度为:(24+14×3)÷11=6(千米/小时),静水速度:(6+2)÷2=4(千米/小时),水流速度:(6-2)÷2=2(千米/小时).

(法2)根据顺流航行9千米所用的时间和逆流航行3千米所用时间相同,9千米=顺流速度×时间=逆流速度×3倍的时间,可得:顺流速度=3×逆流速度,而后仿照法1部分思路解答.

【例7】 一只船在河里航行,顺流而下每小时行18千米.已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等.求船速和水速.

分析:逆水速度:18×2÷3=12(千米/小时),船速:(18+12)÷2=15(千米/小时)。水流速度:(18-12)÷2=3(千米/小时).

【拓展】一只帆船的速度是每分60米,船在水流速度为每分20米的河中,从上游的一个港口到下游某一地,再返回到原地,共用了3小时30分,这条船从上游港口到下游某地共走了多少米? 分析:3小时30分=3×60+30=210(分),

顺水速度=60+20=80(米/分),

逆水速度=60—20=40(米/分).

又因为:顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间,

逆水时间=2×顺水时间,把顺水时间看成1份,那么顺水时间=210÷(2+1)=70(分),

从上游港口到下游港口共走了80×70=5600(米).

流水行船问题中的相遇与追及

(1)两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船(甲在上游、乙在下游)在江河里相向开出,它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.

这是因为:甲船顺水速度+乙船逆水速度=(甲船速+水速)+(乙船速-水速)=甲船船速+乙 27

船船速.

这就是说,两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样,与水速没有关系.

(2)同样道理,如果两只船,同向运动,一只船追上另一只船所用的时间,也只与路程差和船速有关,与水速无关.

这是因为:甲船顺水速度-乙船顺水速度=(甲船速+水速)-(乙船速+水速)=甲船速-乙船速. 也有:甲船逆水速度-乙船逆水速度=(甲船速-水速)-(乙船速-水速)=甲船速-乙船速. 这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.

由上述讨论可知,解流水行船问题,更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答.

【例8】 甲、乙两船在静水中的速度分别为33千米/小时和25千米/小时. 两船从相距232千米的两港同时出发相向而行,几小时后相遇?如果同向而行,甲船在后乙船在前,几小时后甲船可以追上乙船?

分析:(1)相遇问题中,两船的速度和:32+25=58 千米/小时,相遇时间:232÷58=4小时,

(2)追及问题中,两船的速度差:33-25=8 千米/小时,追及时间:232÷8=29 小时.

【巩固】甲、乙两人从相距40千米的A、B两地相向而行,甲以每小时3千米的速度从A地出发,乙以每小时5千米的速度从B地出发,此时风速是每小时2千米,若甲顺风行走,那么他们几小时后相遇?相遇地点距A地多远?

分析:甲的实际速度:3+2=5(千米/小时),乙的实际速度:5-2=3(千米/小时),相遇时间:40÷(5+3)=5(小时),甲行走的路程:5×5=25(千米).

【例9】 甲、乙两船的船速分别为每小时22千米和每小时18千米.两船先后从同一港口顺水开出,乙船比甲船早出发2小时,如果水速是每小时4千米,问:甲船开出后几小时能追上乙船?

分析:要求甲船追上乙船所用的时间,根据公式:路程差=速度差×追及时间,关键要求出路程差(速度差由题干所给条件容易求出),即甲出发时,乙已经行驶过的路程,为顺水行程问题.乙船先行的路程为:(18+4)x2=44(千米),追及时间为:44÷(22-18)=44+4=11(小时).

【例10】 某河上、下两埠相距45千米,每天定时有甲、乙两艘船用相同的船速分别从两埠同时出发相向而行.有一天甲船从上埠刚出发时掉下一物,此物浮于水面顺流而下,2分钟后与甲船相距0.5千米.问:预计乙船出发后几小时与此物相遇?

分析:甲船速=距离÷时间=0.5÷(2÷60)=15(千米/小时),时间=总路程÷(水速+ 船逆水速度)=45÷15=3(小时).

【例11】 有一个小孩不慎掉进河里,他抱住了一根圆木沿河向下漂流. 有3条船逆水而上,在对应着河岸上的A处同时与圆木相遇,但是都没有发现圆木上有小孩. 3条船的速度是已知的而且大小 28

不同,当3条船离开A处一小时以后,船员们同时从无线电中听到圆木上有小孩,要求营救的消息,因此3条船同时返回,去追圆木. 当天晚上,孩子的父母被告知,小孩已在离A处6千米的下游B处,被救起. 问:是3条船中的哪条船首先来到孩子抱住的圆木处救起了孩子?

分析:考虑任一条船,船离开圆木时,它的速度是静水中的速度减去水速,而圆木的速度为水速,所以一小时后船离小孩的距离为船一小时在静水中的路程. 当船追圆木时,船速是静水中的速度加上水速,圆木速度仍为水速,因此船会在一小时后追上圆木. 对其他两条船也是如此. 故3条船是同时来到圆木处的.

【例12】 某人畅游长江,逆流而上,在A处丢失一只水壶,他向前又游了20分钟后,才发现丢失了水壶,立即返回追寻,在离A处2千米的地方追到,则他返回寻水壶用了多少分钟?

分析:注意画图帮助学生分析.该人丢失水壶后继续逆流而上20分钟,水壶顺流而下:速度和=该人的逆水速度+水速=该人的静水速度-水速+水速=该人的静水速度,该人与水壶的距离=二者速度和×时间=20×该人的静水速度.该人发现水壶丢失后返回,与水壶一同顺流而下.二者速度差=该人的静水速度,追及距离=该人的静水速度×追及时间,追及时间=2÷水速,所以有:20×该人的静水速度=2÷水速×该人的静水速度,所以水速=1/10,追及时间=2÷水速=20分钟.

【附1】一艘轮船顺流航行80千米,逆流航行48千米共用9时;顺流航行64千米,逆流航行96千米共用12时. 求轮船的速度.

分析:由于两次航行的时间不相等,可取两次时间的最小公倍数,等价地化为相等时间的两次航行. 将题目进行改编可以得到:―一艘轮船顺流航行80×4=320千米,逆流航行48×4=192千米共用9×4=36小时;顺流航行64×3=192千米,逆流航行96×3=288千米共用12×3=36小时.‖ 也就是说,顺流航行128千米所用的时间和逆流航行96千米所用时间相同,即顺流航行4千米所用的时间和逆流航行3千米所用时间相同.所以顺水速度为:(80+48÷3×4)÷9=16(千米/时),逆水速度为:(80÷4×3+48)÷9=12(千米/时),轮船速度为:(16+12)÷2=14(千米/时).

【附2】一条河的水流速度是每小时3千米,一条船从此河的上游A地顺流到达下游的C地,然后掉头逆流向上到达中游的B地,共用8小时.已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍,A地与B地相距24千米.求A、C两地间的距离。

分析:顺流速度比逆流速度多1倍,那么

逆流速度为水速的2倍.

逆流速度:3×2=6(千米/小时);

顺流速度:6×2=12(千米/小时);

从A--B航行时间为:24÷12=2 小时;剩下路程所用的时间:8-2=6小时;因为:BC=顺水速度×

顺 29

水时间=逆水速度×逆水时间,所以,逆水航行的时间=2×顺水航行的时间,那么顺水航行BC这段路程用时间:[6÷(2+1)] ×1=2小时,BC=2×12=24(千米),AC=24+24=48(千米).

【附3】甲、乙两船在静水中速度相同,它们同时自河的两个码头相对开出,3小时后相遇.已知水流速度是4千米/小时.求:相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米?

分析:为了求出相遇时两船航行的距离相差多少,若考虑将两船的各自航程分别求出的话,需根据:航程=速度×时间,要求出两船的顺水速度或逆水速度,即要求两船(在静水中)的船速.而由已知条件分析,船速无法求出.下面我们来分析一下,在两船的船速相同的情况下,一船顺水,一船逆水,它们的航程差是什么造成的,不妨设甲船顺水,乙船逆水.

甲船的顺水速度=船速+水速,

乙船的逆水速度=船速一水速,

故:速度差=(船速+水速)一(船速一水速)=2×水速,即:每小时甲船比乙船多走2×4=8(千米).3小时的距离差为3×8=24(千米).

【附4】甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站顺水向下游的B站驶去,与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶来. 7.2时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇. 已知甲轮船与自漂水流测试仪2.5时后相距31.25千米,甲、乙两船航速相等,求A,B两站的距离.

分析:因为测试仪的漂流速度与水流速度相同,所以若水不流动,则7.2时后乙船到达A站,2.5时后甲船距 A站 31.25千米,由此求出甲、乙船的航速为310.25÷2.5=12.5(千米/时), A,B两站相距12.5×7.2=90(千米).

【附5】在一条河里,两船分别从上游A地和下游B地同时相向前进,水的流速是每分30米,两船在静水中的速度都是每分钟走600米. 有一天,两船又分别从A、B两地同时出发,但这时水流速度是平时的两倍,所以相遇的地点比平时相遇点差6000米.求A、B两地间的水路的长度.

分析:当下行的船速每分钟增加30米,相遇的地点就偏离原地点6000米,可知两船相遇的时间为6000÷30=200分钟.由此可知,A、B两地的路长为(600+600)×200=240000米.

练习四:1.一条河上的两码头相距195千米,一只轮船在两码头间往返一趟下行需13小时,上行需15小时,求船速和水速.

分析:顺水速:195÷13=15(千米),逆水速:195÷15=13(千米),船速:(15+13)÷2=28÷2=14(千米), 水速:(15—13)÷2=2÷2=1(千米).

2.一艘轮船在河流的两个码头间航行,顺流需要6时,逆流需要8时,水流速度为2.5千米/时,求轮船在静水中的速度。

30

分析:方程解法:设轮船在静水中的速度为x千米/时,则有6(x+2.5)=8(x-2.5),解得X=17.5.

3.轮船从A城到B城需行3天,而从B城到A城需行4天.从A城放一个无动力的木筏,它漂到B城需多少天?

分析:(法1)逆水比顺水多一天到达,即船要多行驶一天,为什么会多一天呢,因为顺水时得到了三天的水速帮助,逆水时又要去克服四天的水速,这一切都是靠一天的船速所实现的,即船速等于7天的水速;

所以轮船顺流行3天的路程等于水流3+3×7=24(天)的路程,即木筏从A城漂到B城需24天. (法2)用方程的思想,3×(船速+水速)=4×(船速—水速),即船速=7×水速.

(法3)用特殊值代入法,可以把全城看成1,或者假设成其它方便计算的数值.

4.一艘轮船顺流航行120千米,逆流航行80千米共用16时;顺流航行60千米,逆流航行120千米也用16时. 求水流的速度.

分析:两次航行顺流的路程差:120-60=60(千米),逆流的路程差:120-80=40(千米),也就是说顺流航行60千米所用的时间和逆流航行40千米所用时间相同,即顺流航行3千米所用的时间和逆流航行2千米所用时间相同. 一艘轮船顺流航行120千米,逆流航行80千米共用16时,相当于顺水航行120+80÷2×3=240千米用16小时,逆水航行80+120÷3×2=160千米用去16小时,所以顺水速度为15千米/小时,逆水速度为10千米/小时,水流速度为(15-10)÷2=2.5(千米/时).

5.甲、乙两船从相距64千米的A、B、两港同时出发相向而行,2小时相遇;若两船同时同向而行,则甲用16小时赶上乙.问:甲、乙两船的速度各是多少?

分析:两船的速度和=64÷2=32 (千米/小时),两船的速度差=64÷16=4 (千米/小时),根据和差问题,分别求甲、乙两船的速度:18和14千米/小时 .

视网膜效应

记得四年前我刚留学回来时,首先想到的是要买一部车。经过一段时间的评估后,我决定买一部绿色的中型轿车。当时我的印象是一般人的车都买白色或黑色,所以自己要选一个独特的,这才能显出个人的品位。正在我为自己买了一辆与众不同的车子而沾沾自喜时,却突然发现,不论是在

高速路上,还是在小巷子里,甚至是我住的大楼的停车场中,都有许多与我车子同型同色的轿车。

我开始觉得很奇怪,为什么大家突然之间都开始买墨绿色的车?我把自己这种突然发现和周围同事分享。有一位女同事正好怀孕,听我讲完后就抢着说:―我倒是没有看到很多墨绿的轿车,不过我发现,现在孕妇很多。上星期,我去逛百货大楼,短短两小时就看到6个孕妇。‖而她说的这种现象,我和其他同事却都没有发现,心想,她这一发现大概是凑巧吧!

后来有一次听演讲,才了解到这种现象在心理学上叫做―视网膜效应‖。简单地说,就是当我们 31

自己拥有了一件东西或一项特征时,就会更加注意别人是否跟我们一样具备这种特征。

卡耐基先生很久前就提出一个论点,即每个人的特质中有80%是长处,而20%左右是我们的缺点。当一个人只知道自己的缺点,而不知发觉优点时,―视网膜效应‖就会促使这个人发现他身边也有许多人拥有类似的缺点,进而使他的人际关系无法改善,生活也不会快乐。

一个人要人缘好、要受人欢迎,一定要有欣赏自己和肯定自己的能力。因为在―视网膜效应‖的运作下,一个看到自己优点的人,才有能力看到他人的可取之处。而能用积极的态度看待他人,往往是人际关系好的必备条件。

第五讲 巧求周长和面积

―巧求周长和面积‖的相关内容我们在寒假小4第四讲给予过一定的讲解. 本讲我们主要在原有知识的基础上进行提高巩固,同时加入一些新的知识,帮助我们更好的过渡到五年级几何部分的学习. 对于一些非常典型的例题,我们采用―重复加强‖的学习方法,帮助孩子们牢固掌握. 奥数的题目虽然很多,但一些经典题目,常常会以原题形式出现在各个中学入学测试题中,希望我们的孩子能戒骄戒躁,温故而后知新,清晰彻底的掌握理解自己学习过题目.

【复习1】 若干个长2cm、宽1cm的长方形摆成如右图的形状,求该

图形的周长.

分析:观察图形,上下共有13层,所以左、右的高共长:1×13×2=26(cm);

从下层往上数,第四层最长,有2×10=20cm,所以上下的宽共有:

20×2=40(cm),故该图形的周长为:26+40=66(cm) .

【复习2】右图中是一个方形螺线.已知两相邻平行线之间的距离均为l厘米,

求螺线的总长度.

分析:如下图所示,将原图形转化为3个边长分别为3、5、7厘米的正方形和中

间一个三边图形

.

所以螺线的总长度为:(3+5+7)×4+1×3=63 cm .

【复习3】 有10张长3厘米,宽2厘米的纸片,将它们按照

右图的样子摆放在桌面上,那么这10张纸片所盖住的桌面的面

积是多少平方厘米?

32

分析:每多盖一张,遮住的面积增加2×1,所以这10张纸片所盖住的桌面的面积是3×2+2×1×9=24cm2.

图1、图2都是由完全相同的正方形拼成的,并且图1的周长

是22厘米,那么图2的周长是多少厘米?

分析:图1的周长是小正方形边长的12倍。

图2的周长是小正方形边长的18倍.

因此,图2的周长=22÷12×18=33(厘米)

【巩固】右图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是

400平方厘米,那么它的周长是多少厘米?

分析:因为400÷16=25(平方厘米),所以每个正方形的边长是5厘米.观察右

图,从上下方向来看有14条边是周长的一部分,从左右方向来看有20条边是

周长的一部分,所以周长为170厘米.

计算右面图形的周长(单位:厘米).

分析:要求这个图形的周长,似乎不可能,因为缺少条件.但是,我们仔细观

察这个图形,发现它的每一个角都是直角,所以,我们可以将图中右上缺角

处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见右下图),这样正好移补成一

个长方形。求长方形的周长就易如反掌了.图形的周长是:(10+15)×2=50(厘

米) .

【例1】 (希望杯1试)如右图,正方形ABCD的边长是6厘米,过正方形

内的任意两点画直线,可把正方形分成9个小长方形。这9个小长方形的周长

之和是多少厘米?

分析:从总体考虑,在求这9个小长方形的周长之和时,AB、BC、CD、AD

这四条边被用了1次,其余四条线被用了2次,所以9个小长方形的周长之和

是:4×6+4×2×6=72(厘米).

【拓展】正方形ABCD的边长为3厘米,每边被3等分,求图中所有正方形周

长的和.

分析:分类进行统计,

边长为1厘米的正方形的周长的和是:1×4×(3×3)=36(厘米),

边长为2厘米的正方形周长的和是:2×4×(2×2)=32(厘米),

边长为3厘米的正方形周长是:3×4×(1×1)=12(厘米),

33

图中所有正方形周长的和是:36+32+12=80(厘米).

【例2】 如右图所示,在一个正方形内画中、小两个正方形,使三个正方形

具有公共顶点,这样大正方形被分割成了正方形区域甲,和L形区域乙和丙 .

甲的边长为4厘米,乙的边长是甲边长的1.5倍,丙的边长是乙边长的1.5

倍,那么丙的周长为多少厘米?EF长多少厘米?

分析:乙的周长实际上是正方形AHJE的周长(我们可将乙与甲重合的部分―掰过来‖),同理丙的周长也就是正方形ABCD的周长,那么AE=1.5×4=6 ,AD=1.5×6=9,丙的周长为36厘米,EF =AE-AF=6-4=2(厘米).

【例3】 用若干个边长都是2cm的平行四边形与三角形(如下

图)拼接成一个大的平行四边形,已知大平行四边形的周长是

244cm,平行四边形和三角形各有多少个?

分析:40个 .大平行四边形上、下两边的长为(244-2×2)÷2=120(cm),观察上边,每6cm有两个平行四边形的边,所以共有小平行四边形(120÷6)×2=40(个),三角形数量与小平行四边形的数量相等,也是40个.

【巩固】如果将大平行四边形的周长改为236cm,大平行四边形上、下两边的长为(236-2×2)÷2=116(cm),观察上边,每6cm有两个平行四边形的边,116’6=19……2,所以有三角形19×2=38,小平行四边形38+1=39(个).

巧求面积

一块正方形的苗圃(如右图实线所示),若将它的边长各增加30米(如图虚线

所示),则面积增加9900平方米,问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米?

分析:小正方形的面积为:30×30=900平方米.用增加的面积减去小正方形的

面积就得到增加的两个长方形的面积,为:9900—900=9000平方米.而增加

的两个长方形的面积相等,于是其中一个长方形的面积等于9 000÷2=4500平方米.

长方形的宽为30米,那么长为:4500÷30=150(米),150×150=22500(平方米).

长方形ABCD的周长是30厘米,以这个长方形的每一条边为边长向外画

正方形.已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米,那么长方形ABCD

的面积是多少平方厘米?

分析:从图形我们可以看出,A1B的长度恰好为长方形的长与宽之和,即

为长方形ABCD周长的一半,可以看出若以A1B和BC1为边能构成大正方

形A1BC1E1(如下图b所示),其中包含两个长方形和两个正方形,而且两个长方形的面积是相等的,

34

两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半.这样我们容易求出:大正方形A1BC1E1的边长为15厘米,面积为:225平方厘米,正方形CDD1C1与正方形ADEA1的面积之和为:290÷2=145(平方厘米).长方形ABCD与长方形EDD1E1的面积相等.所以,长方形ABCD的面积为:(225—145)÷2=40(平方厘米).

【巩固】用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形,长方形纸片面积分别44cm2与28cm2,原正方形纸片面积是多少平方厘米?

分析:做辅助线,如右下图,小正方形Ⅰ的面积为44-28=16,a=4, b=28÷4=7,原正方形面积=7×7=49(平方厘米).

【例4】 正三角形ABC的面积是1m,将三条边分别向两端各延长一倍,2

连结六个端点得到一个六边形(如右图),求六边形的面积.

分析:采用分割法,右下图中所有小三角形的面积都相同,

所以面积=13.

【巩固】右图是一个长方形花坛,阴影部分是草地,面积为

18平方米,空地是四块同样的菱形,求空地的面积.

分析:采用分割的思路,如右下图,添加3条与宽平行的线,形成4个长方形,其中的阴影部分面积为小长方形面积的一半,

所以总的阴影面积为总面积的一半,空地的面积等于阴影面积

为18平方米.

综合应用

(希望杯1试)如右图,六个相同的长方形围成了大小两个正方形,已知小正方形的面积是36平方厘米,则每个小长方形的面积是多少平方厘米?

分析:小正方形的面积为36平方厘米,则边长为6厘米,所以小长方形的长为6厘米,2个宽+长=2个长,所以小长方形的宽等于3厘米,每个小长方形的面积为18平方厘米.

【例5】 如右图的长方形纸片,假如按图中虚线剪成4块,这4块纸图

4片可拼成一个正方形.那么所拼成的正方形的周长是多少厘米? (单位:厘米

)

35

分析:根据形变其面积不变的原理,所拼成的正方形面积是:9×(12+4)=144(平方厘米),由正方形面积计算公式可知正方形的边长是12厘米,即144=12×12,

所以,所拼成的正方形的周长是:12×4=48(厘米).

【例6】 (迎春杯初赛)如右图,甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个

正方形EFGH,中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面

积的和是32cm2,四边形ABCD的面积是20cm2,求甲、乙、丙、丁四

个长方形周长的总和.

分析:大正方形面积等于四边形ABCD面积加上甲、乙、丙、丁面积和

的一半,即20+32÷2=36(厘米2)。推知大正方形边长为6厘米,也就是小长方形的长加宽为6厘米,所以一个小长方形的周长为12厘米,甲、乙、丙、丁周长的总和等于48厘米.

【例7】 (06年希望杯2试)如右图,用标号为1,2,3,4,5的五种大小

不同的正方形拼成一个大长方形,大长方形的长和宽分别是18,14,则标号

为5的正方形的面积是多少?

分析:如果标号为5的正方形的边长是a,那么1号比2号大a,2号比3号大a,所以1号比3号大 2a,又因为2号和3号的边长之和是14,1号和2号的边长之和是18,所以1号比3号大18-14=4,即2a=4,a=2,标号为5的正方形的面积是4 .

附加题目

【附1】右图的长方形被分割成5个正方形,已知原长方形的面积为120cm2,

求原长方形的长与宽。

分析:设小正方形边长为a,那么大正方形的边长为1.5a ,所以长方形的长、

宽分别为3a、2.5a ,7.5×a×a=120=7.5×16 ,所以a=4,原长方形的长和宽分

别为:12、10厘米.

【附2】(希望杯培训试题)如右图所示,在一个正方形上先截去宽11分米的

长方形,再截去宽7分米的长方形,所得图形的面积比原正方形减少301平方

分米.原正方形的边长是______

分析:把截去的两个长方形拼在一起,如右下图所示,再补上长11

分米、宽7分米的小长方形,所得长方形的面积是 301+11×7=378(平

方分米),这个长方形的长等于原正方形的边长,宽是 11+7=18(分米),

所以原正方形边长为:378÷18=21(分米).

36

【附3】有一大一小两块正方形试验田,他们的周长相差40米,面积相差

220平方米,那么小正方形试验田的面积是多少平方米?

分析:根据已知条件,我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐,画出示意

图(如图a),将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形,再拼成

一个长方形(如图b).

由于两个正方形的周长相差40米,从而它们的每边相差40÷4=10米,即图b中的长方形的宽是10米.又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差,即为220平方米,从而长

方形的长为:220÷10=22(米).由图可知,长方形的长是大正方形与小正方形的边长

之和,长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差,从而小正方形的边长为:

(22—10)÷2=6(米).所以小正方形的面积为:6×6=36(平方米).

解本题的常规思路是先求出小正方形试验田的边长,再在利用面积公式求出小正方形试验田的面积.可是直接从题目已知出发求小正方形试验田的边长不太容易,于是我们想到用割补的方法利用图像来比较直观地解决这个问题.

【附4】要在一块正方形的绿化区域内修一条长方形的路,已知正方形区域

的边长为36米,长方形的四个角的顶点恰好把正方形的每一条边都分成两

段,其中长的一段是短的一段的两倍,请你计算一下道路以外的实际绿化

区域的面积.

