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数学问题解答

发布时间:2013-12-25 15:47:20  

64数学通报 2007年 第46卷 第1期

数学问题解答

2006年12月号问题解答(解答由问题提供人给出)

1646 如图,设D是正vABC边BC上一点,设I1、I2分别为vABD、vACD的内心,vI1I2E是正三角形,E,D位于直线I1I2两侧,求证:DELBC.

(浙江省苍南县江南高中 闵飞 325804

)

PO2,延长O1I1、O2I2交于F,其余辅助线如图因为NAO2D=2NC=120b,NAI2D=90b+NC=120b,NB=60b,知O2、I2均在PO1上,同2

理O1、I1均在PO2上,故vAO1O2、vDO1O2均是正三角形.

因为NAI2O2=NADO2=30b=NI1AI2,所以AI1MO2I2,又O1AMO2D.所以NO1AI1=NDO2I2.

又由A、O1、I1、D四点共圆知NO1AI1=NO1DI1,所以NO1DI1=NDO2I2,同理NDO1I1=NI2DO2.又O1D=DO2,所以vO1DI1TvDO2I2.所以O1I1=DI2,O2I2=DI1.又NDI1O1=180b-NO1AD=150b,且因为NEI1I2=60b,

证 设vABC、vACD的外接圆为PO1、

所以NO1I1E+NDI1I2=90b.又NDI2I1+NDI1I2=90b,

一组有趣的数字(转载)

王世强抄

下面是抄自互联网的一组有趣的数字(我于2006年6月24日抄自/百度0网的/贴吧0中).不知其是根据数学理论而得?还是用电脑编程序经太量计算而得?还是二者相结合而得?(若有读者知道是怎么来的,请示知笔者.)

令a=123789,b=561945,c=642864,d=242868,e=323787,f=761943.

则有a+b+c=d+e+f及a+b+c=d2+e2+f2.

若把a,b,c,d,e,f的最高位数字都去掉,即:令a1=23789,b1=61945,c1=42864,d1=42868,e1=23787,f1=61943.

2

则仍有a1+b1+c1=d1+e1+f1及a21+b1+222

c21=d1+e1+f1.

2

2

2

再把a,b,c,d,e,f的最高两位数字都去掉,即:

令a2=3789,b2=1945,c2=2864,d2=2868,e2=3787,f2=1943.

22

仍有a2+b2+c2=d2+e2+f2及a22+b2+c2

22

=d22+e2+f2.

若把a,b,c,d,e,f的最高3位,4位数字去掉,仍有类似现象.

最后,若把a,b,c,d,e,f的最高5位数字去掉,即:

令a5=9.b5=5,c5=4,d5=8,e5=7,f5=3.

22

仍有a5+b5+c5=d5+e5+f5及a25+b5+c5

22

=d25+e5+f5.

所以NO1I1E=NDI2I1.且因为O1I1=DI2,I1E=I1I2,所以vO1I1ETvDI2I1

所以NEO1I1=NI1DI2=90b.同理NEO2I2=90b.

所以E、O1、F、O2四点共圆且EF为圆的直径.1前已证AI1MO2I2,则NO1FO2=NO1I1A=NO1DA=30b.且vO1DO2为正三角形.所以D为vO1FO2的外心.由1、o知E、D、F共线.在vO2DI2中,由NDI2O2=150b知NO2DI2+NDO2I2=30b.因为NO2DC=NI2DC+NO2DI2

=NADI2+NO2DI2

=NADO2+NO2DI2+NO2DI2

=30b+2NO2DI2.

由NDO2F=NDFO2,有

NFDC=180b-NO2DC-2NDO2F=150b-2NO2DI2-2NDO2F=90b,

所以FDLBC.

?o?

1+4sin50bcos20b-cos20b

1648 如图,已知两个半径不相等的PO1与PO2相交B=50b-arctan

于M、N两点,且PO1、PO2分别与PO内切于S、T两点,H是直线MN上的一点,求证:OHLMN的充分必要

条件是NMTH=NNTS.

(江苏连云港市杨集中学 尹广金 222221)

证 作出PO1、PO的外公切线SP与PO2、PO的外公切线TP且相交于点P,则点P在PO1、PO2的根轴MN上.

连结OP交ST于点Q,则OPLST于Q,且PT2=PQ#PO.

