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八年级数学(上)竞赛

发布时间:2013-12-25 14:44:19  

八年级(上)数学竞赛试卷

一.选择题(每题4分,共32分)

1.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称......

变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所......

具有的性质是( )

A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分

C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行

2.如图在平面直角坐标系中,□ MNEF的两条对角线ME,NF交于原点O,点F的坐标是(3,2),则点N的坐标为( )

(-3,-2) B.(-3,2) C.(-2,3) D.(2,3)

3.如图,菱形ABCD由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,则线段AC的长为( )

A.3 B.6 C

.D

.4.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点C的坐标是(3,4)则顶点A、B的坐标分别是( )

A. (4,0)(7,4) B. (4,0)(8,4) C. (5,0)(7,4) D. (5,0)(8,4)

5.如果2??2=a+b2(a,b为有理数),那么a+b等于( ) ?2

A.2 B.3 C. 8 D.10

6.若实数x,y满足y?x?2?2?x?,则y的值为( ) x

A. B.3 C.- D.-3

7.如图,点P是矩形ABCD的边AD的一个动点,矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )

61224A. B. C. D.不确定 555

8.如图,平面直角坐标系,∠ABO=90°,将直角△AOB绕O点顺时针旋转,使点B落在经x轴上的点B1处,点A落在A1处,若B点的坐标为(1612,),则点A1的坐标是( ) 55

C.(5,-3)

1 A.(3,-4) B.(4,-3)

D.(3,-5)

二.填空题(每题5分,共40分)

9.直角三角形一直角边长为11,另两条边长均为自然数,则其周长为_________. 10.在Rt△ABC中,a=3,b=4,则c=______________________.

11.如图所示,两个全等菱形的边长为1厘米,一只蚂蚁由A点开始按

ABCDEFGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2010厘米后停下,则这只 A 蚂蚁停在 点.

12.若?1得整数部分为a,小数部分为b,则a-b的值为

E

13.如图,在Rt

△ABC中,∠ACB=90°,D在AB上,四边形DECF是正方形,若BD=3cm,AD=2cm,则图

中阴影部分面积为________________________.

14.已知点P(x,y)在第二象限,且|x|=2,y是1的平方根,则点

P的坐标为

15.若

?x?表示不超过x的最大整数(如????3,??2???3等),则

3

??

2??

111??????

????????2??2??3?2?3?

?????2011?2010?2011?

16.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,边长为2cm,E,F分别是边BC和对角线BD上两个动点,则EF+CF的最小值为___________________________. 三.解答题:(17题8分;18题10分;19题10分;20题10分,21题10分)

22

17.已知,x?1?2,y?1?2,求x-3xy+y的值.

18.如图在△ABC中,D为BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13,求BC边长.

19.点P是正△ABC内一点,PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数

20.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.如,平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线. (1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是_______; (2)如图1,梯形ABCD中,AB∥DC,如果延长DC到E,使CE=AB,连接AE,那么有S梯形ABCD =

S△ADE.请你给出这个结论成立的理由,并过点A作出梯形ABCD的面积等分线(不写作法,保留作

2

图痕迹);

(3)如图2,四边形ABCD中,AB与CD不平行,△ADC>△ABCSS,过点A能否作出四边形ABCD的

A

面积等分线?若能,请画出面积等分线,并给出说明;若不能,说明理由.

ECD 图1 图2

21.问题再现

图形的镶嵌”中,对于单种多边形的镶嵌,主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题.今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点,提出其中几个问题,共同来探究. ....

我们知道,可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.如右图中,用正方形

镶嵌平面,可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.

试想:如果用正六边形来镶嵌平面,在一个顶点周围应该围绕着 个

正六边形的内角.

问题提出

如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面,可能设计出几种不同的组合方案?

问题解决

猜想1:是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?

分析:我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发现,解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点.具体地说,就是在镶嵌平面时,一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.

验证1:在镶嵌平面时,设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意,可得方程: 90x?(8?2)?180y?360,整理得:2x?3y?8, 8

?x?1我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为? . y?2?

结论1:镶嵌平面时,在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角,所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.

猜想2:是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?若能,请按照上述方法进行验证,并写出所有可能的方案;若不能,请说明理由.

验证2:

结论2:

上面,我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况,仅仅得到了一部分组合方案,相信同学们用同样的方法,一定会找到其它可能的组合方案.

问题拓广

请你仿照上面的研究方式,探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案,并写出验证过程.

猜想3: . 3

验证3:

结论3: .

八年级数学竞赛参考答案

一.选择题:1.B 2. A 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.B

二.填空题:9. 132 ; 10.5或7;11.C;12.3?5;13.3;14.(-2,1);15.2010;16.

三.解答题:

222217.解:∵x?1?2,y?1?2 ∴xy=-1 x+y=2 ∴x-3xy+y=(x+y)-5xy=2-5×(-

1)=9

18.延长AD到E使DE=AD=6,连接BE,CE,∵CD=BD ∴四边形ABEC是平行四边形 ∴AB∥CE,EB=CA=13 ∵5+12=13,∴∠EAC=90°∴BD=52?62?61 ∴BC=261

222

19.

4

【答案】

解:3个; ········ 1分

验证2:在镶嵌平面时,设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼

成一个周角.根据题意,可得方程:

60a?120b?360.

整理得:a?2b?6,

?a?2?a?4可以找到两组适合方程的正整数解为?和?. ······ 3分 b?2b?1??

结论2:镶嵌平面时,在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或 者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角,所以同时

用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.4分

猜想3:是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶

嵌? ········ 5分

验证3:在镶嵌平面时,设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形

的内角可以拼成一个周角. 根据题意,可得方程:

60m?90n?120c?360,

整理得:2m?3n?4c?12,

?m?1?可以找到惟一一组适合方程的正整数解为?n?2. ········ 7分

?c?1?

结论3:镶嵌平面时,在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正

六边形的内角可以拼成一个周角,所以同时用正三角形、正方形和正六边

形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.

(说明:本题答案不惟一,符合要求即可.) ······· 10分

1.

5

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