分析:实际的绿化面积等于正方形区域与长方形道路的面积之差,即实际的

绿化面积为图中三角形1,2,3,4的面积之和.通过观察可以发现,三

角形2,4和三角形1,3可以分别组成大、小两个正方形(如图b、c).这

两个正方形的边长之和为36米,并且大正方形的边长等于小正方形边的

两倍.于是小正方形边长为:36÷(2+1)=12(米),面积为:12×12=144

(平方米);大正方形的边长为:12×2=24(米),大正方形的面积为:24×24=576(平方米),道路以外的实际绿化面积为:144+576=720(平方米).

【附5】如图,正方形ABCD的边长是5,E,F分别是AB和BC的中点,

求四边形BFGE的面积

.

37

分析:利用割补法,原正方形面积等于5个小正方形面积之和,每个小正方形面积是5,而阴影部分面积等于1个小正方形面积,所以也是5。

【附6】(希望杯培训试题)如右图所示,已知长方形的长AB 是40厘

米,剪去一个正方形ADFE后剩下的长方形的周长是多少厘米?

分析:因为AE+EB=40(厘米),又AE=EF,所以EF+EB=40(厘米),剩下的长方形的周长是2×40=80(厘米).

练习五

1. 如图多边形的每条边都垂直于它的邻边,且所有的边长都相等且等于3厘

米,这个图形的周长是多少厘米?

分析:周长=4×(3×9)=108(厘米).

2.(希望杯培训试题)用同样的长方形条砖,在一个盆 的周围砌成一个正方形边

框,如右图所示. 已知外面大正方形的周长是264厘米,里面小正方形 的面积是

900平方厘米,每块长方形条砖的长是_____厘米,宽是______厘米.

分析:外面大正方形的边长为264÷4=66厘米,里面小正方形的边长为30厘米,所

以长方形的宽为:(66-30)÷2=18(厘米),长方形的长为:(66-18)÷2=24(厘米).

3.计划修建一个正方形的花坛,并在花坛周围种上3米宽的草坪,草坪的面

积为300平方米,那么修建这个花坛需要占地多少平方米?

分析:(法1):常规思路是要求正方形花坛的面积,就要先求正方形花坛的边

长.将环形小路进行分割,得到四个面积相同的小长方形(如图1).由于小路

的面积已知,那么每一块小长方形的面积为:300÷4=75(平方米).由题意知,小长方形的宽为3米,于是长方形的长为:75÷3=25(米).那么正方形花坛的边长为:

25—3=22(米).

所以正方形花坛的面积为:22×22=484(平方米).

38

(法2):若我们将环形小路重新分割(如图2),阴影部分是四个面积相等且边长为3的小正方形,它们的面积和为:3×3×4=36(平方米).从环形小路的面积中减掉这四块阴影部分的面积后剩下的又是四块相等的长方形,每块长方形的面积为:(300—36)÷4=66(平方米).长方形的长为:66÷3=22(米),即为正方形花坛的边长,于是求出正方形花坛的面积为:22×22=484(平方米).

4.(希望杯2试)如右图,阴影部分是一个长方形,它的四周是四个正方形,如

果这四个正方形的周长是的和是240厘米,面积的和是1000平方厘米,那么阴影

部分的面积是多少平方厘米?

分析:200平方厘米.

5.右图中 A,B两点分别是长方形的长和宽的中点,阴影部分占长方形

面积的几分之几?

分析:3/8 ,采用分割的思想去做,分割如右下图所

示.

6.(希望杯培训试题)小军用编号为1、2、3、4、5的大小不同的正方

形拼出一个长方形,如右图所示,则中间阴影部分正方形的周长是多少

厘米?

分析:因为正方形1的边长+正方形2的边长+正方形3的边长=30厘米, 正方形1的边长+正方形2的边长=22厘米,所以 正方形3的边长=30-22=8(厘米),正方形5的周长=(22-8×2)×4=24(厘米). 课外故事

三只钟的故事

一只新组装好的小钟放在了两只旧钟当中。两只旧钟―滴答‖、―滴答‖一分一秒地走着.其中一只旧钟对小钟说:―来吧,你也该工作了。但我又有点担心,你走完三千二百万次以后,恐怕就吃不消了.‖ ―天哪!三千二百万次。‖小钟吃惊不已。―要我做这么大的事?办不到,办不到.‖另一只旧钟说:―别听他胡说八道.不用害怕,你只要每秒滴答摆一下就行了。‖ ―天下哪有这样简单的事情.‖小钟将信将疑。―如果这样,我就试试吧。‖小钟很轻松地每秒钟―滴答‖摆一下,不知不觉中,一年过去了,它摆了三千二百万次.

39

第六讲 等差数列

许多同学都知道这样一个故事:大数学家高斯在很小的时候,就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余,有没有仔细想一想,高斯为什么算得这么快呢?当然,小高斯的聪明和善于观察是不必说了,往深处想,最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1,即它们构成了差相等的数列,而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习,我们回顾加强有关等差数列求和的方法,而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.

【复习1】你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗?呵呵!快快举手,多多赢得小印章!

分析:以下答案仅供参考!

(1) 先介绍一下一些定义和表示方法:

定义:从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列.

譬如:2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列 100、95、90、85、80、…… 从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列

(2) 首项:一个数列的第一项,通常用a1表示;

末项:一个数列的最后一项,通常用an表示,它也可表示数列的第n项. 每个数列都有最后一项吗?数列分有限数列和无限数列;

项数:一个数列全部项的个数,通常用n来表示;

公差:等差数列每两项之间固定不变得差,通常用d来表示;

和 :一个数列的某些项的和,常用Sn来表示 .

(3) 三个重要的公式:

① 通项公式:末项=首项+(项数-1)×公差

an?a1?(n?1)?d

回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让同学明白末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔的公差个数,或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式:an?am?(n?m)?d,(n?m)

② 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 (其实此公式是由①推导出来的,教师也可以帮助同学推导,可以为以后的解方程做好铺垫)

40

由通项公式可以得到: n?(an?a1)?d?1 (若an?a1);n?(a1?an)?d?1(若a1?an).

找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的!

譬如:找找下面数列的项数:4、7、10、13、……、40、43、46 ,分析:配组:(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、……、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有48-4+1=45项,每组3个数,所以共45÷3=15组,原数列有15组. 当然,我们还可以有其他的配组方法.

③ 求和公式:和=(首项+末项)×项数÷2

sn?(a1?an)?n?2

对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手:

(思路1)1+2+3+…+98+99+100

=101×50=5050

(思路2)这道题目,我们还可以这样理解:

即,和= (100+1)×100÷2=101×50=5050

(4)中项定理

对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首相与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数.

譬如:(1)4+8+12+…+32+36=(4+36)×9÷2=20×9=180,题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20×9 ;

(2)65+63+61+…+5+3+1=(1+65)×33÷2=33×33=1089 ,题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33×33 .

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如果是一个项数为偶数的等差数列,我们该如何运用这个公式呢?其实我们可以将其去掉一项,变成奇数项,求和之后再加上去掉的那一项 .中项定理也可用在速算与巧算中.

譬如:计算:124.68+324.68+524.68+724.68+924.68

分析:这是一列等差数列,项数是奇数,中间数是524.68,所以可以用5×524.68=2623.4 .

等差数列是小学奥数的一个重要知识,无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.一部分题目是直接考数列,但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式,而应该把原理讲透.

【复习2】(1)3、5、7、9、11、13、15、…… ,这个数列有多少项?它的第102项是多少?

(2)已知等差数列2、5、8、11、14 … ,问47是其中第几项?

(3)如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.

分析:(1)它是一个无限数列,所以项数有无限多项.

第n项=首项+公差×(n-1),所以,第102项=3+2×(102-1)= 205 ;

(2)首项=2 ,公差=3 ,我们可以这样看:2、5、8、11、14 … 、47 ,

那么这个数列有:n=(47-2)÷3+1=16 ,(熟练后,此步可省略),即47是第16项 ;

(3)要求第8项,必须知道首项和公差.

第6项-第4项=(6-4)×公差 ,所以 ,公差= 6 ;

第4项=首项+3×公差 ,21=首项+3×6 ,所以,首项=3 ;

第8项=首项+7×公差=45 ;

【复习3】某剧院有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个座位.问:这个剧一共有多少个座位?

分析:首项:70-(25-1)×2=22 , 座位总数:(22+70)×25÷2=1150 .

【复习4】小明从1月1日开始写大字。第一天写了4个,以后每天比前一天多写相同数量的大字,结果全月(总共31天)共写了589个大字,问:小明每天比前一天多写多少个字?

分析:数列末项为:589×2÷31-4=34,所以公差为(34-4)÷30=1,小明每天比前一天多写1个大字.

【例1】 巧算: 61+692+6993+69994+699995+6999996

分析:原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)

=7777770-(9+8+7+6+5+4)

=7777731

【巩固】计算72+793+7994+79995+799996= .

分析:原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)

=888880-(8+7+6+5+4)=888850

42

【例2】 计算:0.1+0.2+0.3+…+0.9+0.10+0.11+…+0.98+0.99

分析:仔细观察发现这串数并不是一个等差数列,但是我们可以分为0.1至0.9和0.10至0.99两部分,这样就变成等差数列了,然后再求和.

第一部分:0.1+0.2+0.3+…+0.9=4.5;

第二部分:0.10+0.11+…+0.98+0.99=(0.1+0.99)×90÷2=49.05;

因此总和等于:49.05+4.5=53.55 .

【例3】 (04陈省身杯数学邀请赛)

计算:(10-

44444×1)+(9-×2)+(8-×3)+…+(2-×9)+(1-×10). 5555555555

4×(1+2+3+…+10) 55分析:原式=(10+9+8+…+1)-

=55-

4×55=51 55

【例4】 用相同的立方体摆成右图的形式,如果共摆了10层,那么最下面一

层有多少个立方体?

分析:从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10,9,8,…,1.

所以最底层立方体数目为:(10+1)×10÷2=55.要学会正确的读图.

【例5】 (05我爱数学夏令营)小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和为多少? 分析:能被3整除的数和为:3+6+9+…+999= (3+999)×333 ÷2=166 833,

即能被3整除,又能被5整除的数的和:15+30+45+…+990= (15+990)×66’2=33 165,

小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和:166 833-33 165=133 668.

【前铺】在1~100这一百个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少?

分析:我们先计算l~100的自然数和,再减去能被9整除的自然数和,就是所有不能被9整除的自然数和了.1+2+…+100=(1+100)×100’2=5050,9+18+27+…+99=(9+99)×11÷2=594,所有不能被9整除的自然数和:5050-594=4456.如果直接计算不能被9整除的自然数和,是很麻烦的,所以我们先计算所有1~100的自然数和,再排除掉能被9整除的自然数和,这样计算过程变得简便多了.

【巩固】在1~200这二百个自然数中,所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少?

分析:先求出能被4整除的自然数和,再求出能被11整除的自然数和,将二者相加,但是此时得到的不是题目需要的和,因为44,88等数在两个数列中都存在,也就是说能被44整除的数列被计算了两次,所以我们还应该减去能被44整除的数列和

.

43

(4+8+12+…+200)+(11+22+33+…+198)-(44+88+132+176)

=(4+200)×50÷2+(11+198)×18÷2-(44+176)×4÷2=6541.

【例6】 已知有一个数列:1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4……,试问:

(1) 15是这样的数列中的第几个到第几个数?

(2) 这个数列中第100个数是几?

(3) 这个数列前100个数的和是多少?

分析:分析可得下表:

数:1 2 3 4 5 6 7 …14 15 16……

个数:2 4 6 8 10 12 14 … 28 30 32……

(1) 2+4+6+…+28=210,所以15是第211个到240个

(2) 在这个数列中前9组的个数是:2+4+6+…+18=90个

这个数列前10组的个数是:2+4+6+…+20=110

而90〈100〈110,所以第100个数是第10组中数,是10

(3) 这个数列中前100个数的和是:1×2+2×4+3×6+…+9×18+10×10=670

【例7】 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…,问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?

分析:奇数项的排列规律是:2、4、6、8,…

偶数项的排列规律是:3、6、9、12,…

先求出这两个数各自在等差数列中的项数:第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数,第2003个数在奇数项等差数列中是第(2003+1)÷2=1002个数 ,所以第2000个数是3000,第2003个数是2004 .

【拓展】求出原题中的前100项和,并判断出100、111、120分别是数列中的第几项。 分析:前100项的和=(3+150)×50÷2+(2+100)×50÷2=255×25=6375 ,

100是2的倍数,所以是奇数项的第50项,原数列的第99项 ;

111是3的倍数,所以是偶数项的第37项,原数列的第74项 ;

同样,120是原数列的第80项和第119项 .

【例8】 右图是一个堆放铅笔的V型架,如果V型架上一共放有210只铅笔,

那么最上层有多少只铅笔?

分析:每一层的铅笔数从上到下形成一个等差数列,公差为1 ;设最上面一

层的铅笔数为x,那么共有铅笔x (x+1)÷2=210,x (x+1)=420,比较求解可得

x=20.

44

【例9】 学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场,一共进行了78场比赛.问:有多少人参加了选拔赛?

分析: 我们假设有x个选手,根据题目中―每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场‖,第一个选手要比x-1场;第二个选手,由于第一个选手已经和他比赛过了,所以他只需要同剩下的x-2个选手比赛x- 2场,依此类推,总比赛场数就是数列1,2,3,…,x- 1的和.

设有x个选手,列出方程:(1+x-1)×(x-1)÷2=78,x(x-1)=156,比较求解得x=13.

【例10】 小明练习打算盘,他按照自然数的顺序从1开始求和,当加到某一个数的时候,和是1997,但他发现计算时少加了一个数,试问:小明少加了哪个数?

分析:用X 表示小明少加的那个数,1997+X=(1+n)×n÷2,(1+n)×n=3994+2x,两个相邻的自然数的积比3994大一些,因为(1+n)×n和n2比较接近,可以先找3994附近的平方数,最明显的要数3600=60×60,而后试算两个相邻自然数的乘积61×62=3782,62×63=3906,63×64=4032,所以n=63,正确的和是2016,少加的数为: 2016-1997=19.

【例11】 求一个自然数n,使得前n个自然数的和是一个三位数,并且该三位数的个位、十位、百位三个数码都相同。

分析:设前n个自然数的和等于111a,其中a是不大于9的自然数,则有

当a=6时,上式化为n(n+1)=36×37,比较知n=36.

【附1】计算:2000×l999-l999×l998+1998×l997-1997×l996+…+4×3-3×2+2×1.

分析:原式=1999×(2000-1998)+1997×(1998-1996)+…+3×(4-2)+2×l

=1999×2+1997×2+……+3×2+2×1

=2×(1999+1997+…+3+1)

=2000000.

【附2】计算:1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70;

分析:可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+9+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69,对他们分别求和:(1+70)×24÷2+(3+69)×23÷2=1680;

【巩固】2+4+8+10+14+16+20+22+…+92+94+98+100;

分析:拆分为2+8+14+20+…+92+98和4+10+16+22+…+94+100:(2+98)×17÷2+(4+100)×17÷2=1734 .

【附3】盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球?

45

分析:一只球变成3只球,实际上多了2只球.第一次多了2只球,第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后,多了

2×1+2×2+…+2×10

=2×(1+2+…+10)

=2×55=110(只)

加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)

【附4】李明玩投放石子游戏,从A点出发,走1米放1枚石子;再走4米有放下3枚石子;再走7米,放下5枚石子;再走10米放下7枚石子…….照此规律最后走到B处共放下石子35枚,从A点到B点的路程是多少米?

分析: N=(35-1)÷2+1=18,末项=1+3×(18-1)=52,和=(1+52)×18÷2=477(米).

【附5】观察下面的数阵,容易看出,第n行最右边的数是n,那么,第20行最左边的数是几?第20行所有数字的和是多少? 2

2 22分析:第20行最左边的数等于19+1=362,该行共有(20-19)个数

(362+400)×39÷2=14559

【附6】从两位的自然数中,每次取两个不同的数要使这两个数的和是三位自然数,有多少种取法? 分析: 要使和为3位数,假设一个数为n,则另一个数必须大于100-n,同时为了防止取重复(比如已经取了50,51又取51,50),我们只取比n大的数,按照这个原则,可以写出一个数列. 10有90~99 , 10种取法 ; 11有89~99 , 11种取法 ;……; 49有51~99 , 49种取法 ;50有51~99 , 49种取法 ;51有52~99 , 48种取法 ;……;98有99,1种取法.

(10+11+12+…+49)+(49+48+47+…+2+1)=(10+49)×40’2+(1+49)×49’2=2405,对这个数列求解就可以得到总共有2405种取法.

【附7】有一列数:l,2,4,7,1l,16,22,29,37,…,问这列数第1001个数是多少?

分析:从题目中可以看出第二个数与第一个数差1,第三个数与第二个数相差2,第四个数与第三个数相差3,……,依此类推,以后每项数与前一项的差都会依次增加1,因此有以下规律: 第1个数:1=1,

第2个数:2=1+1,

46

第3个数:4=2+2=1+1+2,

第4个数:7=3+4=1+1+2+3,

第5个数:11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4,

第6个数:16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5,

……

第n个数:1+1+2+3+4+5+…+(n-1).

第1001个数为:1+1+2+3+4+5+…+(1001-1)=1+1+2+3+4+5+…+l000=l+500 500=5005001

【附8】(04走进美妙数学花园) 黑板上写有从1开始的一些连续奇数:

1,3,5,7,9,…,

擦去其中一个奇数以后,剩下的所有奇数的和是2008,那么擦去的奇数是 .

分析:1,3,5,7,…,(2n- 1),这n个奇数之和等于n2,452= 2025,擦去的奇数是2025-2008=17.

【附9】(希望杯数学邀请赛)观察下面的序号和等式,填括号.

序号 等式

1 1 + 2 + 3= 6

3 3 + 5 + 7= 15

5 5 + 8 + 11= 24

7 7 + 11 + 15= 33

∶ ∶ ∶ ∶ ∶

( ) ( )+( )+7983=( )

分析:可以这样想:(1)表中各竖行排列的规律是什么?(等差数列)

(2)表中这四个括号,应先填哪一个?为什么?这个括号里的数怎么求?

应先填左起第一个,因为它是序号,表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位臵,即各自的项数.

第一个括号:(7983-3)÷4+1=1996 ,1+(1996-1)×2=3991 ;第二个括号:1+(1996-1)×2=3991 ; 第三个括号:根据等差数列通项公式:2+(1996-1)×3=5987 或 3991+1996=5987 ;第四个括号:根据等差数列通项公式:6+(1996-1)×9=17961 或3991+5987+7983=17961.

1.计算:0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.1l+0.13+0.15+0.17+…+0.97+0.99.

分析:原式=(0.1+0.3+0.5+0.7+0.9)+(0.11+0.13+0.15+0.17+…+O.97+0.99)

=(0.1+0.9)×5÷2+(0.11+0.99)×45÷2

=2.5+24.75

=27.25.

47

2.100到200之间不能被3整除的数之和是多少?

分析:考虑能被3整除的各数之和102+105+…+198 ;

然后(100+101+102+…+200)—(102+105+…+198)=10200.

3.将自然数按下面的形式排列

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25

……

问:第10行最左边的数是几?第10行所有数的和是多少?

分析:第10行最左边的数是82,最右边的数是100,第10行所有数的和(82+100)×19÷2=1729.

4.某次宴会结束时总共握手45次,如果参加宴会的每一个人,和其他参加宴会的每一个人都只握一次手。参加宴会的一共有多少人?

分析:经试验:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以一共有10人参加宴会.

5.木木练习口算,她按照自然数的顺序从1开始求和,当计算到某个数时,和是888,但她重复计算了其中一个数字.问:木木重复计算了哪个数字?

分析: 用X 表示小明多加的那个数,888-X=(1+n)×n÷2,(1+n)×n=1776-2x ,

两个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数,先找1776附近的平方数,1600=40×40=1600,试算: 40×41=1640,41×42=1722,42×43=1806,所以n=41,所以X=(1776-41×42)÷2=27 .

分割目标

有人立志要在加州造座大教堂。预算造价为700万。他在张纸上写下了实现目标的奇特计画: 寻找1笔700万的捐款;寻找7笔100万的捐款;寻找14笔50万的捐款;寻找28笔25万的捐款;寻找70笔10万的捐款;寻找100笔7万的捐款;寻找140笔5万的捐款;寻找280笔2.5万的捐款;寻找700笔1万的捐款。 他把700万这个大目标,一次又一次地分割成更小的目标,最终分割到1万。每次募捐1万,实现起来就容易多了。他一万一万地募捐,历时12年,教堂竣工了。教堂成为世界建筑史上的奇迹与经典。大目标看似难以实现,但把它分割成无数个小目标,实现起来就不再是什麼难事了。

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第七讲 应用问题综合强化

从三年级到最后的小升初、分班考试中,很多学生都会问学了那么多专题(行程问题、年龄问题,植树问题,鸡兔同笼,盈亏问题,牛吃草问题等等),到底应该怎么去记忆和具体解答呢,这也是许多听课的家长所迷惑的问题.

其实这所有的专题都不是平行的,也就是划分标准不同,一般是按照三类来划分:

第一:按照题目内容,行程问题、年龄问题、时钟问题等;

第二:按照题目本质,和差倍分问题、盈亏问题、鸡兔同笼等,涉及的是思想,可以变成第一类的任何一种问题;

第三:按照解题思想,从反面考虑问题、还原问题等.

本讲是对原来学过和差倍分、年龄、盈亏问题进行总结强化,同时帮助你不断回顾已有知识,更加深刻体会做题的思路方法!

和差倍分问题

【例1】 某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人,现在把室内活动的50人改为室外活动,这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍,则参加室内、室外活动的共有多少人?

分析:原来室外、室内活动人数相差480人,现把室内的50人改为室外活动,这样室外活动人数比室内人数多480+50×2=580(人),这时室外活动人数正好是室内人数的5倍,580人相当于现在室内活动人数的5-1=4(倍),这样可先求出现在室内活动人数580÷4=145,再求出室内、外人数之和145×(5+1)=870人. 建议老师用画图的方法讲解!!

【前铺】有两盘苹果,如果从第一盘中拿2个放到第二个盘里,那么两盘的苹果数相同;如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里,那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍.第一盘有苹果多少个?

分析: 原来第一盘比第二盘多:2+2=4(个),从第二盘拿2个到第一盘里,第一盘就比第二盘多:4+(2+2)=8(个),第二盘拿走2个后剩下的苹果:8÷(2-1)= 8(个),第一盘原有苹果:8×2-2=14(个).

【前铺】两根绳,第一根长64米,第二根长52米,剪去同样长后,第一根是第二根的3倍,求每根绳减去几米?

分析:剪去同样长后,第一根比第二根长(64-52)米,因此,第二根剩下的长为(64-52)÷(3-1)=6米,从而剪去的长为52-6=46米 .

【例2】 小明、小红、小玲共有73块糖.如果小玲吃掉3块,那么小红与小玲的糖就一样多;如果小红给小明2块糖,那么小明的糖就是小红的糖的2倍.问小红有多少块糖?

分析:如果小玲吃掉3块,那么小红与小玲的糖就一样多,说明小玲比小红多3块;如果小红给小明2块糖,那么小明的糖就是小红的糖的2倍,即小明加2是小红减2后的2倍,说明小明是小红 49

的2倍少6(2×2+2).小红的颗数=(73-3+6)÷(1+1+2)=19块.

【例3】 有5堆苹果.较小的3堆平均有18个苹果.较大的2堆,苹果数之差为5个.又较大的3堆平均有26个苹果,较小的2堆苹果数之差为7个.最大堆与最小堆平均有22个苹果.问:每堆各有多少个苹果?

分析:最大堆与最小堆共22×2=44个苹果.较大的2堆与较小的2堆共44×2+7-5=90个苹果. 所以中间的一堆有:(18×3+26×3—90)÷2=21个苹果;

较大的2堆有:26×3—21=57个苹果;

最大的一堆有:(57十5)÷2=31个苹果;

次大的2堆有:57—31=26个苹果;

较小的2堆有:18×3—21=33个苹果;

次小的一堆有:(33+7)÷2=20个苹果;

最小的一堆有:20—7=13个苹果.

【例4】 有8只盒子,每只盒内放有同一种笔.8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支.在这些笔中,圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍,钢笔支数是1铅笔支数的,只有一只盒里放的是水彩笔.这盒水彩笔共有多少支? 3

分析:铅笔数是钢笔的3倍,圆珠笔数是钢笔的2倍,因此这三种笔支数的和是钢笔数的6(=l+3+2)倍.

17+23+33+36+38+42+49+5l 除以6余l,所以水彩笔的支数除以6余l,在上述8盒的支数中,只有49除

以6余1,因此水彩笔共有49支.

【前铺】盒中有黄、红、蓝三种颜色的棋子共66粒,其中黄色棋子数是红色棋子数的4倍,蓝色棋子数的2倍等于黄色棋子数的3倍.这个盒中三种颜色的棋子各有多少粒?

分析:把红棋子数看作1份,则黄棋子4份,蓝棋子6份,红、黄、蓝棋子数分别为:6、24、36粒.

【例5】 某日停电,房间里燃起了长短两根蜡烛,它们燃烧速度是—样的.开始时长蜡烛是短蜡烛长度的2倍,当送电后吹灭蜡烛,发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的3倍.短蜡烛燃烧掉的长度是5厘米.问原来两根蜡烛各有多长?

分析:我们要注意发掘题目中真正的不变量,实际上这个题目中两根蜡烛的长度差是不变的.(为什么?由于两根蜡烛燃烧的速度一样). 那么我们根据题意可知:原长蜡烛长度=2倍原短蜡烛长度,差为1倍原短蜡烛长度;后长蜡烛长度=3倍后短蜡烛长度,差为2倍后短蜡烛长度;所以原短蜡 50

烛长度=2倍后短蜡烛长度,也就是说短蜡烛燃烧了1倍后短蜡烛长度,为5厘米,所以原短蜡烛长10厘米,原长蜡烛长20厘米.

【例6】 有三堆棋子每堆棋子一样多并且都只有黑白两色棋子.已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多,第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的

子占全部棋子的几分之几? 2,如果把三堆棋子集中到一起,那么白5

分析:第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多,那么我们不妨把第一堆里的黑子与第二堆里的白子调换一下,那么第一堆全白子,第二堆全黑子,且每堆总数不变.因为第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的2,我们不妨把第三堆里的黑棋子看作2份,那么剩下的3份都是第二堆的黑子,5

1;如果分母减少1,那么这个分数变3所以每堆都是三份,白子共(1+3)份,白子占全部棋子的9分之4. 【例7】 有一个分数,如果分子减1,那么这个分数就变成

1.那么这个分数是多少? 2

分析:把分母看成一个3倍量,那么分子就是1倍量+1,根据:如果分母减少1,那么这个分数变成

【前铺】丁丁和宁宁各有一只盒子,里面都放着棋子,两只盒子里的棋子一共是270粒.丁丁从自己的盒子里拿出11的棋子放入宁宁的盒子里后,宁宁盒子里的棋子数恰好比原来增加.原来丁丁、4514,那么分母就是:(2倍量+2)+1=2倍量+3,所以1倍量代表3,所以分数为:. 29

宁宁各有棋子多少粒?

1分析: 把丁丁盒子里的棋子看作20份,那么丁丁拿出的棋子数是5份,相当于宁宁原来棋子数的,5

所以宁宁原来有25份棋子,所以1份代表6粒,丁丁原有棋子120粒,宁宁原有棋子150粒. 年龄问题

年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如:已知两个人或若干个人的年龄,求他们年龄之间的某种数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合.它有一定的难度,因此解题时需抓住其特点.

年龄问题变化关系的三个基本规律:

1、 两人年龄的差是不变的量;

2、 两人年龄的倍数关系是变化的量;

3、 每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量.

51

年龄问题的解题要点是:

1、入手:分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系.

2、关键:抓住―年龄差‖不变.

3、解法:应用―差倍‖、―和倍‖或―和差‖问题数量关系式.

年龄问题的解题正确率保证:验算!

【例8】 兄弟二人的年龄相差5岁,兄3年后的年龄为弟4年前的3倍.问:兄、弟二人今年各多少岁?

分析:根据题意,作示意图如右:

由上图可以看出,兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大

5+3+4=12(岁),由―差倍问题‖解得,弟4年前的年龄为

(5+3+4)÷(3-1)=6(岁). 由此得到,弟今年6+4=10(岁),兄今年10+5=15(岁).

【前铺】今年爷爷78岁,三个孙子的年龄分别为27、23、16岁.经过多少年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄和?

分析:三个孙子的年龄和是:27+23+16=66(岁),跟爷爷年龄差等于12岁,过一年两者的年龄差减少2岁,所以6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄和.

【例9】 女儿今年(2007年)12岁,妈妈对女儿说:―当你有我这么大岁数时,我已经60岁喽!‖问:妈妈12岁时,是哪一年?

分析:画线段图分析.母女年龄的差是(60-12)÷2=24,2007-24=1983(年).

【巩固】(第一届祖冲之杯数学邀请赛) 甲对乙说:―当我的岁数是你现在的岁数时,你才5岁.‖乙对甲说:―当我的岁数是你现在的岁数时,你将50岁.‖那么,甲现在( )岁,乙现在( )岁.

分析: 画图分析.年龄差=(50-5)÷3=15,乙现在的岁数为:15+5=20(岁),甲现在的岁数为:20+15=35(岁).

【例10】 小芬家由小芬和她的父母组成,小芬的父亲比母亲大4岁,今年全家年龄的和是72岁,10年前这一家全家年龄的和是44岁. 今年三人各是多少岁?

分析:一家人年龄的和今年与10年前比较增加了72-44=28(岁),而如果按照三人计算10年后应增加3×10=30(岁),只能是小芬少了2岁,即小芬8年前出生,今年是8岁,今年父亲是(72-8+4)÷2=34(岁),今年母亲是34-4=30(岁).

【例11】 已知祖孙三人,祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同,祖父和孙子年龄之和为82岁,明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的5倍.求祖孙三人各多少岁?

52

分析:―祖父和父亲年龄差与父亲和孙子年龄的差相

同‖这一条件较难理解,可作出示意图,从图中容易看

出,祖父和孙子年龄之和恰为父亲年龄的2倍.父亲

的年龄:82÷2=41(岁) ,孙子的年龄:

(82+1×2)÷(1+5)-1=13(岁),祖父的年龄:82-13=69(岁).

盈亏问题

人们在分东西的时候,经常会遇到剩余(盈)或不足(亏),根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题.

所谓盈亏问题,就是把一定数量的东西分给一定数量的人,由两种分配方案产生不同的盈亏数,反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量.解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额(盈数+亏数),由此得到求解盈亏问题的公式:

分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差.

需要注意的是,两种分配方案的结果不一定总是一―盈‖一―亏‖,也会出现两―盈‖、两―亏‖、一―不盈不亏‖一―盈‖或―亏‖等情况.

【例12】 用一根绳子测井台到井水面的深度,把绳子对折后垂到井水面,绳子超过井台9米,把绳子3折(折成三段)后垂到水面,绳子超过井台2米.求绳长和井深. 分析:井深比

12米.

【拓展】东东从家去学校,如果每分走80米,结果比上课提前6分到校,如果每分走50米,则要迟到3分,那么东东家到学校的路程是多少米?

分析:这道题看似行程问题,实质却可以用盈亏问题来解.先求出东东从家到学校路上要用多长时间,根据已知,(80×6+50×3)÷(80—50)=630÷30=21(分钟),然后可求东东家离校的路程为:80×(21-6)=1200(米).

【例13】 有一些糖,每人分5块则多10块,如果现有人数增加到原有人数的1.5倍,那么每人41111绳长少9米,比的绳长少2米,所以绳长=(9-2)÷(-)=42(米). 井深2323块就少两块,这些糖共有多少块?

分析:第一次每人分5块,第二次每人分4块,可以认为原有的人每人拿出一块糖分给新增加的人,而新增加的人刚好是原来的一半,这样新增加的人每人可分到2块糖果,这些人每人还差4-2=2块,一共差了10+2=12块,所以新增加了12÷2=6人,原有6×2=12人.糖果数:12×5+10=70(块).

53

【前铺】苹果和梨各有若干只,如果5只苹果和3只梨装一袋,还剩4只苹果,梨恰好装完,如果7只苹果和3只梨装一袋,苹果恰好装完,梨还多12只,那么苹果和梨共有多少只?

分析:如果7只苹果和3只梨装一袋,那么12只梨搭配苹果12÷3×7=28只.第二句的条件―苹果恰好装完,梨还多12只‖就可以转化为―梨装完了,还少28只苹果‖.(4+28)÷(7-5)=16,如果把3只梨看成一组的话,现在有16组梨,也就是16×3=48(只),苹果数:16×5+4=84(只),所以,苹果和梨共有48+84=132(只).

【前铺】少先队员植树,如果每人挖5个坑,那么还有3个坑无人挖;如果其中2人各挖4个坑,其余每人挖6个坑,那么恰好将坑挖完。问:一共要挖几个坑?

分析:我们将―其中2人各挖4个坑,其余每人挖6个坑‖转化为―每人都挖6个坑,就多挖了4个坑‖.这样就变成了―典型‖的盈亏问题.盈亏总额为4+3=7(个)坑,两次分配数之差为6-5=1(个)坑.[3+(6-4)×2]÷(6-5)=7(人),5×7+3=38(个),一共要挖38个坑.

【附1】某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖,每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍,每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍. 如果评出一、二、三等奖各2人,那么每个一等奖的奖金是308元.如果评出1个一等奖,2个二等奖,3个三等奖,那么一等奖的奖金是多少元?

分析:我们把每个三等奖奖金看作1份,那么每个二等奖奖金是2份,每个一等奖奖金则是4份.当

一、二、三等奖各评2人时,2个一等奖的奖金是(308×2)元,2个二等奖的奖金等于1个一等奖的奖金308元,2个三等奖的奖金等于1个二等奖奖金(308÷2)元.所以奖金总数是:(308×2+308+308÷2)元.当评1个一等奖,2个二等奖,3个三等奖时,1个一等奖奖金看做4份,2个二等奖奖金2×2=4(份),3个三等奖奖金的份数是1×3=3(份),总份数就是:4+4+3=1l(份).这样,可以求出1份数为98元,一等奖的奖金:98×4=392(元).

【附2】有长短两支蜡烛(两支蜡烛同样时间燃烧的长度相同),它们的长度之和为56厘米.将它们同时点燃一段时间后,长蜡烛同短蜡烛点燃之前一样长,这时短蜡烛的长度又恰好是长蜡烛的燃前,长蜡烛有多长?

分析:我们要注意发掘题目中真正的不变量,实际上这个题目中两根蜡烛的长度差是不变的.(为什么?由于两根蜡烛燃烧的速度一样).把原来短蜡烛的长度看作3份,那么后来长蜡烛的长度也为3份,后来短蜡烛的长度为2份,差值为1份,那么原来长蜡烛长度为4份,所以1份为56÷(4+3)=8(厘米),原来长蜡烛为4×8=32(厘米).

54 2.点3

【附3】某日停电,房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛.这两支蜡烛的质量不同,一支可以维持3小时,另一支可以维持5小时,当送电时吹灭蜡烛,发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的3倍.这次停电时间是多少小时?

11分析:设停电x小时,可得:1?x?3?(1?x),解得:x=2.5(小时). 53

【附4】甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同.若甲每天增加自学时间半小时,乙每天减少自学时间半小时,则乙自学6天的时间仅相当于甲自学1天的时间.问:甲乙原定每天自学的时间是多少?

分析:改变后,甲每天比乙多自学1小时,即60分钟.它是乙五天自学的时间,即乙现在每天自学:60÷(6-1)=12(分),原来每天自学的时间是:12+30=42(分).

【附5】6年前爸爸的年龄是小玲的6倍,18年后爸爸的年龄是小玲的2倍.问现在父女俩的年龄各是多少岁?

分析:18年后爸爸的年龄是小玲的2倍,那么两人的年龄差等于小玲当时(18年后)的年龄,所以,两人的年龄差等于小玲6年前的年龄加24(=18+6).6年前爸爸的年龄是小玲的6倍,所以两人的年龄差等于小玲当时(6年前)年龄的6-1=5(倍).由于年龄差是不变的,所以小玲6年前的年龄的(5-1)倍等于24,小玲当时(6年前)的年龄为:24÷(5-1)=6(岁),现在的年龄为:6+6=12(岁).

【附6】四个人年龄之和是77岁,最小的10岁,他与最大的年龄之和比另外二人年龄之和大7岁,那么最大的岁数是几?

分析:最大的岁数与10的和是 (77+7) ÷2=42,所以最大的岁数是42-10=32(岁)。

【附7】巧克力每盒9块,软糖每盒11块,要把这两种糖份发给一些小朋友、每样糖每人一块,由于又来了一位小朋友,软糖就要增加一盒,两种糖分发的盒数就一样多,现在又来了一位小朋友,巧克力还要增加一盒,则最后共有多少个小朋友?

分析:新来了一位小朋友,就要增加一盒软糖,说明在此之前,软糖应该是刚好分完几整盒,所以原来的小朋友人数是11的倍数.增加了第二位小朋友之后,巧克力糖也要再来一盒了,说明原有的小朋友分几整盒巧克力糖之后还剩下一块,也就是说,原有的小朋友数是9的倍数减1.符合这 55

两个条件的最小的数是44,而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件,所以原有44个小朋友,最后有46个小朋友.

3

【附8】幼儿园大班每人发17张画片小班每人发13张画片,大班人数是小班人数的5,小班比大班多发126张画片,那么小班有多少人?

分析:小班每5个人就会发13×5=65张画片,大班每3个人就会发17×3=51张画片.那么,小班的5个人比大班的3个人多发了65-51=14张画片,总共多发了126张,所以小班有126÷14×5=45人.

1.在一个减法算式里,被减数、减数与差的和等于120,而减数是差的3倍,那么差等于多少? 分析:被减数=减数+差,所以,被减数和减数与差的和就各自等于被减数、减数与差的和的一半,即:

被减数=减数+差=(被减数+减数+差)÷2.因此,减数与差的和= 120÷2=60.这样就是基本的和倍问题了.小数=和÷(倍数+1),减数与差的和=120÷2=60,差=60÷(3+1)=15.

2.某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只,鸡的只数比鸭的4倍多132只,鹅的只数比鸭的2倍少70只.这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只?

分析:我们把鸭的只数看作1份,鸡的只数看作4份,鹅的只数看作2份,鸡、鸭、鹅的总只数就相当于鸭的:1+4+2=7(份).而鸡、鸭、鹅的总只数可以看作:1462-132+70=1400(只).鸭200只,鸡932只,鹅330只.

3.上学的路上,小明听到两个人在谈论各自的年龄,只听一人说―当我的年龄是你现在的年龄时,你才4岁.‖另一人说―当我的年龄是你现在的年龄时,你将61岁,……‖他们两人中,年龄较小的现在多少岁.

分析:画图分析,年龄差为:(61-4)÷3=19 ,较小者为:4+19=23(岁)

4.哥哥6年前的岁数等于弟弟8年后的岁数.哥哥5年后与弟弟3年前的年龄和是38岁.求兄弟二人今年各几岁?

分析:今年哥哥比弟弟大几岁? 6+ 8= 14(岁),哥、弟今年年龄和:38-5+ 3= 36(岁),哥哥今年年龄:(36+14)÷2=25(岁),弟弟今年年龄: 25-14=11(岁)。

5. 小强由家里到学校,如果每分钟走50米,上课就要迟到3分钟;如果每分钟走60米,就可以比上课时间提前2分钟到校.小强家到学校的路程是多少米?

分析:迟到3分钟转化成米数:50×3=150(米),提前两分钟到校转化成米数:60×2=120(米), 56

(150+120)÷(60-50)=27(分钟),50×(27+3)=1500(米).

6.食堂管理员带着一笔钱去买肉,若买10千克牛肉则还差6元,若买12千克猪肉则还剩4元。已知每千克牛肉比猪肉贵3元,问:食堂管理员带了多少钱?

分析:买10千克牛肉则还差6元,每千克牛肉比猪肉贵3元,若买10千克猪肉还剩下24元, 所以每斤猪肉(24-4)÷(12-10)=10(元),老张带了124元.

第八讲 期中考试

考试时间:90分钟 总分值:100分+20分 姓名: 得分:

一、 填一填(每空5分,共5×12 = 60分)

1. 2003×2001÷111+2003×73÷37= 40060

2. 1997×2007 2007 -2007 × 1997 1997= 0

3. 71+793+7995+79997+799999= 888855

4. 有十一盘子,已知第一个盘子里有19个水果,最后一个盘有17,且三个相临盘子的水果总数

是52个,则第5个盘子水果数是 17

5. 今天是星期二,从今天算起,第106天是星期 二

求67999+762762 个位数字是 7

6. 计划修建一个正方形的鱼塘(如右图),并在鱼塘周围种上2米宽的草

坪,草坪的面积为200平方米,那么修建这个鱼塘的周长 92

米。

7. 盒中有黄、红、蓝三种颜色的糖果共99粒,其中黄色糖果数是红色糖

果数的4倍,蓝色糖果数的2倍等于黄色糖果数的3倍.这个盒中黄颜色的糖果有 36 粒。

8. 在1~200这二百个自然数中,所有不能被4整除的数的和是 15000

9. 一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去,前120千米的平均速度为40千米/时,要想使

这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为50千米/时,剩下的路程应以 60 千米/时速度行驶。

10. 某河上、下两埠相距45千米,每天定时有甲、乙两艘船用相同的船速分别从两埠同时出发相

向而行.有一天甲船从上埠刚出发时掉下一物,此物浮于水面顺流而下,4分钟后与甲船相距1千米.问:预计乙船出发后.

11. 北北、京京、欢欢共有73块糖.如果欢欢吃掉3块,那么京京与欢欢的糖就一样多;如果京京

给北北2块糖,那么北北的糖就是京京的糖的2倍.问京京有 19 块糖.

57

二、 大显身手(每题8分,共8×5=40分)

1. 甲、乙两个人从相距40千米的A、B两港相向而行,甲以每小时3千米的速度从A地出发,乙以每小时5千米的速度从B地出发,此时水速是每小时2千米,若甲顺水行走,那么他们几个小时后相遇?相遇时乙走了多少千米?

分析:本题属于水中相遇问题与水速无关,故相遇时间为:40÷(3+5)=5(小时),相遇时候乙走:(5-2)×5=15(千米).

2. 用同样的长方形条砖,在一个盆 的周围砌成一个正方形边框,如右图所示. 已

知外面大正方形的周长是264厘米,里面小正方形 的周长是120平方厘米,每块

长方形条砖的面积是多少平方厘米?

分析:外面大正方形的边长为264÷4=66厘米,里面小正方形的边长为30厘米,

所以长方形的宽为:(66-30)÷2=18(厘米),长方形的长为:(66-18)÷2=24(厘米),所以面积为:18×24=432(平方厘米).

3、某小学原来参加大扫除的人数比未参加大扫除的人数多480人,现在把未参加大扫除的50人改为参加大扫除,这样参加大扫除的人数正好是未参加大扫除人数的5倍,则这个学校的共有多少人? 分析:原来参加、未参加的人数相差480人,现把未参加的50人改为参加,这样参加的人数比未参加的人数多480+50×2=580(人),这时参加的人数正好是未参加人数的5倍,580人相当于现在未参加人数的5-1=4(倍),这样可先求出现在未参加的人数,再求出学校总人数之和870人.

4. 姐姐对妹妹说:―当我的岁数是你现在的岁数时,你才5岁.‖妹妹对姐姐说:―当我的岁数是你现在的岁数时,你将50岁.‖那么,姐姐现在几岁?妹妹现在几岁?

分析: 画图分析.年龄差=(50-5)÷3=15,妹妹现在的岁数为:15+5=20(岁),姐姐现在的岁数为:20+15=35(岁).

5. 计算:33....3??13...3?2

2006个32006个3

分析:3×132=396 ;33×1332=43956 ;333×13332=4439556 ,……

所以:33....3??13...3?2=44...43955...56?? .

2006个32006个32005个2005个

三、附加题目(每题10分,从三道题目中选择两道来做,三道题目全部做也只得满分20分,共10×2=20分)

1. 正方形ABCD的边长为3厘米,每边被3等分,求图中所有正方形周长的和.

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分析:分类进行统计,

边长为1厘米的正方形的周长的和是:1×4×(3×3)=36(厘米),

边长为2厘米的正方形周长的和是:2×4×(2×2)=32(厘米),

边长为3厘米的正方形周长是:3×4×(1×1)=12(厘米),

图中所有正方形周长的和是:36+32+12=80(厘米).

2. 猎狗追赶前方22米处的野兔.猎狗步子大,它跑 4步的路程兔子要跑9步,但是兔子动作快,猎狗跑3步的时间兔子能跑4步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔?

分析:猎狗跑12步的路程兔子要跑27步,猎狗跑12步的时间兔子要跑16步,在猎狗跑12步这个单位时间内,两者的速度差为兔子的11步,所以猎狗追击距离为:22÷11×27=54(米).

3. 小新每分钟走50米,小白每分钟走60米,正南每分钟走70米.小新带着小白从A地,正南从B地同时相向出发,正南遇到小白后2分钟又遇到小新,A、B两地相距多少米?

分析:当小白和正南相遇时,小白和小新相距:(70+50)×2=240(米),从他们同时出发到小白、正南相遇经过:240÷(60-50)=24(分钟),A、B两地相距:(60+70)×24=130×24=3120(米).

第九讲 奇偶分析法

奇数和偶数的概念:整数可以分成奇数和偶数两大类.

能被2整除的数叫做偶数(双数),不能被2整除的数叫做奇数(单数).

奇数和偶数的表示方法:

因为偶数是2的倍数,所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数);

因为任何奇数除以2其余数总是1,所以通常用式子2k+1来表示奇数(这里k是整数). 特别注意,因为0能被2整除,所以0是偶数.最小的奇数是1,最小的偶数是0.

奇数与偶数的运算性质:

性质1: 偶数±偶数=偶数

奇数±奇数=偶数

偶数±奇数=奇数

同性质(指奇偶性)两数加减得偶,不同性质得奇.

性质2: 偶数×奇数=偶数(推广开来我们还可以得到:偶数个奇数相加得偶数)

偶数×偶数?偶数(推广开就是:偶数个偶数相加得偶数)

奇数×奇数=奇数(推广开就是:奇数个奇数相加得奇数)

对于乘法,见偶就得偶.

性质3 : 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.

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【复习1】从3开始,依据后一数是前一数加上3,写出2000个数排成一行:3,6,9,12,15,18,21,……在这行数中第1991个数是奇数还是偶数?

分析:由于奇数+奇数=偶数,偶数+奇数=奇数. 3是奇数,所以,每个数加上3后,奇偶性与原来相反,也就是说,在3,6,9,12,……中,每一个数与前一个数的奇偶性不同. 这行数的第一个数是奇数,并且是奇偶相间,由此可知,这行数的奇偶性与其序数的奇偶性相同.所以第1991个数是奇数. 由此可以得到以下一条性质:加上(或减去)一个偶数,奇偶性不变,而加上(或减去)一个奇数,奇偶性改变.

【复习2】7只杯子口均向上,每次操作翻动四只杯子,使其杯口朝向改变,能否经过有限次操作,使7只杯子口均向下?

分析:我们可以从两个角度来考虑所有杯子被翻动次数的总和:一是每次操作计4次,,z次操作共计4z次,为一偶数;二是看杯子状态,每只杯子由―口向上‖变为―口向下‖,需奇数次翻动,7只杯子翻动次数总和必为奇数.这样,奇≠偶,因此结论是不能.

【复习3】某班同学参加学校的数学竞赛,试题共50道,评分标准是:答对一道给3分,不答给1分,答错倒扣1分.请你说明:该班同学的得分总和一定是偶数.

分析:对于一名参赛同学来说,如果他全部答对,他的成绩将是3×50=150,是偶数;有一道题未答,则他将丢2分,也是偶数;答错一道题,则他将丢4分,还是偶数;所以不论这位同学答的情况如何,他的成绩将是150减一个偶数,还将是偶数.所以,全班同学得分总和一定是偶数.

【复习4】在一张9行9列的方格纸上,把每个方格所在的行数和列

数加起来,填在这个方格中,例如a=5+3=8,问:填入的81个数中,

奇数多还是偶数多?多多少?

分析:每两个相邻的方格,所填的数一奇一偶,将第一行的每个方

格与它下面的相邻方格配对,可见第一、二行中奇数与偶数正好一

样多.

同理,前八行中奇数与偶数一样多.第九行的前八个方格也可两两配对,每对相邻的方格中的数一奇一偶,所以这八格中的奇数偶数也一样多.最后,第九行,第九列有一个方格填18(=9+9),所以81个数中,偶数恰好比奇数多1个.

【例1】 师傅与徒弟加工同一种零件,各人把产品放在自己的箩筐里,师傅的产量是徒弟的2倍,师傅的产品放在4只箩筐中,徒弟的产品放在2只箩筐中,每只箩筐都标明了产品的只数:78只,94只,86只,87只,82只,80只.根据上面的条件,你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗?

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分析:注意到6个标数只有一个为奇数,它肯定是徒弟制造的.原因很简单:师傅的产量是徒弟的2倍,一定是偶数,它是4只箩筐中产品数的和,在题目条件下只能为四个偶数的和.徒弟的另一筐侧品就得通过以下计算来确定:利用求解―和倍问题‖的方法,求出徒弟加工零件总数为:(78+94+86+87+82+80)÷(2+1)=169,那另一筐放有产品169-87=82(只).所以,标明―82只‖和―87只‖这两筐中的产品是徒弟制造的.

【前铺】某电影院共有2003个座位.有一天,这家电影院上、下午各演一场电影,看电影的是A、B两所中学的各2003名师生.同一学校的学生有的看上午场,有的看下午场,但每人恰看一场,有人断言:―这天看电影时,肯定有的座位上、下午坐的是两所不同学校的师生.‖你认为这种断言正确吗?为什么?

分析:此题读来费神,但仔细一想,道理却很简单.如果每个座位上、下午坐的都是同一所学校的,那么这所学校的人数就等于上午本校看电影人数的2倍,肯定为偶数,这就与人数为奇数2003矛盾.所以题中断言是正确的.

【例2】 把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线

上的红圈数都是奇数?试讲出理由.

分析:不可能.假设在同一条直线上的红圈数都是奇数,5条直线上的红圈总数

就会是奇数(奇数乘以奇数仍是奇数).因为每个红圈均在两条直线上,所以按各条直线上的红圈数计算和时,每个红圈都被算了两次,所以红圈总数应是偶数.这就出现了矛盾,所以假设在同一条直线上的红圈数都是奇数是不可能的.

【巩固】元旦前夕,同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡,那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数,还是偶数?为什么?

分析:此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上,因此与总人数无关.

由于是两人互送贺年卡,给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除,所以贺年卡的总张数应是偶数.

送贺年卡的人可以分为两种:一种是送出了偶数张贺年卡的人:他们送出贺年卡愻和为偶数.另一种是送出了奇数张贺年卡的人:他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数一所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数一偶数=偶数.他们的总人数必须是偶数,才使他们送出的贺年卡总数为偶数.所以,送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数.

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【例3】 平面上有11个齿轮咬合成一圈.试问,能否使这些齿轮同时转动起来?

分析:不能.假设齿轮1顺时针转动,则齿轮2就应当逆时针转动,齿轮3—

顺时针转动,齿轮4—逆 时针转动…….很清楚,凡―奇数号―齿轮均应顺

时针转动,而―偶数―号,齿轮则相反.这样一来,齿轮1和齿轮11均为顺

时针转动,这是不可能的.

注:这道题解答的关键是:齿轮的转动应当是顺时针与逆时针交替变化,要

想同时转动,必须是偶数个齿轮相连.

【例4】 在表中有15个数,选出5个数,使它们之和等于30,你能做到吗?为什么?

分析:如果你去找、去试、去算,那就太费事了.因为无论你选择

哪5个数,它们的和总不等于30,而且你还不敢马上证实这是做不到的.最

简单的方法是利用奇偶数的性质来解,因为奇数个奇数之和仍是奇数,表中

15个数全是奇数,要想从中找出5个使它们的和为偶数,是不可能的.

【巩固】如下图所示的十二张扑克牌,2点、6点、10点各四张.你能从中选出七张牌,使上面点数之和恰等于52吗?说明理由.

分析:不能.由于各牌点数都等于2×奇数,即2=2×1,6=2×3,10=2×5.从十二张牌中任取七张牌点数之和,等于2乘以七个奇数之和,这数是一个奇数的两倍.但52=2×26是一个偶数的两倍.因此,无论怎样从十二张牌中选取七张牌,其点数之和都不会等于52.点评由于从所给十二张牌中每个被4除都余2,则任取七张点数之和被4除也都余2,而52被4整除,所以不能相等.

【例5】 用1、2、3、4、5这五个数两两相乘.可以得到10个不同的乘积.问乘积中是偶数多还是奇数多?

分析:如果二个整数乘积是奇数,那么这二个整数都必须是奇数.五个数中有三个奇数,这三个奇数两两相乘,只有3个乘积,也就是说总共只有3个奇数,而偶数的乘积有10-3=7个,因此乘积中偶数比奇数多.

【前铺】100个自然数,它们的和是100000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多.问:这些数里至多有多少个偶数?

分析:因为这100个数的和是偶数,那么奇数的个数必须是偶数.又因为奇数的个数比偶数多,所以奇数的个数至少有52个,偶数至多有48个.比如取52个1,47个2和1个9854,它们的和为

10000.

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【例6】 在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成其它两数之和,这样继续操作下去,最后得到66,88,237.问:原来写的三个整数能否为1,3,5 ?

分析:此题单从具体的数来,无从下手.但抓住其操作过程中奇偶变化规律,问题就变得很简单了.如果原来三个数为1,3,5,为三奇数,无论怎样,操作一次后一定为二奇一偶,再往后操作,可能有以下两种情况:一是擦去一奇数,剩下一奇一偶,其和为奇,因此换上去的仍为奇数;二是擦去一偶数,剩下两奇,其和为偶,因此,换上去的仍为偶数.总之,无论怎样操作,总是两奇一偶,而66,88,237是两偶一奇,这就发生矛盾.所以,原来写的不可能为1,3,5.

【例7】 能不能在下式:1口2口3口4口5口6口7口8口9=10的每个方框中,分别填入加号或减号,使等式成立?

分析:在一个只有自然数加减法运算的式子中,如果把式子中任一减法运算改成加法运算,那么所得结果的奇偶性不变.因此无论在每个方框中怎样填加减号,所得结果的奇偶性,与在每个方框中都填入加号所得结果的奇偶性一样.但是,每个方框中都填入加号所得结果是奇数.而式子的右边是10,是个偶数.因而无论怎样填加减号,两边的奇偶性不同,所以不能使等式成立.

【拓展】现有6张桌子排成一排,每张桌上放着一只盘子.现规定每次操作必须将两只盘子由原来桌子移到相邻的桌子上.问:能否操作有限次后,将所有盘子移到一张桌上去?说明理由.

分析:请画图帮助分析.我们将桌子依次编为l号,2号,…,6号.我们来考察盘子所在桌子的号码和.显然,最初的号码和为:l+2+3+4+5+6=21.而如果能办到,即6只盘子都在n号桌上,号码和为6n.再看每次操作号码和有何变化.每只被移动的盘子的号码要么加l要么减1,两只盘子对号码和的影响是:要么都加1,即加2;要么一加一减,即不变;要么都减1,即减2.但是不管怎样,都不会改变号码和的奇偶性,而21和6n的奇偶性显然不同.因此要把所有盘子移到一起是不可能的.

【例8】 你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格中,使得每个横行中的三个数之和都是偶数?

【例9】 分析:显然不能.如果能,我们把三个横行的和相加,其和就是三个偶数之和必为偶数,然而它也恰是九个数之和,即1+2+3+…+9=45,而偶≠奇.

【拓展】能否将1~16这 16个自然数填入4×4的方格表中(每个小方格只填一个数),使得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数?如果能填,请给出一种填法;如果不能填,请说明理由. 分析:不能.将所有的行和与列和相加,所得之和为4× 4的方格表中所有数之和的2倍.即为(1+2+3+…+15+16)×2=16×17.而8个连续的自然数之和设为:k+(k +1)+ (k+2)+(k +3)+(k +4)+(k +5)+(k +6)+(k +7) =8k+28.若4×4的方格表中各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数,应有8k +28=16×17,即2k +7=4×17 ,显然左端为奇数,右端为偶数,得出矛盾.

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【例10】 是否存在自然数a和b,使得ab(a+5b)= 15015?

分析:不存在.因为15015是奇数,所以a、b、a+5b都应为奇数,但是当a和b均为奇数时,a +5b却是偶数.

【巩固】将两个自然数的差乘上它们的积,能否得到数45045?

分析:不可能.因为45045是奇数,所以它只能表示成3个奇数的连乘积,但是对任何两个奇数x和y (x<y)来说,y-x都是偶数;从而45045≠xy(y-x),而如果x和y中有偶数,则亦为不可能.

【例11】 下面的四个算式中(如图),每个方框代表一个整数.其中每个算式至少有一个奇数和一个偶数.问:这12个整数中,共有几个偶数?

口+口=口

口-口=口

口×口=口

口÷口=口

分析:加法算式,只可能有三种情况.即:奇+偶=奇,奇+奇=偶,偶+偶=偶,但已知至少有一个奇数,所以第三种情况被排除,因而式中只有一个偶数.同理,第二个算式中也只有一个偶数.

乘法算式,只可能有三种情况,即:奇×偶=偶,偶×偶=偶,奇×奇=奇;由已知,只留下第一种情况,因而算式中有2个偶数.同理,第四个算式中有2个偶数.因此,4个算式中共有6个偶数.

【例12】 甲同学一手握有写着23的纸片,另一只手握有写着32的纸片.乙同学请甲回答如下一个问题:―请将左手中的数乘以3,右手中的数乘以2,再将这两个积相加,这个和是奇数还是偶数?‖当甲说出和为奇数时,乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中.你能说出是什么道理吗? 分析:甲的两张纸片,23是奇数,32是偶数.因此,只要能判断出甲的左手中握的是奇数,即可知左手握的是23.

设甲左手握的数为a,右手握的数为b,乙同学请甲计算所得结果为f,则 3×a+2×b=c.

(1)若C为奇数,则3×a为奇数,所以左手握的数a是奇数.

(2)若C为偶数,则3×a为偶数,所以左手握的数a是偶数.

因此,从c的奇偶性就可以断定左手握的数a的奇偶性,从而确定左手握的数是23还是32.在本题中,c为奇数,因此合于第(1)种情况,a是奇数,即左手中握的是23.

【例13】 甲、乙二人做游戏,先任意指定7个整数(允许有相同的).甲先把这7个整数以任意的顺序填在图中第一行的方格内,然后,乙再将这7个数以任意的顺序填在图第二行的方格内。最后,将所有的同一列的两个数的差(这样的差当然有7个)相乘.约定:如果积为偶数,算甲胜;如果积为奇数,算乙胜.你能判断谁胜吗?

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分析:甲必胜.这是因为,在7个整数中,奇数的个数与偶数的个数是不相等的.因此,每一列的两个数不可能奇偶性都不相同 (因为如果每列中的两个数奇偶性都不同,那么7个数中奇数与偶数的个数一定相等),也就是至少有一列的两个数的奇偶性相同,这两个数的差是偶数.于是,乘积必为偶数.

【附1】扑克牌中的J、Q、K分别表示1l、12、13.甲取13张红心,乙取13张草花,两人都各自任意出一张牌凑成一对,这样一共可凑成13对.如果将每对求和,再将这13个和相乘.从积的奇偶性看,积应是奇数还是偶数?

分析:每人有7个奇数6个偶数,所以至少有一对是2个奇数,其和为偶数.因为自然数与偶数相乘是偶数,所以这13个和相乘,积必是偶数.

【附2】从起点起,每隔1米种一棵树。如果把三块―爱护树木‖的小牌分别挂在三棵树上,那么不管怎样挂,至少有两棵挂牌的树,它们之间的距离数是偶数(以米为单位).为什么?

分析:给每棵树编号,每棵树的号码数,也就是这棵数到零点的一棵树的距离。假定挂牌的三棵树的编号分别为a、b、c,那么这三个数只有四种可能:

(1)三数都是奇数;

(2)两个奇数,一个偶数;

(3)三数都是偶数;

(4)两个偶数,一个奇数。

不管怎样挂,至少有两棵挂牌树之间的距离数是偶数(以米为单位).

【附3】有一个袋子里装着许多玻璃球.这些玻璃球或者是黑色的,或者是白色的.假设有人从袋中取球,每次取两只球.如果取出的两只球是同色的,那么,他就往袋里放回一只白球;如果取出的两只球是异色的,那么,他就往袋里放回一只黑球.他这样取了若干次以后,最后袋子里只剩下一只黑球.请问:原来在这个袋子里有 个黑球.(在 上填―奇数‖或―偶数‖)

分析:无论这个人取同色和异色的两个球黑色球总是减

少0个或2个,即减少偶数个,而剩下一个黑球,则原来袋

子里必有奇数个黑球.

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【附4】如果把8个整数分别填在方框内,使四个算式都成立,那么填入的数中

最多能有多少个奇数?

分析:一个加法或减法算式中,至少有一个偶数,所以我们把第一横排第二空,

第三横排第一空取偶数,就可满足条件,且偶数最少,那么此时奇数最多有6

个.

【附5】(1)如图,你能否把从1到7的所有的数安排在圆周上,使它们每个数都

能被它的两个相邻数之差所整除?

(2)如果上述要求不变,但要把从1到7改为从1到9的各数呢?

分析:(1)是可以安排的,具体做法见右图.其中任何一数都能被它两个邻数之

差所整除.如果你注意到奇数不可能被偶数整除的话,就会明白圆周上不可能出现―偶一奇一偶‖的安排.由此可见奇数一定会成对出现.但是在1,2,…,9之间却存在了5个奇数,所以它们不可能全都成对出现,这就说明(2)是不可能安排的.

1.沿着河岸长着8丛植物,相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个,问:8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由.

分析:任何相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个,所以任何相邻两丛植物上所结的浆果数目之和都是奇数.这样一来,8丛植物上所结的浆果总数就是4个奇数之和,必为偶数,所以不可能一共结有225个浆果.

2. 在的4×4方格中还有12个空格,希望填入12个自然数,使得同一行中相邻

两数的差(大数减小数)都相等,同一列中相邻两数的差(大数减小数)也相等.问:

这件事能否办到?为什么?

分析:按照题目要求,第二行第三列的数既应与1奇偶性相同,又应与6奇偶性相同,矛盾.

3.一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… 问:这串数的前100个数中(包括第100个数)有多少个偶数?

分析:观察一下已经写出的数就会发现,每隔两个奇数就有一个偶数,如果再算几个数,会发现这个规律仍然成立.这个规律是不难解释的:因为两个奇数的和是偶数,所以两个奇数后面一定是偶数.另一方面,一个奇数和一个偶数的和是奇数,所以偶数后面一个是奇数,再后面一个还是奇数.这样,一个偶数后面一定有连续两个奇数,而这两个奇数后面一定又是偶数,等等.因此,偶数出现在第三、第六、第九……第九十九个位子上.所以偶数的个数等于100以内3的倍数的个数,它等于99÷3=33.

66

4.将3个连续自然数的和记作A,将紧接它们之后的3个连续自然数的和记作B.问:乘积A×B能否等于111111111(共9个1)?

分析:不可能,因为A与B中有一个为偶数,从而乘积A×B为偶数,而111111111却是奇数.

5.有3个不同的自然数组成一等式:口+△+O=口×△一○,这三个数中最多有多少个奇数?

分析:因为2+4+1=2×4-l,所以这三个数中可以有一个奇数.如果这三个数中有2个奇数和1个偶数,那么等式左边必为偶数,等式右边必为奇数,不可能.如果这三个数均为奇数,那么等式左边必为奇数,而等式右边必为偶数,不可能.因此,这三个数中最多有1个奇数.

6.3~9这七个数,两两相乘后所得的乘积的和,是奇数还是偶数?为什么?

分析:七个数中有四个奇数,只有这四个奇数两两相乘得到6个奇数,其余都是偶数,所以和是偶数.

态度是一件奇妙的东西

态度是一件奇妙的东西,它会产生神奇的力量。美国哈佛大学的一项实验,证实了态度的魔力。 若干年前,罗伯特博士在哈佛大学主持一项为期六周老鼠通过迷阵吃干酪的实验,其对象是三组学生与三组老鼠。

他对第一组学生说:"你们太幸运了,因为你们将跟一群天才老鼠在一起。这群聪明的老鼠将迅速通过迷阵抵达终点,然后吃许多干酪,所以你们必须多准备些干酪放在终站。"

他对第二组学生说:"你们将跟一群普通的老鼠在一起。这群平庸的老鼠最后还是会通过迷障抵达终点,然后吃一些干酪。因为它们智能平平,所以期望不要太高。"

他对第三组学生说:"很抱歉,你们将跟一群笨老鼠在一起。这群笨老鼠的表现会很差,不太可能通过迷障到达终点,因此你们根本不用准备干酪。"

六个星期之后,实验结果出来了。天才老鼠迅速通过迷阵,很快就抵达终点:普通老鼠也到达终点,不过速度很慢:至于愚笨的老鼠,只有一只通过迷障抵达终点。

有趣的是,其实根本没有什么天才老鼠与笨老鼠,它们全都是同一窝的普通老鼠。这些老鼠之所以表现有天壤之别,完全是因为实验的学生受了罗伯特博士的影响,对他们态度不同所产生的结果,学生们当然不懂老鼠的语言,然而老鼠知道学生对它们的态度。

此一实验证明了态度的神奇力量。因此,一个人要成功,除了努力之外,必须具备正确的态度。

67

第十讲 染色与操作问题

这里的染色问题不是要求如何染色,然后问有多少种染色方法的那类题目,它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法,通过将问题中的对象适当染色,我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系,再经过一定的逻辑推理,便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识,但技巧性,逻辑性较强,要注意学会几种典型的染色问题.

【例1】 右图是某一湖泊的平面图,图中所有曲线都是湖岸.

(1)如果P点在岸上,那么A点是在岸上还是在水中?

(2)某人过此湖泊,他下水时脱鞋,上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点

B,他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数,那么B点是在岸上还是在水中?为什

么?

分析: (1)已知P点在陆地上,如果在图上用阴影表示陆地,就可以看

出A点在水中.

(2)从水中经过一次陆地到水中,脱鞋与穿鞋的次数的和为2,由于A点

在水中,所以不管怎么走,走在水中时,脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.

既然题中说―脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数‖,那么B点必定在岸上.

【例2】 六年级一班全班有35名同学,共分成5排,每排7人,坐在教室里,每个座位的前后左右四个位臵都叫做它的邻座.如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去,能办到吗?为什么?

分析:划一个5×7的方格表,其中每一个方格表示一个座位.将方格黑白相间

地染上颜色,这样黑色座位与白色座位都成了邻座.因此每位同学都坐到他的邻

座相当于所有白格的坐到黑格,所有黑格的坐到白格.而实际图中有17个黑格

18个白格,个数不等,故不能办到.

【巩固】某班有45名同学按9行5列坐好.老师想让每位同学都坐到他的邻座(前

后左右)上去,问这能否办到?

分析:如图,将5×9长方形自然染色,发现黑格的邻座都是白格,白格的邻座都

是黑格,因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格,所有黑格的

坐到白格.而实际图中有23个黑格22个白格,个数不等,故不能办到.

【例3】 有一次车展共6×6=36个展室,如右图,每个展室与相邻的展室都

有门相通,入口和出口如图所示.参观者能否从入口

进去,不重复地参观完每个展室再从出口出来?

68

分析:如右下图,对每个展室黑白相间染色,同样每次只能黑格到白格或白格到黑格.入口和出口处都是白格,故路线黑白相间,首尾都是白格,于是应该白格比黑格多1个,而实际上白格、黑格都是18个,故不可能做到不重复走遍每个展室.

【巩固】右图是某一套房子的平面图,共12个房间,每相邻两房间都有门

相通.请问:你能从某个房间出发,不重复地走完每个房间吗?

分析:如图所示,将房间黑白相间染色,发现只有5个白格,7个黑格.因

为每次只能由黑到白或由白到黑,路线必然黑白相问,显然应该从多的白

格开始.但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑,不可

能从黑格到黑格,故无法实现不重复走遍.

【例4】 在一个正方形的果园里,种有63棵果树,加上右下角的一间小屋,

整齐地排列成八行八列,如图(1).守园人从小屋出发经过每

一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?

如果有80棵果树,如图(2),连小屋排成九行九列呢?

分析:下图(1)中可以回到小屋,守园人只能黑白相间地走,

走到的第奇数棵树是白的,第偶数棵树是黑的,走到第63棵

树应是白的,在小屋相邻的树都标注白色,所以可以回到小

屋.

图(2)不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色, 而黑树与小

木屋不相邻,无法直接回到小木屋.

【例5】 一只电动老鼠从左下图的A点出发,沿格线奔跑,并且每到一个

格点不是向左转就是向右转。当这只电动老鼠又回到A点时,甲说它共转

了81次弯,乙说它共转了82次弯。如果甲、乙二人有一人说对了,那么

谁正确?

分析:甲.如右下图所示,将格点黑白相间染色,因为老鼠遇到格点必须转

弯,所以经过多少格点就转了多少次弯。如左下图所示,老鼠从黑点出发,

到达任何一个黑点都转了奇数次弯,所以甲正确 .

【例6】 右图是半张中国象棋盘,棋盘上已放有一只马. 众所周知,马是走

―日‖字的. 请问:这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个

点,然后回到出发点?

69

分析:马走―日‖字,在中国象棋盘上走有什么规律呢?为方便研究规

律,如下图所示,先在棋盘各交点处相间标上○和●,图中共有22个○

和23个● . 因为马走―日‖字,每步只能从○跳到●,或由●跳到○,所以

马从某点跳到同色的点(指○或●),要跳偶数步;跳到不同色的点,

要跳奇数步。现在马在○点,要跳回这一点,应跳偶数步,可是棋盘上共有23+22=45(个)点,不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点.

讨论:如果马的出发点不是在○点上而是在●点上,那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点,最后回到出发点上呢?按照上面的分析,显然也是不可能的. 但是如果放弃―回到出发点‖的要求,那么情况就不一样了. 从某点出发,跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44点,要跳44步,44是偶数,所以起点和终点应是同色的点(指○或●). 因为44步跳过的点○与点●各22个,所以起点必是●,终点也是●. 也就说是,当不要求回到出发点时,只要从●出发,就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点.

【例7】 右图是由14个大小相同的方格组成的图形. 试问能不能剪裁成7个由相

邻两方格组成的长方形?

分析:将这14个小方格黑白相间染色(见右下图),有8个黑格,6个白格. 相邻

两个方格必然是一黑一白,如果能剪裁成7个小长方形,那么14个格应当是黑、

白各7个,与实际情况不符,所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形.

【巩固】右图是由40个小正方形组成的图形,能否将它剪裁

成20个相同的长方形?

分析:将40个小正方形想剪裁成20个相同的长方形,就是

将图形分割成20个1×2的长方形,将其黑白相间染色后,发

现有21黑,19白,黑白格数不等,而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一个.

【拓展】下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的. 问:能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形.

分析:如右上图,(1)能,黑白格数相等;(2)(3)不能,黑白格数不等,而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一个

.

70

【例8】 用11个和5

个能否盖住8×8的大正方形?

分析: 如右图,对8×8

正方形黑白相问染色后,发现必然盖住2白

2黑,5个则盖住10白10黑.则盖住了3白1黑或3黑1白,从奇

偶性考虑,都是奇数.而这种形状共11个,奇数个奇数相加仍为奇数,故这

种形状盖住的黑格和白格都是奇数,加另一种形状的10白10黑,两种形状

共盖住奇数个白格奇数个黑格.但实际染色后共32个白格32个黑格,故不可能按题目要求盖住.注:本题中每个盖3白1黑或3黑1白,11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或33黑11白,因为可能一部分盖3白1黑,另一部分盖3黑1白.这是一个容易犯错的地方.

【前铺】能否用9个所示的卡片拼成一个6×6的棋盘?

分析:不能. 将6×6的棋盘黑白相间染色(见右图),有18个黑格. 每张卡片盖

住的黑格数不是1就是3,9张卡片盖住的黑格数之和是奇数,不可能盖住18

个黑格.

操作问题

【例9】 在图(1)的方格表中,对任意相邻的上下或左右

两格中的数字同时加1或减1,这算一次操作,经过若干次

操作后变为图(2),问:中间图中的A格中的数字是几?

分析:将4×4的方格进行黑白相间染色,如右图所示,每个小格同时加1或减1,

因黑白格数相等,那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差,由原

图(1)知这个差是8,有图(2)可知:白格数之和-黑格数之和=(A+7)-8=8 ,

所以A=9.

【前铺】对于表(1),每次使其中的任意两个数减去或加上同一

个数,能否经过若干次后(各次减去或加上的数可以不同),变为

表(2)?为什么?

分析:因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数,所以表中

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九个数码的总和经过变化后,等于原来的总和加上或减去那个数的2倍,因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为1+2+…+9=45,是奇数,经过若干次变化后,

总和仍应是奇数,与右上表九个数的总和是4矛盾。所以不可能变成

右上表.

【巩固】如图(1),对相邻的两格内的数同时加上1或同时减去1叫

做一次操作.经过若干次操作后由1变成图2,则图2中A处的数是多

少?

分析:按图中要求操作,图3中阴影方格的数字之和与空白方格的数字之和的差不

变.

所以A=(1+1+1+1+1)-(0+0+0+0)=5.

【例10】 右图是一个圆盘,中心轴固定在黑板上.开始时,圆盘上每个数字所

对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘,每次可以转动90°的任意整数倍,圆盘

上的四个数将分别正对着黑板上写数的位臵,将圆盘上的数加到黑板上对应位

臵的数上.问:经过若干次后,黑板上的四个数是否可能都是999?

分析:不可能.因为每次加上的数之和是 1+2+3+4=10,所以黑板上的四个

数之和永远是10的整数倍. 999×4=3996,不是10的倍数,所以黑板上的四个数不可都是999.

【例11】 有一位老人,他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说:―我已经写好了遗嘱,我把马留给你们,你们一定要按我的要求去分.‖老人去世后,三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着:―我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得111,次子得,给幼子.不许流血,不许杀马.你们必须239

遵从父亲的遗愿!‖请你帮助他们分分马吧!

分析:这三个兄弟迷惑不解,尽管他们在学校里学习成绩都不错,可是他们还是不会用17除以2、用17除以3、用17除以9,又不让马流血.于是他们就去请教当地一位公认的智者.这位智者看了遗嘱以后说:―我借给你们一匹马,去按你们父亲的遗愿分吧!‖老人原有17匹马,加上智者借给的一匹,一共18匹.于是三兄弟按照18匹马的111、和,分别得到了九匹、六匹和两匹.9+6+2=17239

(匹).还剩下一匹,是智者借给的那匹,还给智者.

1111【巩固】甲、乙、丙、丁分29头羊. 甲、乙、丙、丁分别得,,,,应如何分? 25610

分析:借一头羊,甲、乙、丙、丁依次分得15,6,5,3头羊,再将借得1头羊还回去.

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【例12】 8个金币中,有一个比真金币轻的假金币,你能用天平称两次就找出来吗(天平无砝码)?

分析:讲解此题前,教师可先问学生:―3个金币,有1个假的比较轻,你称1次能把它找出来么?‖ 将8个金币分成:3+3+2,3组,把3和3进行称量,如果重量相同,称剩下的2个金币即可找到假币;如果重量不同,将比较重的3个金币拿出,用天平称量2个,剩下1个,天平不平衡易得答案,若此时天平平衡则剩下的那个是假的.

【巩固】9个金币中,有一个比真金币轻的假金币,你能用天平称两次就找出来吗(天平无砝码)? 分析:第一次在左右两托盘各放臵3个:

(一)如果不平衡,那么较轻的一侧的3个中有一个是假的.从中任取两个分别放在两托盘内: ①如果不平衡,较低的一侧的那个是假的;

②如果平衡,剩下的一个是假的;

(二)如果平衡,剩下的三个中必有一个为假的.从中任取两个分别放在两托盘内:

①如果不平衡,较低的一侧的那个是假的;

②如果平衡,剩下的那个是假的.

这类称量找假币的问题,一定要会分类,并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态(轻,重,平),所以分成3堆是很常见的分法.

【例13】 据说有一天,韩信骑马走在路上,看见两个人正在路边为分油发愁.这两个人有一只容量10斤的篓子,里面装满了油;还有一只空的罐和一只空的葫芦,罐可装7斤油,葫芦可装3斤油.要把这10斤油平分,每人5斤. 但是谁也没有带秤,只能拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢?

分析:韩信给两人说了一句话:―葫芦归篓,篓归罐‖,两人按此分油,果然把油分成了两半.具体做法如下表:

韩信的话指明了倒油的方向,始终按从篓向罐中倒,从罐向葫芦中倒,从葫芦向篓中倒的方向操作.按照相反的方向倒,即―葫芦归罐,罐归篓‖怎样?我们试试.

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看来也行,只是多倒了一次.要注意的是:保持一定的方向很重要. 如果在倒油的过程中,出现从甲倒向乙,又从乙倒回甲(这两步不一定挨着),那么这两步相互抵消,肯定可以简化掉,所以最佳的倒油方法是始终按一个方向倒.

【前铺】大桶能装5千克油,小桶能装4千克油,你能用这两只桶量出6千克油吗?怎么量? 分析:先将5千克的桶倒满油;再用大桶将小桶倒满,大桶中还有5-4=1(千克)油;然后将小桶倒空,将大桶中1千克倒到小桶中;最后注满大桶,连小桶中共是5+1=6(千克).这道题要学会借助于大桶小桶容积的差量出想获得的中间量(1千克).

【巩固】有一个小朋友叫小满,他学会了韩信分油的方法,心里很是得意. 一天,他遇到了两位农妇. 两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子,还有一个5升和一个4升的小桶,她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2升奶.小满按照韩信分油的方法,略加变通,就将奶分好了!你说说具体的做法!

分析:答案如表所示

【附1】有大,中,小3个瓶子,最多分别可以装入水1000克,700克和300克.现在大瓶中装满水,希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线,问最少要倒几次水 分析:通过对三个数字的分析,我们发现700-300-300=100,是计算步数最少的得到100的方法.而由于我们每计算一步就相当于倒一次水,所以倒水最少的方案应该是:

1.大瓶往中瓶中倒满水.

2.中瓶往小瓶中倒满水,这时中瓶中还剩下400克水.

3.小瓶中水倒回大瓶.

4.中瓶再往小瓶中倒满水,这时中瓶中只剩下100克水,标记.

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5.小瓶中水倒回大瓶.

6.中瓶中100水倒入小瓶,标记.所以最少要倒6次水.

本题关键是,小瓶中的水每次都要倒掉,不然无法再往小瓶中倒水的.

【附2】只有5升和8升的容器,要怎样量出2升的水呢?

分析:将5升的容器装满水,倒在8升的容器中去,8升的容器中装入了5升的水,再一次将5升的容器装满水,倒在8升的容器里,这次8升的容器装不下5升的水了,只能装入3升的水。而5升的容器中就剩下2升的水了.

【附3】甲、乙分43头牛,甲得25,乙得,应如何分? 59

分析:借2头牛,甲得18头,乙得25头,再将借来的2头牛还回去.

种不同

5份.应该怎样分?

9个点的折

题中并没要求所有折线只能限定在这9个点的范围之内.我们把折线的范围

冲破本题9个点所限定的正方形,那么问题就容易解决了,如右图:

【附7】如下,图1的8×8方格中交替填满了0和1,图2是从图1中任意

位臵截取的、、三种图形,并对每种图形进行操作:

每个小方格同时加1或同时减l,如此反复多次,再将这三种图形不重叠地拼成的.问:图2中的A格中的数字应该是多少?

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分析:此题似乎脱离了染色问题,问的是数字,但注意到图1中0和1的

交替,想到将8×8方格自然染色(如右图),则黑格里全为1,白格里全为0.而

题中的三种图形,2×2方格必占2白2黑,2×3的方格必占3白3黑,黑

白格数都相同.再想到对它们的操作:每个小格同时加1或减1,因黑白

格数相等,那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差,三种图形拼出的图b中这个差也应该不变.于是对比图1和图2,

图1中:黑格数字和一白格数字和=32.

图2中:黑格数字和一白格数字和=(31+A)-32,即(3l+A)-32=32,得A=33.

【附8】你有四个装药丸的罐子,每个药丸都有一定的重量,被污染的药丸是没被污染的重量+1.只称量一次,如何判断哪个罐子的药被污染了?

分析:第一瓶拿一个药丸,第二瓶拿两个药丸,第三瓶拿三个,第四瓶拿四个,称一下比标准的10个药丸重多少,重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染.

1.如右图,在5×5方格的A格中有一只爬虫,它每次总是只朝上下左右四个方

向爬到相邻方格中.那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A格中?

分析:由小虫的爬法,仍可黑白相间对方格自然染色,于是小虫只能由黑格爬到

白格或由白格爬到黑格.所以,它由A出发回到A,即黑格爬到黑格,必须经

过偶数步.而小方格为5×5=25个,

每格爬过一次,就应该为25步,不是偶数.于是这只爬虫不可能

不重复地爬遍每格再回到4格.

2.一个正方形果园里种有48棵果树,加上右下角的一间小屋,整齐地排列成七

行七列(见右图).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复

也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋. 可以做到吗?

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分析:不可以.如右下图所示. 守园人只能黑白相间地走,走到的第奇数棵树是白的,第偶数棵树是黑的,走到第48棵树应是黑的,而黑树与小木屋不相邻,无法直接回到小木屋.

3. 右图是一个6×6的方格纸,这个方格纸的左上角和右下角各被剪去一个小

方格.能否用17个2×1的矩形恰好将它覆盖?

分析:不能.

1114. 19匹马,甲、乙、丙分别得,,,应如何分? 245

分析:借1匹马,甲、乙、丙分别得10,5,4.

5.如右图,缺两格的8×8方格有62个格,能否用31

且不留空隙?

分析:这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一.

用来覆盖,则用黑白相间染色,图不重复地盖住它可以发现它无论横放、竖放,必然盖住一白一黑.要不重复不留空白,那总

共能盖住的黑格数、白格数应该相等.但从染色后整个图看,黑格30个,白

格32个,故不可能将整个图不重不漏地盖住.

6.一个大桶装了12升水,另外有恰好能装8升和5升水的桶各一个.利用这

三个桶最少倒几次才能把这12升水平均分成两份?

分析:答案如表所示

77

第十一讲 数阵图与数字谜

【复习1】把1~5这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和

相等.

分析: (1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2,所以,每条直线上三

数之和=(15+重叠数)÷2.

因为每条直线上的三数之和是整数,所以―15+重叠数‖只能是偶数,重叠数只可能是1,3或5.

若―重叠数‖=1,则两条直线上三数之和为 (15+1)÷2=8。填法见下图(1);

若―重叠数‖=3,则两条直线上三数之和为 (15+3)÷2=9。填法见下图(2);

若―重叠数‖=5,则两条直线上三数之和为 (15+5)÷2=10。填法见下图(3)

.

【复习2】将1~7这七个数分别填入右图的○里,使得每条直线上三个数之和与

每个圆圈上的三个数之和都相等.

分析:所有的数都是重叠数,中心数重叠两次,其它数重叠一次. 所以三条边及

两个圆周上的所有数之和为:(1+2+…+7)×2+中心数=56+中心数.

因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等,所以这个和应该是5的倍数,再

由中心数在1至7之间,所以中心数是4. 每条边及每个圆周上的三数之和等于(56

+4)÷5=12.中心数是4,每边其余两数之和是12-4=8,两数之和是8的有1,7;2,6;3,5. 于是得到右下图的填法.

【复习3】在右图所示的竖式中,相同的汉字表示相同的数字,不同

的汉字表示不同的数字。如果:巧+解+数+字+谜=30,那么―数字谜‖

所代表的三位数是多少?

分析:还是先看个位,5个―谜‖相加的结果个位还是等于―谜‖,―谜‖

必定是5(0显然可以排除); 接着看十位,四个―字‖相加再加上进位2,结果尾数还是―字‖,那说明―字‖只能是6; 再看百位,三个―数‖相加再加上进位2,结果尾数还是―数‖,―数‖可能是4或9; 再看千位,

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(1)如果―数‖为4,两个―解‖相加再加上进位1,结果尾数还是―解‖,那说明―解‖只能是9;5+6+4+9=24,30-24=6,―巧‖等于6与―字‖等于6重复,不能;

(2)如果―数‖为9,两个―解‖相加再加上进位2,结果尾数还是―解‖,那说明―解‖只能是8;5+6+9+8=28,30-28=2,可以. 所以―数字谜‖代表的三位数是965.

数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵. 幻方是特殊的数阵图,一般地,将九个不同的数填在3×3(即三行三列)的方格中,使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等,这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n阶幻方的定义与三阶幻方相仿!

【例1】 (1)将九个数填入下图(1)的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k,则中心方格中的数必为k.请你说明理由! 3

(2)将九个数填入下图(2)的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有:e?a?b.请你说明理由! 2

a?b.请你说明理由!

2(3)将九个数填入下图(3)的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有:c?

分析:(1)因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k.

如右下图所示,经过中心方格的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于

k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是―重叠数‖,

九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次.所以有:九数之和+中心方格

中的数×3=4k,

k3k+中心方格中的数×3=4k,中心方格中的数= 3

(2)和=3e ,a+e+b=和=3e,所以a+b=2e,即得:e?a?b. 2

a?b. 2(3)设中心数为d. 每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d. 由此可得右图,那么有:c +(2d-b)= a +(2d-c),由此可得:c?

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值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数;可以相同,也可以不同.

【巩固】在右图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每

一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90.

分析:中心数为90÷3=30;右上角的数为(23+57)÷2=40,

其它数依次可填(见右下图).

【巩固】在下图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列

及每条对角线上的三个数之和都相等.

分析:右下角的数为(8+10)÷2=9,中心数为(5+9)÷2=7,且

每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图

的填法.

【巩固】图中3×3的正方形的每一个方格内的字母都代表一个数,已知其每行、

每列以及两条对角线上三个数之和都相等.若f=19,g=96.那么b是多少?

分析:我们知道:g=(b+f)÷2,易得b=173.

在右图的每个空格中,填入不大于12且互不相同的八个自然数,使得每行、

每列、每条对角线上的三个数之和都等于21 .

分析:中央一数必定是21÷3=7.从而一条对角线为8,7,6.另两个角上的数,

和为14=2+12=3+11=4+10=5+9,不难验证只有3、11与4、10两种符合要

求.于是填法有:

【巩固】在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中

已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.

分析:

80

【例2】 将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方.

分析:(法1):易得中心数为9,然后将剩余那么其余8个数分为4组,每组两个

数的和是18,把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内,实验可得结果,如

右图. 答案不唯一,仅供参考.

(法2):其实会学习的小朋友就知道理利用已经学习过的一些典型题目结果加以

变形得到新题答案.事实上我们可以把结果中的幻方看作是1~9填图的幻方相应位臵数字乘2减1得来的.推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式.

【前铺】将自然数1至9,分别填在右图的方格中,使得每行、每列以及两条对角

线上的三个数之和都相等.

分析:(法1):三行的总和=1+2+3+4+…+9=45,所以每行三个数的和是45÷3=15,

所以E代表15÷3=5,由于在同一条直线的三个数之和是15,因此若某格中的数是奇数,那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.

因此,四个角上的数A、C、G、I必为偶数.(否则,若A为奇数,则I为奇数.此时若B为奇数,则其余所有格亦为奇数;若B为偶数,则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形,都与1至9中有5个奇数,4个偶数这一事实矛盾.)

因此,B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2(否则,可把3×3

方格绕中心块旋转即能做到这一点).此时I=8.此时有两种选择:C=4

或G=4.因而,G=6或C=6.其他格的数随之而定.如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话,一共只有两种不同的填数法:A=2,C=4或A=Z,G=4(2,4被确定位臵后,其他数的位臵随之而定).

(法2):从法1知道中心数为5,那么其余8个数分为4组,每组两个数的和是10,把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内,实验可得结果.这种试填的方法更易让学生接受.

【拓展】如图(1)的3×3的阵列中填入了l~9的自然数,构成大家熟知的3阶幻方.

现在另有一个3×3的阵列,如图(2),请选择9个不同自然数填人9个方格中,使得其

中最大者为20,最小者大于5,且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都

相等.

分析:①观察原表中的各数是从1~9不同的九个自然数,其中最大的数是9,

最小的数是1,且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.

②根据题意,要求新制的幻方最大数为20,而9+11=20,因此,如果原表

中的各数都增加11,就能符合新表中的条件了.

81

【例3】 右图是一个四阶幻方,请将其补全:

分析:根据各行,各列,各对角线和相等为34,可得图(1),此时我们可

以设未知数,如图(2),将一些数表示出来,进而根据和为34求得x代表

9,随后得到答案,如图(3)

.

【拓展】在图中所示方格表的每个方格内填入—个恰当的字母;可使每行、每

列及两条对角线上4个方格中字母都是A、B、C、D,那么标有―*‖的方格内

应填的字母是什么?

分析:考虑含A和*的对角线上的元素.第二行第二个元素与C同行,因此

不是C,第三行第三个元素与C同列,因此也不是C,所以*代表的元素必为C.

【巩固】在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的

四个数字都是1,2,3,4.

分析:如下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b处

填3;进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后

的数阵图.

【例4】 右图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志. 请将

1~9分别填入五个圆相互分割的九个部分,并且使每个圆环内的数字之和

都相等.

分析:设每个圆内的数字之和为k,则五个圆内的数字之和是5k,它等于1~9的和45,再加上两两重叠处的四个数之和. 而两两重叠处的四个数之和最小是1+2+3+4=10,最大是6+7+8+9=30,所以,5k≤45+30=75且5k≥45+10=55,即11≤k≤15 .

当k=11,13,14时可得四种填法(见下图),k=12,15时无解

.

82

【前铺】将1~11填入左下图的○内,使每条虚线上的三数之

和都等于18.

分析:设中心数为a,由五条虚线上的数字之和得到5×18=

(1+2+…+11)+4a,解得a=6. 填数方法如下图.

将1~7这七个自然数分别填入右图的七个○内,使得三个大圆周上的四个数之和

都等于定数,指出这个定数所有的可能取值,并给出定数为13时的一种填法.

分析:设每个大圆周上的四个数之和为k(即题中的定数). 图中有一个○属于三

个大圆公有,有三个○各属于两个大圆公有. 设属于三个大圆公有的○内的数为w,

属于两个大圆公有的三个○内的数字之和为v.

将三个大圆上的数字和相加,得到:3k=1+2+3+4+5+6+7+v+2w=28

+v+2w,因为v+2w最小为11(w=1,v=2+3+4),最大为29(w=7,

v=6+5+4),分别代入上式,解得13≤k≤19,即定数可以取13至19之间的

整数.本题是k=13的情况,此时w=1,v=2+3+4,填法见右下图.

【例5】 在右图所示立方体的八个顶点上标出1~9中的八个,使得每个面上四

个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除.

分析:标出的八个数是每面四个数和的2倍,是偶数,1~9和为45 ,因此未标

出的数是一个奇数,在1,3,5,7,9中选一个数,并使余下八个数之和的一半

不能被这个数整除,依此可知未标出的数是7.

下面用余下的8个数填图,每面四个数和为:(45-7)÷2=19.如果已知某一面

上四个数和为19.那么与其平行的面上四数和也必为19.因此我们只考虑有公共顶

点的三个面即可.下面我们考虑以9为公共顶点的三个面.由于8,9不公面,因此8

在顶点9的对顶点上,有公共点9的三个面上,每面其余三个数和为10,且每两个面有一个公共顶点.由此试验易得三个面上的数分别为:(6,3,1),(5,4,1),(3,2,5),填图如右下图.

83

数 字 谜

【例6】 将0~9中的8个不同的数字分别用a、b、c、d、e、f、g、h替换.在替换规则下:g×g=db,g×c=bd,g×f=ef,ag?b?eh,如上面4个式子中,―+‖、―×‖、―=与平常算术中相应的符号意义相同,而且也是十进位制.在这种替换规则下,ca?e的数值等于 .

分析:由g×g=db知,g≥4.

若g=4,d=1,与g×c=bd是偶数矛盾;

若g=5,则d=2,b=5,与g ≠b矛盾;

若g=6,则d=3,b=6,与g ≠b矛盾;

3若g=7,则d=4,b=9,由g×c=bd=94,得到c =4÷7=13也不合题意; 7

3若g=8,则d=6,b=4,由g×c=bd46,得到c=46÷8=5,仍不合题意; 4

若g=9,则d=8,b=1,由g×c=bd=18,得到c=18÷9=2,再由g× f=ef,f=5,e=4,再由ag?b?eh,得a=e-1=3.所以ca?e?23?4?92.

【例7】 在下面的加法算式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字.请把下面汉字算式翻译成数字算式.

分析:首先―华‖=1.由于―人‖≠―华‖,故―人‖只能是0.从百位看出. 百位没有向千位进位,即有―香‖=9. 看百位,知―回‖比―港‖大1;再看十位,可知―爱‖=8,并且个位要向十位进位,即―归‖+―港‖=10 +―游‖. 因为―游‖≠0,1,知―游‖≥2,即―归‖+―港‖≥12.又―归‖≠8,9,知―归‖≤7,从而―港‖≥5.同样,―归‖也不小于5,并且由于―回‖比 ―港‖大1,知―归‖、―港‖、―回‖应该是5,6,7(次序未确定).容易验证,只有―归‖=7,―港‖=5,―回‖=6符合条件,此时―游‖=2,即算式为 :9567+1085=10652 .

【巩固】在下面的算式中,汉字―第、十、一、届、华、杯、赛‖代表1,2,3,

4,5,6,7,8,9中的7个数字,不同的汉字代表不同的数字,恰使得加法算

式成立.则―第、十、一、届、华、杯、赛‖所代表的7个数字的和等于多少?

84

分析:根据加法规则,―第‖=1.―届‖+―赛‖=6或―届‖+―赛‖=16.

若―届‖+―赛‖=6,只能是―届‖、―赛‖分别等于2或4,此时―一‖+―杯‖=10 只能是―一‖、―杯‖分别为3或7.此时―十‖+―华‖=9,―十‖、―华‘‘分别只能取 (1,8),(2,7),(3,6),(4,5).但l,2,3,4均已被取用,不能再取.所以,―届‖+ ―赛‖=6填不出来,只能是―届‖+―赛‖=16.这时―届‖、―赛‖只能分别取9和7.这 时只能是―一‖+―杯‖+1=10,且―十‖+―华‖+1=10,也就是―一‖+―杯‖=9, 同时―十‖+―华‖=9.所以它们可以分别在(3,6),(4,5)两组中取值.

因此―第、十、一、届、华、杯、赛‖所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35.

【例8】 在右面的□内,各填一个合适的数字,使算式成立.

分析:从被乘数个位上的□里填什么数字入手及竖式中□×6=( )4,是本题的

突破口.这里有两种情况:4×6=24或9×6=54,都可使□×6=( )4成立.也就

是说,被乘数个位上的数字可能是4,也可能是9.

先考虑被乘数个位上的数字是9的可能性,因为在乘数十位上找不出任何数

字与9相乘得―整十数‖,所以被乘数个位上的数字不可能是9.

如果被乘数个位上的数字是4,很容易推出乘数十位上的数字应是5,才能与

4相乘得―整十数‖.

由被乘数乘以乘数十位上的5得270,也很容易推出被乘数十位上的数字是5,进而可推出其它各数字.

【巩固】在□内填入适当的数字,使下列乘法竖式成立:

分析:(1)17×64=1088;(2)5283×39=206037;

(3) 734×619=454346, 被乘数是6606和4404的三位数的公约数.

【例9】 □内填入适当的数字,使下列竖式成立,并使商尽可能小:

85

分析:由右式知d=8,所以c=3或8.当a=2时,由bc×a=□5□,推出c不等于3,所以c=8,故推出b=7;因为除数是两位数,它与商的各个数位的乘积都是三位数,所以商的最小可能值为262。

【巩固】右式中不同的汉字代表1~9中不同的数字,当算式成立时,―中国‖

这两个汉字所代表的两位数最大是多少?

分析:显然,―新‖=9.因为要使―中国‖尽量大,所以可以假定―中‖=8.因为

十位加法(含个位加法进位)等于20,所以―北+奥‖在1~7中的取值有三种可

能:7,5;7,4;6,5.再考虑到―国+京+运‖的个位数是8,经试算,只有―北‖、 ―奥‖等于7,5,―国‖、―京‖、―运‖等于1,3,4.―国‖取l,3,4中最大的4,得到―中国‖最大是84.

【附1】求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方. 分析:在3×3的方格中,如果要求填入九个互不相同的质数,要求任一行、任一列

以及两条对角线上的三个数之和都相等,那么这样填好的图称为三阶质数幻方.中间

方格中的数为267÷3=89. 由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中,

每组的三个数中都有89,所以每组的其余两数之和必为267-89=178. 两个质数之和为178的共有六组:5+173=11+167=29+149=41+137=47+131=71+107.

经试验,可得右图所示的三阶质数幻方.

【附2】将自然数1~11填入下图的11个○中,使得每条直线(共10条)上的三个数字之和都相等.

分析:左下角的数属于5条直线共有,对角线上中间的数属于4条直线共有,其余数只属于2条或3条直线,所以左下角的数和对角线上中间的数处于特殊地位,应当首先确定这两个数以及每条直线上三数之和.

设每条直线上三数之和为

k.

86

由图(1)中5条实线上所有数字之和,可列方程:5k=(1+2+…+11)+4a ,即 k?

因为k是整数,所以a只能取1,6或11;

再由图(2)中四条实线上所有数字之和,可列方程:4k=(1+2=…+11)+a , 即 k?

到a只能取2,6或10. 综合以上讨论知a=6,k=18. 66?4a; 566?a. 得4

在图(3)中的5条实线中,只有b属于3条实线共有. 注意到这5条实线上的数字没有6,在剩下的十个数字中,三个数的和等于18的共有以下

八组:3+4+11;1+8+9;1+7+10;3+5+10;2

+7+9;2+5+11;3+7+8;4+5+9,其中同时出

现在三个算式中的数只有3和9,所以b只可能是3

或9,此时c等于9或3. 由同时含有3的三个算式知,

若b=3,c=9,则d,e只能取4,11或5,10或7, 8,由于每条直线上的三个数之和为18,且c=9,故d,e不能等于10或11,所以d,e只能取7,8. 由此可得左下图中的答案.

同理,若b=9,c=3,则可得右下图的另一答案..

【附3】右图中大三角形被分成九个小三角形,大三角形的每条边都与其中

五个小三角形有公共点,试将1~9九个自然数分别填入这九个小三角形内,

使得每条边上的五个小三角形内的数字之和都相等.问这个和最小值是多

少?最大值是多少?

分析:1~9和为45.设3个只属于一条边的数的和为k,

1则每条边上五个数和为:(45×2-k)÷3=30-k. 3

1K最小时,取k=1+2+3=6,一边上的和为:30-×6=28; 3

1K最大时,取k=7+8+9=24,一边上的和为:30-×24=22,因此这个和最大为28,最小为22. 3

【附4】在1~13这十三个自然数中选十二个填在图中的空格内,使每横行四

数之和相等,每数列三数之和相等.

分析:由和的整除性质,首先确定使用哪十二个数填图.由于每横行四数之和

相等.每竖行三数之和相等知十二个数之和既是3的倍数也是4的倍数,

因此

87

是12的倍数,由此可知不用填图的数字是7,所选十二个数和为:[(1+13)×1 3÷2]-7=84,每横行四个数和为:84÷3=28,每竖行三个数和为:84÷4=21.由于竖行和为21,因此可知1,2,3,4在不同竖行,而5只能跟3或4在同一竖行,由此可确定竖行分组有如下两种情况:(1,8,12),(2,9,

10),(3,5,13),(4,6,11)或(1,9,11),(2,6,13),(3,8,10),(4,5,12).再根据横行和为28,易得如下结果:

【附5】右面算式(1)中,相同的汉字表示相同的数,不同的汉字表示不同的数,

其中―新‖>4.清补残缺的数字,那么―新年好‖代表的数字是 .

分析:―新年好‖代表的数字是691.如右下式,―新‖

一定小于7,否则A是2大了,是l又小了.不论 ―新‖,是5或6,由于乘法第

一行首位是―新‖,一定有B=9.如果―新‖=5,第二行百位是4,A无合适的值,

因此―新‖=6,而A=2.―年‖≥7,对7,8,9三数算一下可知,只有―年‖=9合适,

如式(3)所示.

【附6】右面式中每个口表示一个数字,那么乘积是 .

分析:如右下式,显然E=1.由6AB×C=口5口5知,B、C中一个是5,

另一个是奇数.若C=5,乘积的百位不可能是5,所以B=5. 因为B=5,

所以G=5或0.若G=5,则F=9,从而A=9,即 6AB=695,但695×C不

可能得到口5口5,不合题意;若G=0,则F=4,从而A=4,即6AB=645,

由645×C=口5口5,得到C=7.因为B=5,G=0,所以D是偶数. 由6AB?7D1?645?7D1?□□5□4□,得D=2,

原算式为645×721=465045.

1.在左下图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每

条对角线上的三个数之和都相等. 分析:利用e?

到答案.

2.用2,4,6,12,14,16,22,24,26九个偶数编制一个幻方.

分析:答案如右图

.

88 a?b结论可以知道,中间数=6,和=18,进而得2

3.在下列各图的每个方格中都填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的四个数字都是1,2,3,4.

分析:

4.下面是三个数的加法算式,每个口内有一个数字,则三个加数中最大的

是 .

分析:由和的个位数字是1知,第二个加数的个位数字是9;由和的十位数字

是1知,三个加数的十位数字的和是10,百位数字的和也是10,于是知道第

二个加数的百位数字是8,即三个加数中最大的是819.

5.右面式中不同的汉字代表不同的数字,问:―数学好玩‖表示的四

位数是多少?

分析:由积的千位数知―数‖=1,由积的十位数知―学‖=0,由积的百位数知

―玩‖=9.竖式化简为下式.

容易求得:―真‖=2,―好‖=8,―啊‖=6.所以,―数学好玩‖=1089.

第十二讲 排列组合

对于加乘原理我们只需要记住:加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关!

排列组合的应用具有一定难度.突破难点的关键:首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理;即排列组合的基石.其次注意两点:

①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题?若能,再判断是属于排列问题还是组合问题?②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.可利用图示法,可使问题简化便于正确理解与把握.本讲主要巩固加强此部分知识,注重排列组合的综合应用.

89

排 列:在实际生活中常遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法.就是排列问题.在排的过程中,不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.一般地,从n个不同的元素中任取出m个(m≤n)元素,按照一定的顺序排成一列.叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

由排列的定义可以看出,两个排列相同,不仅要求这两个排列中的元素完全相同,而且各元素的先后顺序也一样.如果两个排列的元素不完全相同.或者各元素的排列顺序不完全一样,则这就是两个不同的排列.

从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m

mpn个元素的排列数,我们把它记做

Pnn?n!?n?(n?1)?..?.. (m≤n),mpn?n(n?1)(n?2)..(n?m1)????????????共m个数.其中

【例1】 4名男生和2名女生去照相,要求两各女生必须紧挨着站在正中间,有几种排法? 分析:分两步进行,先安排两个女生有P22种方法,4个男生站的位臵有P44种方法,共有

P22?P44=2×1×4×3×2×1=48(种),故有48种排法.

【巩固】停车站划出一排12个停车位臵,今有8辆不同的车需要停放,若要求剩余的4个空车位连在一起,一共有多少种不同的停车方案?

P99?362880分析:把4个空车位看成一个整体,(4个空车位看成一样的)与8辆车一块儿进行排列..

【前铺】讲解此部分例题之前,请根据本班情况,将排列公式的计算练习一下!

3253计算:(1)P14?P14 ; (2)3P6?P3

32分析:(1)P13×12-14×13=2002 ; 14?P14=14×

(2)3P65?P33=3×(6×5×4×3×2)-3×2×1=2154 .

【例2】 书架上有4本不同的漫画书,5本不同的童话书,3本不同的故事书,全部竖起排成一排,如果同类型的书不要分开,一共有多少种排法?如果同类书可以分开,一共有多少种排法?(只写出表达式,不用计算)

分析:每种书内部任意排序,分别有P44,P55,P33种排法,然后再排三种类型的顺序,有P33种排 90

法,整个过程分4步完成.P44×P55×P33×P33=103680(种).如果同类书可以分开,就相当于4+5+3=12

12本书随意排,有P12种排法.

【例3】 用0,1,2,3,4可以组成多少个没重复数字的三位数?

分析:(法1)在本题中要注意的是0不能为首位数字,因此,百位上的数字只能从1,2,3,4这四个数字中选择1个,有4种方法;十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列,有P42种方法.由分步计数原理得,三位数的个数是:4×P42=48(个).

(法2):从0,1,2,3,4中任选三个数字进行排列,再减去其中不合要求的,即首位是0.从0,1,2,3,4这五个数字中任选三个数字的排列数为P53,其中首位是0的三位数有P42个.三位数的

个数是:P53-P42=5×4×3-4×3=60-12=48(个).

不是简单的全排列,有一些其它的限制,这样要么全排列再剔出不合题意的情况,要么直接在排列的时候考虑这些限制因素.

【前铺】(1)用1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的三位数?

(2)用1,2,3,4,5可以组成多少个三位数?

分析:(1)要组成三位数,自然与三个数字的排列顺序有关,所以这是一个从五个元素中取出三个进行排列的问题,可以组成P53=5×4×3=60种没有重复数字的三位数.

P53(2)没有要求数字不能重复,所以不能直接用

(个).

注意―重复‖和―没有重复‖的区别! 来计算,分步考虑,用乘法原理可得:5×5×5=125

【巩固】用数码0,1,2,3,4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数?

分析:小于1000的自然数包括一位数、两位数、三位数,可以分类计算.注意―0‖是自然数,且不能作两位数、三位数的首项.5?P41?P41?P41?P42?69(个).很自然的知道需要根据位数分类考虑,而且首位非零的限制也需要考虑.

【例4】 由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会,要求任意两个合唱节目不相邻,开始和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排方法共有多少种?

分析:先排独唱节目,四个节目随意排,有

有三个节目,两个位臵,对应P32P44=24种排法;其次在独唱节目的首尾排合唱节目,=6种排法;再在独唱节目之问的3个位臵中排一个合唱节目,有3种排法,由乘法原理,一共有24×6×3=432种不同的编排方法.

91

【例5】 小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?

(1)七个人排成一排;

(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.

(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间. (4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边. (5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上. (6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.

(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排. 分析:(1)P77?5040(种).

(2)只需排其余6个人站剩下的6个位臵.P66?720(种).

(3)先确定中间的位臵站谁,冉排剩下的6个位臵.2×P66=1440(种).

(4)先排两边,再排剩下的5个位臵,其中两边的小新和阿呆还可以互换位臵.2?P55?240 (种). (5)先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人,再排剩下的5个人,P52?P55?2400(种). (6)七个人排成一排时,7个位臵就是各不相同的.现在排成两排,不管前后排各有几个人,7个位臵还是各不相同的,所以本题实质就是7个元素的全排列.P77?5040(种).

(7)可以分为两类情况:―小新在前,阿呆在后‖和―小新在前,阿呆在后‖,两种情况是对等的,所以只要求出其中一种的排法数,再乘以2即可.4×3×P55×2=2880(种).排队问题,一般先考虑特殊情况再去全排列.

【例6】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非0数码组成,且四个数码之

和是9.为确保打开保险柜,至少要试多少次?

分析:四个数字之和为9的情况有:l+1+1+6=9;1+1+2+5=9;1+1+3+4=9;1+2+2+4=9;1+2+3+3=9;2+2+2+3=9,分别计算这6种情况.对于―l+1+1+6‖这种情况,我们只需考虑6,其它1放那都一样;

P41?P42?P42?P42?P42?P41?56(次) 对于―1+1+2+5‖这种情况,只需考虑2和5,其它同理,可得答案:

【巩固】有3所学校共订300份中国少年报,每所学校订了至少98份,至多102份.问:一共有多少种不同的订法?

分析:可以分三种情况来考虑:

(1)3所学校订的报纸数量互不相同,有98,100,102;99,100,101两种组合,每种组各有

92

P33

=6

种不同的排列,此时有6×2=12种订法.

(2)3所学校订的报纸数量有2所相同,有98,101,101;99,99,102两种组合,每种组各有3种不同的排列,此时有3×2=6种订法.

(3)3所学校订的报纸数量都相同,只有100,100,100一种订法.

由加法原理,不同的订法一共有12+6+l=19种.

组 合 :一般地,从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出,两个组合是否相同,只与这两个组合中的元素有关,而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时,它们才是不同的组合.

从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m

m个数???????????n?(n?1)?...?(n?m?1)m个不同元素的组合数.记作Cn这就是组合数公式. ?m!

【例7】 以右图中的8个点中的3个为顶点,共可以画出多少个不

同的三角形?

分析:从8个点中选3个点,一共有56种不同的选法.但是因为在

一条直线上的3个点不能组成三角形,所以应去掉两条直线上不合

要求的选法.5个点选3个的选法有10种.4个点选3个的选法有4

种.所以一共可以画出56-(10+4)=42不同的三角形.

【前铺】右图共有11条射线,那么图中有多少个锐角?

分析:如图,最大的为锐角,它内部的各个角一定也是锐角,图中共有11

条射线,任取两条作为角的两边便可确定一个锐角.因为角的两边不存在顺

2序关系,所以应该用组合.C11=55.

几何题中的数个数问题往往可以采用这样的组合方法来解题.

【前铺】讲解例题之前请根据本班情况先将组合公式计算练习一下!

21352,C54,C5,C7,C7计算:(1)C6 ,(2)C7

6?55?4?3?251?15,C54??5,C5??5 ; 2?14?3?2?11

7?6?57?6?5?4?37?6?5?4?3355(2)C7??35 ,C7??21 ,C7??21 3?2?15?4?3?2?15?4?3?2?12分析:(1)C6?

mn?m?

Cn注意:从上发现规律Cn.

93

【巩固】从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘,可以得到多少个不同的乘积?

分析:由于3,5,7,11都是质数,因此所得乘积各不相同,因此只要求出不同的质数对的个数就可以了.C42=6.

【巩固】一个口袋中有4个球,另一个口袋中有6个球,这些球颜色各不相同.从两个口袋中各取2个球,共有多少种不同结果?

22?C6?6?15?90(种). 分析:分步考虑,C4

【例8】 有13个队参加篮球比赛,比赛分两个组,第一组七个队,第二组六个队,各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军.问:共需比赛多少场?

分析:分三部分考虑,第一组预赛、第二组顶赛和最后的决赛.第一组要赛:

要赛:C62C72=21(场),第二组=15(场),决赛阶段要赛:C42=6(场),总场数:21+15+6=42(场).

【拓展】一个盒子装有10个编号依次为1,2,3,…,10的球,从中摸出6个球,使它们的编号之和为奇数,则不同的摸法种数是多少?

分析:10个编号中5奇5偶,要使6个球的编号之和为奇数,有以下三种情形:

(1)5奇1偶,对奇数只有1种选择,对偶数有5种选择.由乘法原理,有1×5=5种选择;

(2)3奇3偶,对奇数有C53=10种选择,对偶数也有C53=10种选择.由乘法原理,有10×10=100种

选择;

(3)1奇5偶,对奇数有5种选择,对偶数只有1种选择.由乘法原理,有5×1=5种选择. 由加法原理,不同的摸法有:5+100+5=110种.

【例9】 某年级6个班的数学课,分配给甲、乙、丙三名数学老师任教,每人教两个班,分派的方法有多少种?

分析:分三步进行:第一步,取两个班分配给甲,与先后顺序无关,是组合问题,有15种选法;第二步,从余下的4个班中选取两个班给6种选法;第三步,剩余的两个班给丙,有1种选法.根据乘法原理,一共有15×6×l=90种不同的分配方法.

【拓展】从8名候选人中选出正、副班长各1人,再选出3名班委会成员.一共有多少种不同的选法?

3分析:先选正、副班长,分别有8种和7种选法.再从剩下的6人中选出3人,有C6=20种选法.由

乘法原理,共有8×7×20=1120种不同的选法.

94

【例10】 工厂从100件产中任意抽出三件进行检查,问:

(1)一共有多少种不同的抽法?

(2)如果100件产品有2件次品,抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种? (3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种? 、

分析:从100件产品中抽出3件检查,与抽出3件产品的顺序无关,是一个组合问题.

3

(1)不同的抽法数就是从100个元素中取3个元素的组合数.C100=161700(种).

1(2)可分两步考虑,第一步:从2件次品中抽出一件次品的抽法有C2种;第二步:从98件合格品中212

?C98?9506. 抽出2件合格品的抽法有C98种.再用分步计数原理求出总的抽法数,C2

3

(3)可以从反面考虑,从抽法总数C100中减去抽出的三件都是合格品的情况,便得到抽出的三件产品33

?C98?161700?152096?9604. 中至少有一件是次品的抽法总数.C100

【例11】 从10名男生,8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下,分别有多少种选法?

(1) 恰有3名女生入选; (2) 至少有两名女生入选;

(3) 某两名女生,某两名男生必须入选; (4) 某两名女生,某两名男生不能同时入选; (5) 某两名女生,某两名男生最多入选两人.

35

?C10?14112; 分析:(1)恰有3名女生入选,说明男生有5人入选,应为:C8

(2)要求至少两名女生人选,那么―只有一名女生入选‖和―没有女生入选‖都不符合要求.运用包

8871

?C10?C10?C8?42753. 含与排除的方法,从所有可能的选法中减去不符合要求的情况:C18

4

?1001. (3)4人必须入选,则从剩下的14人中再选出另外4人. C14

8484

(4)从所有的选法C18中减去这4个人同时入选的C14种可能:C18-C14=42757.

(5)分三类情况:4人无人入选,4人仅有1人入选,4人中有2人入选,共:

81726C14?C4?C14?C4?C14=34749.

95

【例12】 用2个1,2个2,2个3可以组成多少个互不相同的六位数?用2个0,2个1,2个2可以组成多少个互不相同的六位数?

分析:先考虑在6个数位上选2个数位放1,这两个1的顺序无所谓,故是组合问题有C62=15种选

法;再从剩下的4个数位上选2个放2,有C42=6种选法;剩下的2个数位放3,只有1种选法.由

乘法原理,这样的六位数有15×6×l=90个.

在前一问的情况下组成的90个六位数中,首位是1、2、3的各30个.如果将3全部换成0,这30个首位是0的数将不是六位数,所以可以组成互不相同的六位数90—30=60个.

【例13】 从1,3,5,7,9中任取三个数字,从2,4,6,8中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,一共可以组成多少个数?

分析:整个过程可以分三步完成:

第一步,从1,3,5,7,9中任取三个数字,这是一个组合问题,有C53种方法;

第二步,从2,4,6,8中任取两个数字,也是一个组合问题,有C42种方法;

第三步,用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数,有P55种方法.

再由分步计数原理求总的个数:C53×C42×P55=7200(个).

【附1】小明的书架上原来有6本书,不重新排列,再放上3本书,可以有多少种不同的放法?

分析:放第一本书时,有原来的6本书之间和两端的书的外侧共7个位臵可以选择;放第二本书时,有已有的7本书之间和两端的书的外侧共8个位臵可以选择.同样道理,放第三本书时,有9个位臵可以选择.由乘法原理,一共可以有7×8×9=504种不同的放法.

【附2】一栋12层楼房备有电梯,第二层至第六层电梯不停.在一楼有3人进了电梯,其中至少有一个要上12楼,则他们到各层的可能情况共有多少种?

分析:每个人都可以在第7层至第12层中任何一层下,有6种情况,那么三个人一共有6×6×6=216种情况,其中,都不到12楼的情况有5×5×5=125种.因此,至少有一人要上12楼的情况有216-125=91种.

【附3】某校组织进行的一次知识竞赛共有三道题,每道题满分为7分,给分时只能给出自然数l,2,3,…,7分.已知参加竞赛者每人三道题的得分的乘积都是36,而且任意二人各题得分不完全相同,那么请问参加竞赛的最多有多少人?

分析:将36分解为不大于7的三个数的乘积,有1×6×6;3×3×4;2×3×6三种情况.考虑到因数的 96

先后顺序,第一种情况,考虑1有三个位臵可选择,其余位臵放6,有3种顺序;第二种情况与第一种情况相似,有3种顺序;最后一种情况,有3×2×l=6种顺序.由加法原理,一共有12种顺序,所以参赛的最多有12人.

【附4】某市的电视台有八个节目准备分两天播出,每天播出四个,其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出一场,体育比赛必须在第二天播出,那么一共有多少种不同的播放节目方案?

分析:某动画片和某新闻播报在第一天播放,对于动画片而言,可以选择当天四个节目时段的任何一个时段,一共有4种选择,对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段,一共有3种选择,体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个,一共有4种选择.剩下的5个节目随意安排顺序,有

目方案.

【附5】某旅社有导游9人,其中3人只会英语,2人只会日语,其余4个既会英语又会日语.现要从中选6人,其中3人做英语导游,另外3人做日语导游.则不同的选择方法有多少种?

分析:此题若从―多面手‖出发来做,不太简便,由于只会日语的人较少,所以针对只会日语的人讨论,分三类:

(1)只会日语的2人都出场,则还需1个多面手做日语导游,有4种选择.从剩下的只会英语的人

3和多面手共6人中选3人做英语导游,有C6=20种,由乘法原理,有4×20=80种选择. P55=120种选择.由乘法原理,一共有4×3×4×120=5760种不同的播放节

(2)只会日语的2人中有1人出场,有2种选择.还需从多面手中选2人做日语导游,有C42=6种选择.

剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做英语导游,有C53=10种选择.由乘法原理,有

2×6×10=120种选择.

3(3)只会日语的人不出场,需从多面手中选3人做日语导游,有C4=4种选择.剩下的只会英语的人

3和多面手共4人中选3人做英语导游,有C4=4种选择.由乘法原理,有4×4=16种选择.

根据加法原理,不同的选择方法一共有80+120+16=216种.

【附6】五个瓶子都贴了标签,其中恰好贴错了三个,贴错的可能情况共有多少个?

分析:首先考虑哪三个瓶子贴错了,有C53种可能,3个瓶子贴错后互相贴错标签又分成两种不同

情况.所以共有C53×2=20(种).此题容易出错的是三个出错的瓶子确定后,他们之间错误的可能情

97

况数目,有的同学很容易忽略这一环节,而有的会不假思索的把它当作一个全排列,这都是不正确的.

【附7】马路上有编号为1,2,3,…,l0的十只路灯,为节约用电又能看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但又不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法有多少种?

分析:l0只灯关掉3只,实际上还亮7只灯,而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯,此题可以转

3化为在7只亮着的路灯之问的六个空档中插入三只熄灭的灯,有C6=20种插法.

1.给出1,2,3,4四个数字,试求:(1)可组成多少个数字不重复的四位数?

(2)可组成多少个数字不重复的自然数?

(3)可组成多少个不超过四位的自然数?

分析:(1)P44=4×3×2×1=24个数字不重复的四位数.

(2)利用1,2,3,4可组成数字不重复的一位、两位、三位、四位自然数,

分类考虑:P41?P42?P43?P44=64个.

(3)此题数位上的数字允许重复,利用1,2,3,4可组成一位、两位、三位、四位自然数.进一步考虑,一位数有4个,两位数有4×4=16个,三位数有4×4×4=64个,四位数有4×4×4×4=256个.故共有4+16+64+256=340个.

2.由四个不同的非0数字组成的所有四位数中,数字和等于12的共有多少个?

分析:四个数字都不同而数字和为12的数字有1,2,3,6和1,2,4,5两种情况,对于每种情况,可以组成P44=24个不同的四位数.对于所以,共可以组成24+24=48个不同的四位数.

3.桌子上有3张红卡片,2张黄卡片,和1张蓝卡片,如果将它们横着排成一排,同种颜色的卡片不分开,一共有多少种排法?

13?P分析:P33?P22?P13=72种.

4.在1~100中任意取出两个不同的数相加,其和是偶数的共有多少种不同的取法?

分析:两个数的和是偶数,这两个数必然同是奇数或同是偶数,而取出的两个数与顺序无关,所以

22是组合问题;从50个偶数中取出2个,有C50=1225种取法;从50个奇数中取出2个,也有C50=l225

种取法.根据加法原理,一共有1225+1225=2450种不同的取法.

98

5.在一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.

(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?

(2)从口袋取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?

(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?

分析:(1)从口袋内的8个球中取出3个球,与顺序无关,是组合问题,其取法种数是56种.

(2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个,其取法种数是21种.

(3)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,其取法种数是35种.

6.在6名女同学,5名男同学中选出4名女同学,3名男同学站成一排,有多少种排法?

3?P77 =756000(种). 分析:男女同学分别考虑,再整体排列.C64?C5

第十三讲 逻辑推理

【例1】 小王、小张和小李一位是工人,一位是农民,一位是教师,现在只知道:小李比教师年龄大;小王与农民不同岁;农民比小张年龄小. 问:谁是工人?谁是农民?谁是教师?

分析:这道题目并不难,聪明的小朋友思考一下就能得到答案,但是今天我们通过这道题目一起来学习一个十分有用的方法:列表分析法. 由题目条件可以知道:小李不是教师,小王不是农民,小张不是农民.由此得到左下表。表格中打―√‖表示肯定,打―×‖表示否定

.

因为左上表中,任一行、任一列只能有一个―√‖,其余是―×‖,所以小李是农民,于是得到右上表.

因为农民小李比小张年龄小,又小李比教师年龄大,所以小张比教师年龄大,即小张不是教师。因此得到左下表,从而得到右下表,即小张是工人,小李是农民,小王是教师

.

例题中采用列表法,使得各种关系更明确. 为了讲解清楚,例题中画了几个表,实际解题时, 99

不用画这么多表,只在一个表中先后画出各种关系即可.

需要注意的是:

① 第一步应将题目条件给出的关系画在表上,然后再依次将分析推理出的关系画在表上; ② 每行每列只能有一个―√‖,如果出现了一个―√‖,它所在的行和列的其余格中都应画―×‖.

【巩固】小王、小张和小李原来是邻居,后来当了医生、教师和战士。只知道:小李比战士年纪大,小王和教师不同岁,教师比小张年龄小。请同学们想一想:谁是医生,谁是教师,谁是战士? 分析:小李是教师,小王是战士,小张是医生。

【例2】 甲、乙、丙每人有两个外号,人们有时以―数学博士‖、―短跑健将‖、―跳高冠军‖、―小画家‖、―大作家‖和―歌唱家‖称呼他们。此外:

(1)数学博士夸跳高冠军跳得高;

(2)跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影;

(3)短跑健将请小画家画贺年卡;

(4)数学博士和小画家很要好;

(5)乙向大作家借过书;

(6)丙下象棋常赢乙和小画家。

你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗?

分析:由(2)知,甲不是跳高冠军和大作家;由(5)知,乙不是大作家;由(6)知,丙、乙都不是小画家。由此可得到下表:

因为甲是小画家,所以由(3)(4)知甲不是短跑健将和数学博士,推知甲是歌唱家。因为丙是大作家,所以由(2)知丙不是跳高冠军,推知乙是跳高冠军。因为乙是跳高冠军,所以由(1)知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表,便得到下表:

所以,甲是小画家和歌唱家,乙是短跑健将和跳高冠军,丙是数学博士和大作家。

【巩固】李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画 100

六门课的教学,每人教两门。现知道:

(1)顾锋最年轻;

(2)李波喜欢与体育老师、数学老师交谈;

(3)体育老师和图画老师都比政治老师年龄大;

(4)顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳;

(5)刘英与语文老师是邻居。

问:各人分别教哪两门课程?

分析:李波教语文、图画,顾锋教数学、政治,刘英教音乐、体育。由(1)(3)(4)推知顾锋教数学和政治;由(2)推知刘英教体育;由(3)(5)推知李波教图画、语文。

【例3】 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项,并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道:

(1)小明不在一小;

(2)小芳不在二小;

(3)爱好乒乓球的不在三小;

(4)爱好游泳的在一小;

(5)爱好游泳的不是小芳。

问:三人上各爱好什么运动?各上哪所小学?

分析:这道题比上例复杂,因为要判断人、学校和爱好三个内容。先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示:

因为各表中,每行每列只能有一个―√‖,所以表3可补全为表4。

由表4、表2知道,爱好游泳的在一小,小芳不爱游泳,所以小芳不在一小。于是可将表1补 101

全为表5。对照表5和表4,得到:小明在二小上学,爱好打乒乓球;小芳在三小上学,爱好打羽毛球;小花在一小上学,爱好游泳。

【前铺】甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文,乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问:甲、乙、丙分别是哪国的小朋友?

分析:甲是日本人,乙是中国人,丙是英国人。

【巩固】甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部,一个是大队长,一个是中队长,一个是小队长。一次数学测验,这三个人的成绩是:

(1)丙比大队长的成绩好。

(2)甲和中队长的成绩不相同。

(3)中队长比乙的成绩差。

请你根据这三个人的成绩,判断一下,谁是大队长呢?

分析:根据条件(2)和(3),甲和中队长的成绩不相同,中队长比乙的成绩差。,可以断定,甲不是中队长,乙也不是中队长,只有丙当中队长了。甲和乙两人谁是大队长呢?由(1)和(3),丙比大队长的成绩好,中队长比乙的成绩差,可以推断出按成绩高低排列的话,乙的成绩比中队长(丙)的成绩好,丙的成绩比大队长的成绩好。这样,乙、丙就都不是大队长,那么,大队长肯定是甲。

【例4】 张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作,他们的职业是工人、农民和教师,已知:(1)张明不在北京工作,席辉不在上海工作;

(2)在北京工作的不是教师;

(3)在上海工作的是工人;

(4)席辉不是农民。

问:这三人各住哪里?各是什么职业?

分析:这道题的关系要复杂一些,要求我们通过推理,弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系。三者的关系需要两两构造三个表,即人物与地点,人物与职业,地点与职业三个表。

我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示,由条件(1)得到表1,由条件(4)得到表2,由条件(2)(3)得到表3。

因为各表中,每行每列只能有一个―√‖,所以表(3)可填全为表(4)。

102

因为席辉不在上海工作,在上海工作的是工人,所以席辉不是工人,他又不是农民,所以席辉是教师。再由表4知,教师住在天津,即席辉住在天津。至此,表1可填全为表5。

对照表5和表4,得到:张明住在上海是工人,席辉住在天津是教师,李刚住在北京是农民。

【例5】 甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察。已知:(1)教师不知道甲的职业(2)医生曾给乙治过病(3)律师是丙的法律顾问(经常见面)(4)丁不是律师(5)乙和丙从未见过面。那么甲、乙、丙的职业依次是:______________.

分析:律师、教师、警察。由(3)可以知道丙不是律师,但是他见过律师,再由(5)知乙不是律师,又由(4)可知甲是律师。于是由(1)和(3)知丙不是教师,由(2)和(5)知丙不是医生,从而丙是警察。再由(2)知乙是教师,丁是医生

列表法,直观明了,不会犯错误:

【巩固】徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工,他们都是象棋迷。

(1)电工只和车工下棋;

(2)王、陈两位师傅经常与木工下棋;

(3)徐师傅与电工下棋互有胜负;

(4)陈师傅比钳工下得好。

103

问:徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种?

分析:徐是车工,王是钳工,陈是木工,赵是电工.

【巩固】甲、乙、丙三人,他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东,他们的职业分别是教师、工人、演员。已知:

(1)甲不是辽宁人,乙不是广西人;

(2)辽宁人不是演员,广西人是教师;

(3)乙不是工人。

求这三人各自的籍贯和职业。

分析:甲,广西,教师;乙,山东,演员;丙,辽宁,工人。

提示:由题意可画出下面三个表:

将表3补全为表4。由表4知,工人是辽宁人,而乙不是工人,所以乙不是辽宁人,由此可将表1补全为表5。

假设推理

【例6】 一个骗子和一个老实人一路同行,骗子总是讲假话,老实人总是讲真话.请提一个尽量简单的问题,使两人的回答相同.这个问题可以是 .

分析:这个问题可以是:你是老实人吗?如果问的问题是客观的,也就是说对于这两个人来说真正的答案是一样的话,那么他们的回答肯定不一样.所以要问一个与他们自身相关的问题,例如你是老实人吗?或者问你是骗子吗?这样他们的回答才会一样.

104

【例7】 一位法官在审理一起盗窃案中,对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。四人分别供述如下:

甲说:―罪犯在乙、丙、丁三人之中。‖

乙说:―我没有做案,是丙偷的。‖

丙说:―在甲和丁中间有一人是罪犯。‖

丁说:―乙说的是事实。‖

经过充分的调查,证实这四人中有两人说了真话,另外两人说的是假话。

同学们,请你做一名公正的法官,对此案进行裁决,确认谁是罪犯?

分析:乙和丁是盗窃犯。如果甲说的是假话,那么剩下三人中有一人说的也是假话,另外两人说的是真话。可是乙和丁两人的观点一致,所以在剩下的三人中只能是丙说了假话,乙和丁说的都是真话。即―丙是盗窃犯‖。这样一来,甲说的也是对的,不是假话。这样,前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话,只能是真话。同理,剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁说的是假话,即丙不是罪犯,乙是罪犯。又由甲所述为真话,即甲不是罪犯。再由丙所述为真话,即丁是罪犯。

【前铺】甲、乙、丙、丁在比较他们的身高,

甲说:―我最高。‖

乙说:―我不最矮。‖

丙说:―我没甲高,但还有人比我矮。‖

丁说:―我最矮。‖

实际测量的结果表明,只有一人说错了。请将他们按身高次序从高到矮排列出来。

分析:乙、甲、丙、丁.丁不可能说错,否则就没有人最矮了。由此知乙没有说错。若甲也没说错,则无人说错,所以只有甲一人说错.

【例8】 甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。 甲说:―丙第1名,我第3名。‖

乙说:―我第1名,丁第4名。‖

丙说:―丁第2名,我第3名。‖

成绩揭晓后,发现他们每人只说对了一半,你能说出他们的名次吗?

分析:我们以―他们每人只说对了一半‖作为前提,进行逻辑推理。

假设甲说的第一句话―丙第1名‖是对的,第二句话―我第3名‖是错的。由此推知乙说的―我第1 105

名‖是错的,―丁第4名‖是对的;丙说的―丁第2名‖是错的,―丙第3名‖是对的。这与假设―丙第1名是对的‖矛盾,所以假设不成立。

再假设甲的第二句―我第3名‖是对的,那么丙说的第二句―我第3名‖是错的,从而丙说的第一句话―丁第2名‖是对的;由此推出乙说的―丁第4名‖是错的,―我第1名‖是对的。至此可以排出名次顺序:乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。

【例9】 甲、乙、丙、丁四人赛跑,有3名观众对赛跑成绩做了估计。

观众A说:―乙得第二名,丙得第一名。‖

观众B说:―丙得第二名,丁得第三名。‖

观众C说:―甲得第二名,丁得第四名。‖

比赛结果公布后,发现每人都说对了一半,请问甲第( )名,乙第( )名,丙第( )名,丁第( )名。

分析:设计如下表格进行推理

可以看出我们把三名观众对赛跑成绩进行的估计列出来后,假定A说:―丙是第一名‖是正确,则丙不可能同时又是第二名。那么B说―丁第三名就正确(每人说对一半)。往下推知―丁第四名‖错误,则―甲第二名‖正确。如此看来,丙第一、甲第二、丁第三、乙第四。

【例10】 甲说:―乙和丙都说谎。‖乙说:―甲和丙都说谎。‖丙说:―甲和乙都说谎。‖根据三人所说,你判断一下,下面的结论哪一个正确:

(1)三人都说谎;

(2)三人都不说谎;

(3)三人中只有一人说谎;

(4)三人中只有一人不说谎。

分析:假设(1)正确,则甲、乙、丙都没说错,与假设矛盾;

假设(2)正确,则甲、乙、丙都说错了,与假设矛盾;

假设(3)正确,可是三个人都说有两人说谎,即三人都说错了,与假设矛盾;

假设(4)正确,推不出矛盾,符合题意。

106

【巩固】有三名工人,一名是电工,一名是车工,另一名是钳工.又知道下面三种说法中只有一种说法是正确的:甲是车工,乙不是车工,丙不是钳工请你确定他们各是什么工种?

分析:第三种说法正确,即甲是钳工,乙是车工,丙是电工.

综合分析

【例11】 一只皮箱的密码是一个三位数。小光说:―它是954。‖小明说:―它是358。‖小亮说:―它是214。‖小强说:―你们每人都只猜对了位臵不同的一个数字。‖这只皮箱的密码是 。

分析: 每个人只猜了位臵不同的一个数字,也就是说一样的数字必然不对,―5、4‖第一位肯定是9,第三位是8,第二位是1,密码就是918。

【例12】 a、b 、c 、d 、e五位朋友在公园里聚会,每两人之间握一次手。以知,a握了4次,b握了1次,c握了3次,d握了2次。到目前为止,e握了几次?

分析:为了叙述方便,用5个点表示5个人。两点之间连一条线,表示两

人握了一次手。a分别和b c d e握手,b只和a握了一次,c和a d e

握了3次,d与a c握了2次,所以,e与a c握了两次手。

注意a跟b握过后,b相当于也跟a握过。

【巩固】A、B、C、D、E、F六人赛棋,采用单循环制。现在知道:A、B、C、D、E五人已经分别赛过5.4、3、2、l盘。问:这时F已赛过盘。

分析:3盘 .

【例13】 有三个盒子,甲盒装了两个1克的砝码,乙盒装了两个2克的砝码,丙盒装了一个1克、一个2克的砝码。每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的。聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码,放到天平上称了一下,就把所有标签都改正过来了。你知道这是为什么吗?

分析:其实不用那么麻烦,我们发现―每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的‖这句话说明标签的可能只有两种:

标注 两个1克 两个2克 一个1克一个两克

可能1: 两个2克 一个1克一个两克 两个1克

可能2:一个1克一个两克 两个1克 两个2克

所以我们可以从标注―一个1克一个两克‖里面拿一个,如果是―1克‖的就是上面那种情况,否则就是下面那种情况。

【巩固】有六个大小相同的彩球,三个红,三个白,分别放入三个罐子里,一个罐放两红球,一个罐里放两白球,另一罐放一红一白.然后将写有―两红‖、―两白‖、―红白‖的三个标签贴在三个罐子上,由于粗心,三个标签全贴错了.

试问此时最少要从罐子中取出几个球,才能确定三个罐分别装的是 107

什么彩球?

分析:标有两红的罐子中是―两白‖,标有―两白‖的罐子中是―两红‖,标有―两红‖的罐子中是―一红一白‖。

因为所有罐子上的标签都占罐中实物不符,所以在贴有―红白‖标签的罐子中只能是两红或两白.那么只需在―红白‖罐子中取出一个彩球,若是红色球,则可知罐中是两红,那么标有―两白‖的罐子中就是―一红一白‖,标有两红的罐子中就是―两白‖;若是白色球,则可知罐中是―两白‖,那么标有―两红‖的罐子中就是―两红‖,而标有―两红‖的罐子中就是―一红一白‖。

【附1】某参观团根据下列规则,从A、B、C、D、E五个地方选定参观点儿.选取原则为:

(1)若去A地,也必须去B地;

(2)D、E两地至少去一地;

(3)B、C两地只去一地;

(4)C、 D两地都去或都不去;

(5)若去E地,A、D两地也必须去。

请你说明理由,该团最多能去哪几个地方?

分析:最多只能去C、D两地因若去E地,A、D两地必须去,而去A地也必须去B地,而C、D是两地都去或两地都不去,这样就与条件―B、C‖两地只去一地相矛盾,所以不能去E地,只能是D地,则也必须去C地,因而不能去B地也不能去A,故只能去C、D地。

【附2】五号楼住着四个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的10岁,最小的4岁,最大的女孩比最小的男孩大4岁,最大的男孩比最小的女孩也大4岁,求最大的男孩的岁数。

6.8岁。

分析:假设最小的男孩4岁,那么最大的女孩4+4=8(岁),四个女孩年龄都不同,最小的女孩应是5岁,最大的男孩5+4=9(岁),与题目说最大的孩子10岁矛盾。假设不成立。再假设最小的女孩4岁,那么最大的男孩8岁,最小的男孩6岁,最大的女孩10岁,符合题意。所求最大男孩是8岁。

【附3】红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗,用布包着在桌上排成一行。A,B,C,D,E五个人猜各包里的珠子的颜色。

A猜:第2包紫色,第3包黄色;

B猜:第2包蓝色,第4包红色;

C猜:第1包红色,第5包白色;

D猜:第3包蓝色,第4包白色;

E猜:第2包黄色,第5包紫色。结果每人都猜对了一种,并且每包只有一人猜对,他们各自 108

猜对了哪种颜色的珠子?

分析:A猜对第3包黄色,B猜对第2包蓝色,C猜对第1包红色,D猜对第4包白色,E猜对第5包紫色。

【巩固】四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字(一张上写一个字),取出三张字朝下放在桌上,A,B,C三人分别猜每张卡片上是什么字,猜的情况见下表:

结果,有一人一张也没猜中,一人猜中两张,另一人猜中三张。问:这三张卡片上各写着什么字, 分析:第一张是―林‖,第二张是―匹‖,第三张是―克‖。A,B有两张猜的相同,必有一人全对,一人对两张,因此C全错,推知B全对。

【附4】甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地。

甲说:―我和乙都住在北京,丙住在天津。‖

乙说:―我和丁都住在上海,丙住在天津。‖

丙说:―我和甲都不住在北京,何伟住在南京。‖

丁说:―甲和乙都住在北京,我住在广州。‖

假定他们每个人都说了两句真话,一句假话。问:不在场的何伟住在哪儿?

分析:因为甲、乙都说―丙住在天津,‖我们可以假设这句话是假话,那么甲、乙的前两句应当都是真话,推出乙既住在北京又住在上海,矛盾。所以假设不成立,即―丙住在天津‖是真话。

因为甲的前两句话中有一句假话,而甲、丁两人的前两句话相同,所以丁的第三句话―我住在广州‖是真的。由此知乙的第二句话―丁住在上海‖是假话,第一句―我住在上海‖是真话;进而推知甲的第二句是假话,第一句―我住在北京‖是真话;最后推知丙的第二句话是假话,第三句―何伟住在南京‖是真话。所以,何伟住在南京。

在解答逻辑问题时,有时需要将列表法与假设法结合起来。一般是在使用列表法中,出现不可确定的几种选择时,结合假设法,分别假设检验,以确定正确的结果。

【附5】学校新来了一位老师,五个学生分别听到如下的情况:

(1)是一位姓王的中年女老师,教语文课;

(2)是一位姓丁的中年男老师,教数学课;

(3)是一位姓刘的青年男老师,教外语课;

109

(4)是一位姓李的青年男老师,教数学课;

(5)是一位姓王的老年男老师,教外语课。

他们每人听到的四项情况中各有一项正确。问:真实情况如何?

分析:姓刘的老年女老师,教数学。假设是男老师,由(2)(3)(5)知,他既不是青年、中年,也不是老年,矛盾,所以是女老师。再由(1)知,她不教语文,不是中年人。假设她教外语,由

(3)(5)知她必是中年人,矛盾,所以她教数学。由(2)(4)知她是老年人,由(3)知她姓刘。

【附6】四对夫妇坐在一起闲谈。四个女人中,A吃了3个梨,B吃了2个,C吃了4个,D吃了1个;四个男人中,甲吃的梨和他妻子一样多,乙吃的是妻子的2倍,丙吃的是妻子的3倍,丁吃的是妻子的4倍。四对夫妇共吃了32个梨。问:丙的妻子是谁?

分析:分别设A,B,C,D的丈夫吃梨的个数为3a,2b,4c和d,则有

3a+2b+4c+d=32-(3+2+4+1)=22,

由题意知,a,b,c,d分别等于1,2,3,4四数之一,且互不相同。

于是可求出a=1,b=4,c=2,d=3。因为丙吃的梨是妻子的3倍,d=3,所以丙的妻子是D。

【附7】A,B,C,D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事,班主任把这四人找来了解情况,四人分别回答如下。

A:―C,D两人中有人做了好事。‖

B:―C做了好事,我没做。‖

C:―A,D中只有一人做了好事。‖

D:―B说的是事实。‖

最后通过仔细分析调查,发现四人中有两人说的是事实,另两人说的与事实有出入。到底是谁做了好事?

分析:我们用假设法来解决。题目说四人中有两人说的是事实,另两人说的与事实有出入。注意,此处的―与事实有出入‖表示不完全与事实相符,比如,当B,C都做了好事,或B,C都没做好事,或B做了好事而C没做好事时,B说的话都与事实有出入。

因为B与D说的是一样的,所以只有两种可能,要么B与D正确,A与C错;要么B与D错,A与C正确。(1)假设B与D说的话正确。这时C做了好事,A说C,D两人中有人做了好事,A说的话也正确,这与题目条件只有―两人说的是事实‖相矛盾。所以假设不对。

(2)假设A与C说的话正确。那么做好事的是A与C,或B与D,或C与D。若做好事的是A与C,或C与D,则B说的话也正确,与题意不符;若做好事的是B与D,则B说的话与事实不符,符合题意。

综上所述,做好事的是B与D。

110

练习十三

1. 张聪、王仁、陈来三位老师担任五(2)班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学,每人教两门。现知道:

(1)英语老师和数学老师是邻居;

(2)王仁年纪最小;

(3)张聪喜欢和体育老师、数学老师来往;

(4)体育老师比语文老师年龄大;

(5)王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。

请判断各人分别教的是哪两门课程。

分析: 张聪教语文、英语,王仁教数学、美术,陈来教音乐、体育.

2.刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹,六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定:兄妹二人不许搭伴。

第一盘:刘刚和小丽对李强和小英;

第二盘:李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。问:三个男孩的妹妹分别是谁?

分析:因为兄妹二人不许搭伴,所以题目条件表明:刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹。由第二盘看出,小红不是马辉的妹妹。将这些关系画在左下表中,由左下表可得右下表。

刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹。

3.数学竞赛后,小明、小华和小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人得铜牌。老师猜测:―小明得金牌,小华不得金牌,小强不得铜牌。‖结果老师只猜对了一个,那么谁得金牌,谁得银牌,谁得铜牌?

分析:小华得金牌,小强得银牌,小明得铜牌。

(1)若小明得金牌,小华一定―不得金牌‖,这与―老师只猜对了一个‖相矛盾,不合题意。

(2)若小华得金牌,那么―小明得金牌‖与―小华不得金牌‖这两句都是错的,那么―小强不得铜牌‖应是正确的,那么小强得银牌,小明得铜牌。

4.某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别:

甲判断:不是铁,也不是铜。

乙判断:不是铁,而是锡。

111

丙判断:不是锡,而是铁。

经化验证明:有一个人的判断完全正确,有一个人说对了一半,而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的,谁是错的,谁是只对一半的吗?

分析:丙全说对了,甲说对了一半,乙全说错了。先设甲全对,推出矛盾后,再设乙全对,又推出矛盾,则说明丙全对,甲说对了一半,乙全说错了。

5.在一次数学竞赛中,A,B,C,D,E五位同学分别得了前五名(没有并列同一名次的),关于各人的名次大家作出了下面的猜测:

A说:―第二名是D,第三名是B。‖

B说:―第二名是C,第四名是E。‖

C说:―第一名是E,第五名是A。‖

D说:―第三名是C,第四名是A。‖

E说:―第二名是B,第五名是D。‖结果每人都只猜对了一半,他们的名次如何? 分析:第1名是E,第2名是C,第3名是B,第4名是A,第5名是D。

第十四讲 最大与最小

【例1】 比较下面两个乘积的大小:

a=57128463×87596512, b=57128460×87596515 .

分析:对于a,b两个积,它们都是8位数乘以8位数,尽管两组对应因数很相似,但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现,因为57128463比57128460多3,87596512比87596515少3,所以它们的两因数之和相等,即57128463+87596512=57128460+87596515。

因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差,根据上题结论,可得a>b

【前铺】两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少?

分析:将两个自然数的和为15的所有情况都列出来,考虑到加法与乘法都符合交换律,有下面7种情况:

15=1+14,1×14=14;

15=2+13,2×13=26;

15=3+12,3×12=36;

15=4+11,4×11=44;

15=5+10,5×10=50;

112

15=6+9,6×9=54;

15=7+8,7×8=56。

由此可知把15分成7与8之和,这两数的乘积最大。

结论:如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,他们的乘积越大。特别地,当这两个数相等时,他们的乘积最大.

【巩固】当A+B+C=10时(A、B、C是非零自然数)。A×B×C的最大值是____,最小值是____。

分析:当为3+3+4时有A×B×C的最大值,即为3×3×4=36;

当为1+1+8时有A×B×C的最小值,即为1×1×8=8。

【拓展】1~8这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少?

分析:8531和7642。高位数字越大,乘积越大,所以它们的千位分别是8,7,百位分别是6,5。两数和一定时,这两数越接近乘积越大,所以一个数的前两位是85,另一个数的前两位是76。同理可确定十位和个位数.

【例2】 两个自然数的积是48,这两个自然数是什么值时,它们的和最小?

分析:48的约数从小到大依次是1,2,3,4,6,8,12,16,24,48。

所以,两个自然数的乘积是48,共有以下5种情况:

48=1×48,1+48=49;

48=2×24,2+24=26;

48=3×16,3+16=19;

48=4×12,4+12=16;

48=6×8,6+8=14。

两个因数之和最小的是6+8=14。

结论:两个自然数的乘积一定时,两个自然数的差越小,这两个自然数的和也越小。

【巩固】要砌一个面积为72米2的长方形猪圈,长方形的边长以米为单位都是自然数,这个猪圈的围墙最少长多少米?

分析:将72分解成两个自然数的乘积,这两个自然数的差最小的是9-8=1。,猪圈围墙长9米、宽8米时,围墙总长最少,为(8+9)×2=34(米).

【例3】 一排椅子只有15个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,他无论坐在哪个座位,都将与已就座的人相邻。问:在乐乐之前已就座的最少有几人?

分析:将15个座位顺次编为1~15号。如果2号位、5号位已有人就座,那么就座1号位、3号位、 113

4号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。根据这一想法,让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座,也就是说,预先让这5个座位有人就座,那么乐乐无论坐在哪个座位,必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为5人。

【巩固】一张圆桌有12个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,他无论坐在哪个座位,都将与已经就座的人相邻。问:在乐乐之前已就座的最少有几人?

分析:4人.

【例4】 有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如257,1459等等,这类数中最大的自然数是多少?

分析:要想使自然数尽量大,数位就要尽量多,所以数位高的数值应尽量小,故10112358满足条件.如果最前面的两个数字越大,则按规则构造的数的位数较少,所以最前面两个数字尽可能地小,取1与0.

【例5】 有一类自然数,它的各个数位上的数字之和为2003,那么这类自然数中最小的是几? 分析:一个自然数的值要最小,首先要求它的数位最小,其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上的和固定为2003,要想数位最少,各位数上的和就要尽可能多地取9,而2003’9=222……5,所以满足条件的最小自然数为:599...9?

222个9

【例6】 99个苹果要分给一群小朋友,每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样,且每位小朋友至少要有一个苹果.问:这群小朋友最多有几位?

分析:1+2+3+…+13=91<99,1+2+3+…+14=105>99,说明若13位各分得1,2,3,…,13个苹果,未分完99个,若14位各分得1,2,3,…,14个苹果,则超出99个.因91+8=99,在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上,就可得合题意的一个分法:13人依次分1,2,3,4,5,7,8,9,lO,11,12,13,14个.所以最多有13位小朋友.(注:13人的分法不唯一)

【巩固】公园里有一排彩旗,按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列,小红看到这排旗的尽头是一面粉旗.已知这排旗不超过200面,这排旗子最多有多少面?

分析:旗子排列是9面一循环,关键在于最后几面旗子,如果最后四面都能是粉旗那就好了.200’9=22…2,所以最多可以出现200-2=198面旗子,共22个循环.

【例7】 (第四届希望杯1试)一位工人要将一批货物运上山,假定运了5次,每次的搬运量相同,运到的货物比这批货物的33多一些,比少一些。按这样的运法,他运完这批货物最少共要运 54

次,最多共要运 次。

分析:这道题目用到了极值判断法。我们首先向学生介绍下题,体会极值判断法:

114

【前铺】(第一届希望杯1试)一艘轮船往返于A、B码头之间 ,它在静水中船速不变,当河水流速增加时,该船往返一次所有时间比河水流速增加前所用时间_______ (填―多‖或―少‖)

分析:极限判断,当水速为10,船速是20时,我们可以往来A,B两地,当河水速度增加时,比如增加到20,这样逆水时,船速=水速,永远到不了B地,所以时间变多了。

怎么样,现在你能解决例题么?

33331假定5次运的恰好等于,则每一次最少运÷5=,所以最多运=8≈9次; 5525253

33332假定5次运的恰好等于,则每一次最多运÷5=,所以最少运=6≈7次; 4420203

【例8】 某学校,星期一有15名学生迟到,星期二有12名学生迟到,星期三有9名学生迟到,如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次,则这三天都迟到的学生最多有多少人?

分析:三天都迟到的要尽量多,则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的.可求出三天都迟到的学生最多有(15+12+9-22)÷2=7(人).

【巩固】某次数学、英语测试,所有参加测试者的得分都是自然数,最高得分198,最低得分169,没有得193分、185分和177分,并且至少有6人得同一分数,参加测试的至少多少人?

分析:得分数共有198-169+1-3=27(种),当只有6个人得分相同时,参加测试的人最少,共有27+6-1=32(人).

【例9】 149位议员中选举一位议长,每人可投一票.候选人是A,B,C三人.开票中途,A已得45票,B已得20票,C已得35票.如果票数最多者当选,那么A至少再有多少票才能一定当选?

分析:45+20+35=100,还有149-100=49(票).45-35=10,如果49票中有10票都给C,49-10=39,那么A至少还要有20票才能当选.

【巩固】冬季运动会共有58面金牌,至今A队已得lO面,B队已得11面,C队已得13面.如果A队要想金牌数居第一位,A队至少还要得多少面金牌?

分析:10+ll+13=34.还有58-34=24(面)可争夺.A队要再得4面,才超过C队.在余下的奖牌中不能少于一半,即再得4+(24-4)÷2=14(面),才能确保金牌数居第一位.

如图,司机开车按顺序到五个车站接学生到学校,每个站都有学生上车.第一

站上了一批学生,以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半.车到学校

时,车上最少有多少学生?

分析:因为每个站都有学生上车,所以第五站至少有1个学生上车.假如第五站只有一个学生上车,那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2,4,8,16个.因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31(人),很明显,如果第五站有不止一个学生上车,那么上车的总人数一定多于

31 115

个.所以,最少有31个学生.

【例10】 某公共汽车从起点开往终点站,中途共有15个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有座位,这辆公共汽车至少应有多少个座位?

分析:(法1):只需求车上最多有多少人。依题意列表如下:

由上表可见,车上最多有56人,这就是说至少应有56个座位。本题问句出现了―至少‖二字是就座位而言的,座位最少有多少,取决于什么时候车上人数最多,要保证乘客中每人都有座位,应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以,我们不能只看表面现象,误认为有了―至少‖就是求最小数,而应该把题意分析清楚后再作判断。

(法2):因为车从某一站开出时,以前各站都有同样多的人数到以后各站(每站1人),这一人数也和本站上车的人数一样多,因此:车开出时人数=(以前的站数+1)×以后站数=站号×(15-站号)。 因此只要比较下列数的大小:1×14, 2×13, 3×12, 4×11, 5×10,6×9, 7×8, 8×7, 9×6, 10×5,11×4, 12×3, 13×2, 14×1 . 由这些数,得知7×8和8×7是最大值,也就是车上乘客最多时的人数是56人,所以它应有56个座位 .

此题的两种解法都是采用的枚举法,枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是:将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值;或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。

【例11】 将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100

从中划去100个数字,那么剩下的92位数最大是多少?最小是多少?

分析:要得到最大的数,左边应尽量多地保留9。因为1~59中有109个数码,其中有6个9,要想左边保留6个9,必须划掉1~59中的109-6=103(个)数码,剩下的数码只有192-103=89(个),不合题意,所以左边只能保留5个9,即保留1~49中的5个9,划掉1~49中其余的84个数码。然后,在后面再划掉16个数码,尽量保留大数(见下图):

所求最大数是9999978596061…99100。

同理,要得到最小的数,左边第一个数是1,之后应尽量保留0。2~50中有90个数码,其中 116

有5个0,划掉其余90-5=85(个)数码,然后在后面再划掉15个数码,尽量保留小数(见下图):

所求最小数是100000123406162…99100。

【巩固】将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100从中划去170个数字,剩下的数字形成一个22位数,这个22位数最大是多少?最小是多少?

分析:在前100个自然数中,共有20个9,再保留后面的―10‖,即得到最大数:99999…99100(20个9);最小数的第一位是―1‖,再保留10~90中的9个―0‖,再在91~100中留下12个尽量小的数,即得最小数:1000000000123456789100 .

【附1】把17分成几个自然数的和,怎样分才能使它们的乘积最大?

分析:假设分成的自然数中有1,a是分成的另一个自然数,因为1×a<1+a,也就是说,将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好,所以分成的自然数中不应该有1。

如果分成的自然数中有大于4的数,那么将这个数分成两个最接近的整数,这两个数的乘积大于原来的自然数。例如,5=2+3<2×3,8=3+5<3×5。也就是说,只要有大于4的数,这个数就可以再分,所以分成的自然数中不应该有大于4的数。

如果分成的自然数中有4,因为4=2+2=2×2,所以可以将4分成两个2。

由上面的分析得到,分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6,2×2×2=8,3+3=6,3×3=9,说明虽然三个2与两个3的和都是6,但两个3的乘积大于三个2的乘积,所以分成的自然数中最多有两个2,其余都是3。由此得到,将17分为五个3与一个2时乘积最大,为3×3×3×3×3×2=486。 结论:整数分拆的原则:不拆1,少拆2,多拆3。

【巩固】 把14拆成几个自然数的和,再求出这些数的乘积,如何拆可以使乘积最大?

分析:14拆成3、3、3、3、2时,积为3×3×3×3×2=162最大.

【附2】某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种,为了能支付1元、2元……100元的钱数(整数元),那么至少需要准备货币多少张?

分析:为了使货币越少越好,那么9元的货币应该尽量多才行。

当有10张9元时,容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。

当9元的货币超过11张时,找不到比14张更少的方案。

当9元的货币少于10张时,至少有19元需要由5元以下的货币构成,且1元的货币至少2张,这样也找不到比14张更少的方案。

综上分析可以知道,最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的,共14张货币。

117

【附3】在五位数 22576的某一位数码后面再插入一个该数码,能得到的六位数中最大的是几? 分析:225776

【巩固】在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码,能得到的七位数中最小的是几? 分析:8654473.

【附4】现有三堆苹果,其中第一堆苹果个数比第二堆多,第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个,那么在剩下的苹果中,第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个,使得第一堆还剩34个,则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少?

分析:先每堆拿出一个,这样第一堆就是第二

堆的3倍:―如果从每堆苹果中各取出同样多个,

使得第一堆还剩34个,则第二堆所剩下的苹果

数是第三堆的2倍‖,第三堆最少剩一个,那么

第一堆的每一份就是:(34-2)÷2=16,即三堆

分别有:16×3+1=49,16+1=17和16个,总数:49+17+16=82个;如果第三堆剩2个,那么第一堆的每一份为:(34-4)÷2=15,各堆分别为:15×3+1=46,15+1=16和14个,总数减少.显然第三堆留下的越多,第一堆的每一份就越少,总数越少.所以原来三堆苹果之和的最大值是82.

【附5】如图,小明要从A走到B,每段路上的数字是小王走这段

路所需的分钟数.请问小明最快需几分钟?

分析:从A到B要想最快,肯定不能走回头路,路线分为过C点和

不过C点两类.

①不过C点有两条路:

第一条是15+7+9+18=49(分钟);

第二条是14+6+17+12=49(分钟);

两条路所用时间相同.

②经过C点的路线分为两段,A→C、C→B.同上面一样:

A→C:①14+13=27(分钟);

②15+11=26(分钟).

C→B:①10+12=22(分钟);

②5+18=23(分钟).

在分析已知条件时。很可能会出现不同情况和不同结果,而且不好推理说明谁是极端情形,

那就应 118

该列举比较.

所以从A→C→B最少用48分钟,比前面不过C的少用1分钟.

【附6】某班学生50人,年龄均为整数,年龄的平均值为12.2,已知班上任意两人的年龄差都不超过3.那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?如果有一个学生的年龄达到这个值,那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?

分析:因为全班50人的年龄总和比平均12岁的年龄总和多(12.2-12)×50=10(岁),所以年龄最大的能是12+3=15(岁).如果有人年龄达到15岁,那么剩下的49人的年龄和比平均12岁的年龄和多10—3=7(岁),所以最多有7人的年龄大于12岁,小于15岁.

【附7】若干名家长(爸爸或妈妈,他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛,已知家长和老师共有22人,家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多2人,至少有1名男老师,那么在这22人中,爸爸有多少人?

分析:家长比老师多,所以老师少于22÷2=11人,即不超过10人;相应的,家长就不少于12人。在至少12个家长中,妈妈比爸爸多,所以妈妈要多于12÷2=6人,即不少于7人。因为女老师比妈妈多2人,所以女老师不少于9人。但老师最多就10个,并且还至少有1个男老师,所以老师必定是9个女老师和1个男老师,共10个。那么,在12个家长中,就有7个是妈妈。所以,爸爸有12-7=5人。

【附8】阶梯教室座位有10排,每排有16个座位,当有150个人就座,某些排坐着的人数就一样多.我们希望人数一样的排数尽可能少,这样的排数至少有多少排?

分析:至少有4排.如果10排人数各不相同,那么最多坐:16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人); 如果最多有2排人数一样,那么最多坐:(16+15+14+13+12)×2=140(人);

如果最多有3排人数一样,那么最多坐:(16+15+14)×3+13=148(人);

如果最多有4排人数一样,那么至多坐:(16+15)×4+14×2=152(人).

148<150<152, 所以,至少有4排.

【附9】在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式。要求:(1)算式的结果等于37;(2)这个算式中的所有减数(前面添了减号的数)的乘积尽可能地大。那么,这些减数的最大乘积是多少?

分析:把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中一个数的前面的加号换成减号,使这个数成为减数,那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-37=18,所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9。对于大于2的数来说,两数之和总是比两数乘积小,为了使这些减数的乘积尽可能大,减数越多越好(不包括1)。9最多可拆成三数之和2+3+4=9,因此这些减数的最大乘积是2×3×4=24,添上加、减号的算式是:10 + 9+ 8+ 7 + 6+ 5- 4- 3- 2 +1=37。

119

1.如果一个自然数N的各个位上的数字和是1996,那么这个自然数最小是几?

分析:1996’9=221……7,N= 799...9?.

221个9

2.某班有50名学生,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有23人,参加英语竞赛的有20人,每人最多参加两科,那么参加两科的最多有多少人?

分析:因为参加竞赛的有28+23+20=71(人).让这71人尽可能多地重复,71’2=35…1,所以至多有35人参加两科.

3.用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园,围成菜园的最大面积是多少?

分析:这个长方形的周长是36米,即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为长+宽=36÷2=18(米),由结论知,围成长方形的最大的面积是9×9=81(米2)。

周长一定的长方形中,正方形的面积最大。同样可以推广到周长一定的图形,边数越多,面积越大.

4.小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的975个人.若用电话联系,每通知1个人需1分钟,而见面可一次通知60个人,但需10分钟,问:完成传达任务最少需多少分钟?(每人均有电话) 分析:应该充分发挥每个人的作用,即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人.因此,可以先花10分钟安排一次见面通知,然后凡被通知的人再不断打电话,到第14分钟时共可通知:(1+60)×2×2×2×2—1=975(人),因此最少用14分钟.

5.有四个数,其中每三个数的和分别是45,46,49,52,那么这四个数中最小的一个数是多少? 分析:把4个数全加起来就是每个数都加了3遍,所以,这四个数的和等于(45+46+49+52)÷3=64。用总数减去最大的三数之和,就是这四个数中的最小数,即64-52=12。

6.小明有一只最多能装10千克物品的大提兜.现有白菜5千克,猪肉2千克,鱼3.5千克,一瓶酱油连瓶重1.7千克,白糖l千克,蚕豆5.1千克.请你想想,把哪几样东西放进大提兜内,才能充分利用提兜,使它所提东西的重量最重?

分析:大提兜能装的重量限制在10千克之内.把哪几样东西的重量加在一起,使和不超过10千克,但最接近lO千克我们不妨列举.在列举前先分析数据:白菜和蚕豆不能同时放(共10.1千克),但二者应取其一,否则才装2+3.5+1.7+1=8.2千克.列举如下:

白菜+猪肉+酱油+白糖=9.7(千克);

白菜+鱼+白糖=9.5(千克);

蚕豆+猪肉+酱油+白糖=9.8(千克);

蚕豆+鱼+白糖=9.6(千克).

显然,把5.1千克蚕豆,1.7千克的酱油,2千克的猪肉和1千克重的白糖放人大提兜内最重. 120

第十五讲 期末考试

考试时间:90分钟,总分值:100分+20分 姓名: 得分:

一 、 填一填(每空5分,共5×10 = 50分)

1. 要砌一个面积为132米2的长方形大花坛,长方形的边长以米为单位,且都是自然数,这个花坛的周长最少是 46 米.

2. 小丸子有一盒彩球,按3个黄球、2个红球、4个粉球、2个篮球的顺序排列,发现看到这排球的的尽头是一个粉球.已知这排球不超过300个,这盒球最多有 295 个.

3.任取两个自然数做差后再在乘上它们的积,结果是能否是690069?(填能或不能).

4.元旦前夕,同学们相互送礼物。每人只要接到对方礼物就一定回赠礼物,那么送了奇数件礼物的人数是 偶数 (奇数或偶数).

5. 有一个展览会场如右图所示,共有16个展室,每两个相邻的展室之间

都有门相通,问 不能 (填能或不能)从入口进去,不重复地参观

完所有的展室后从出口出来。

6. 有一个袋子里装着许多玻璃球.这些玻璃球或者是黑色的,或者是白色的.假设有人从袋中取球,每次取两只球.如果取出的两只球是同色的,那么,他就往袋里放回一只白球;如果取出的两只球是异色的,那么,他就往袋里放回一只黑球.他这样取了若干次以后,最后袋子里只剩下一只黑球.请问:原来在这个袋子里有 奇数 个黑球.(在 上填―奇数‖或―偶数‖)

7.如果一个自然数N的各个位上的数字和是2345,那么这个自然数最小是 5926个09

8.小丸子和她的朋友4个人去郊游,照相时必须有一个人给其她3个人拍照,共有种拍照情况.

9.如图(1),对相邻的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次

操作.经过若干次操作后由1变成图2,则图2中A处的数是 5 .

10.从1、3、5、7中任取3个数字,从2、4、6中任取2个数字,组

成没有重复数字的五位数,一共可以组成 1440 个数.

二 、 大显身手(前5题每题8分,6题10分,共8×5=40分)

121

1. 在□内填入适当的数字,使下列乘法竖式成立:

分析:(1)5283×39=206037;

(2) 734×619=454346, 被乘数是6606和4404的三位数

的公约数.

11112. 甲、乙、丙、丁分28头羊. 甲、乙、丙、丁分别得,,,,应如何分? 25615

分析:借2头羊,甲、乙、丙、丁依次分得15,6,5,2头羊,再将借得2头羊还回去.

3. 在右图的每个空格中填入自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上

的三个数之和都相等.

分析:右下角的数为(8+10)÷2=9,中心数为(5+9)÷2=7,且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图的填法.

4. 甲、乙、丙三人,他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东,他们的职业分别是教

师、工人、演员。已知:

(1)甲不是辽宁人,乙不是广西人;

(2)辽宁人不是演员,广西人是教师;

(3)乙不是工人。

求这三人各自的籍贯和职业。

分析:甲,广西,教师;乙,山东,演员;丙,辽宁,工人。

5.一个盒子装有10个编号依次为1,2,3,…,10的球,从中摸出6个球,使它们的编号之和为奇数,则不同的摸法种数是多少?

分析:10个编号中5奇5偶,要使6个球的编号之和为奇数,有以下三种情形:

122

(1)5奇1偶,对奇数只有1种选择,对偶数有5种选择.由乘法原理,有1×5=5种选择;

(2)3奇3偶,对奇数有C53=10种选择,对偶数也有C53=10种选择.由乘法原理,有10×10=100种

选择;

(3)1奇5偶,对奇数有5种选择,对偶数只有1种选择.由乘法原理,有5×1=5种选择. 由加法原理,不同的摸法有:5+100+5=110种.

6. 9个金币中,有一个比真金币轻的假金币,你能用天平称两次就找出来吗(天平无砝码)? 分析:第一次在左右两托盘各放臵3个:

(一)如果不平衡,那么较轻的一侧的3个中有一个是假的.从中任取两个分别放在两托盘内: ①如果不平衡,较低的一侧的那个是假的;

②如果平衡,剩下的一个是假的;

(二)如果平衡,剩下的三个中必有一个为假的.从中任取两个分别放在两托盘内:

①如果不平衡,较低的一侧的那个是假的;

②如果平衡,剩下的那个是假的.

三 、 附加题目(每题10分,从三道题目中选择两道来做,三道题目全部做也只得满分20分, 共10×2=20分)

1. 小刚在纸条上写了一个四位数,让小明猜.小明问:―是603l吗?‖小刚说:―猜对了1个数字,且位臵正确.‖小明问:―是5672吗?‖小刚说:―猜对了2个数字,但位臵都不正确.‖小明问:―是4796吗?‖小刚说:―猜对了4个数字,但位臵都不正确.‖根据以上信息,可以推断出小刚所写的四位数多少?

分析:由两人的第3次问答可知小刚所写的四位数是由数字4,7,9,6组成的.因为数字6在603l中出现,所以据小刚的第1次回答知四位数的千位数字就是6.又数字7在5672和4796中均出现过,且小刚说其位臵均不正确,所以7应该出现在个位.数字9在4796中出现,但它的位臵也不正确,所以9只能在百位,进而4是十位数字.综上所述,所求的四位数是6947.

2.现有三堆苹果,其中第一堆苹果个数比第二

堆多,第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每

堆苹果中各取出一个,那么在剩下的苹果中,

第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果

中各取出同样多个,使得第一堆还剩34个,则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少?

123

分析:先每堆拿出一个,这样第一堆就是第二堆的3倍:―如果从每堆苹果中各取出同样多个,使得第一堆还剩34个,则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍‖,第三堆最少剩一个,那么第一堆的每一份就是:(34-2)÷2=16,即三堆分别有:16×3+1=49,16+1=17和16个,总数:49+17+16=82个;如果第三堆剩2个,那么第一堆的每一份为:(34-4)÷2=15,各堆分别为:15×3+1=46,15+1=16和14个,总数减少.显然第三堆留下的越多,第一堆的每一份就越少,总数越少.所以原来三堆苹果之和的最大值是82.

3. 老师在黑板上画了9个点,要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线(只许拐三个弯儿).你能办到吗?

分析:大家开始尝试多次之后可能会得出―不可能‖的结论,但是大家不要忽略一点,题中并没要求所有折线只能限定在这9个点的范围之内.我们把折线的范围冲破本题9个点所限定的正 方形,那么问题就容易解决了,如右图:

124

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