令PM交ST于点R,若

OHLMN,则O、Q、R、H四点共圆,而有PQ#PO=PR#PH,即有PT2=PR#PH,故NTPR=

=,又PRPT

NHPT,而有vPTRVvPHT,于是

由?、?知DELBC

1647 如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O,已知:NDAO=30b,NBAO=40b,NACB=80b,NABD=10b.试用20b、50b的三角函数表示NACD、NBDC的大小.

(安徽安庆一中 罗志强 246000

)

解 设NACD=A,NBDC=B,则有A+B=50b.

在vCOD中,

=.sinAsin50b

1

NPTR=NPHT,注意到NPTN=NPMT,即有NNTS=NPTR-NPTN=NPHT-NPMT=NMTH.必要性证毕,下面证明充分性.

注意到NNTS=NMTH,NPTN=NPMT,即有NPTR=NPTN+NNTS=NPMT+NMTH=NPHT,又NPTR=NPOT,而有NPHT=NPOT,故P、O、H、T四点共圆.因而有NPHO=NPTO=90b,于是OHLMN.

1649 设vABC的三边长分别为a、b、c,外接圆和内切圆半径为R、r,面积为v,半周长为s,求证:22)(1-)(1-)[.(1-2s2s2sv2

(山东省惠民师范学校 胡斌 251700)证 由余弦定理和平均值不等式知a=b+c-2bccosA

=(b+c)2-2bc(1+cosA)=(b+c)2-4bccos2\(b+c)-4(

2

2

2

2

=.osin30bsin50b由1Ao得:=2sinA.?

CDADBD

在vABD中,=.?

sin10bsin70b在vBCD中,=.?

sin50bsin(A+80b)由?A?得:=把?代入得:

CDsin10bsin70b

2sinAsin50bsin70b=sin10bsin(A+80b)

Z(4sin50bcos20b-2sin210b)#sinA=sin20bcosA

sin20b

ZtanA=

1+4sin50bcos20b-cos20b

故A=arctan

c在vAOD中,

2

22)cos22A

=(b+c)2sin2.

2

所以a\(b+c)sin==,

22cos4Rcos

即\b+c

cos

A2

.=F[(x2-x1+=F(x2-=F(x2-=F(x2-因为x2>

同理\

c+a

,\.a+bcoscos

2264R3

所以

(b+c)(c+a)(a+b)

\.

ABCcoscoscos

222

又因为在vABC中,有

ABC1coscoscos=(sinA+sinB+sinC)

2224

=,

8R

64R38R

所以\,

(b+c)(c+a)(a+b)a+b+c即[8R2,

a+b+c

(2s-a)(2s-b)(2s-c)2R2

亦即[.

(2s)3s2

22

所以(1-)(1-)(1-)[.

2s2s2sv2

当且仅当vABC为正三角形时取等号.

1650 定义在R上的函数F(x)1

F(x+y)+1=F(x)+F(y),F=0.当x>

2

时,F(x)<0,试判断函数y=F(x)的单调性.2

(重庆八中 陶兴模 400030)

解 令x=y=0,则F(0)+1=F(0)+F(0)]F(0)=1.

令y=-x,则F[x+(-x)]+1=F(x)+F(-x)]F(0)+1=1+1=F(x)+F(-x)]F(-x)=2-F(x).

对任意的x1、x2IR,设x2>x1,则F(x2)=F[(x2-x1)+x1]=F(x2-x1)+F(x1)-1]F(x2)-F(x1)=F(x2-x1)-1=F[(x2-x1)+

-]-122

)+(-)]-1

22x1+)+F(-)-2

2211x1+)+[2-F]-2

22x1+)

2

x1,所以x2-x1+>,

22

F(x2-x1+

)<02

]F(x2)-F(x1)<0,F(x2)<F(x1).所以,

2007年1月号问题

函数y=F(x)在R上单调递减.(来稿请注明出处)编者)

1651 已知x、y、zIR+,nIN,求证:

++[

nx+y+zx+ny+zx+y+nzn+2

(陕西省绥德中学 刘永春 718000)1652 vABC中,求证:sin

ABBCCA3cos+sincos+sincos[2222224

(山东省高青二中 董林 256300)

2

1653 vABC中,D为BC边上的点,vABD、vACD的内切圆半径相等,求证:SvABC=AD的充分必要条件是NA=90b

(安徽潜山二中 琚国起 246300)

1654 某建筑物内有一个水平直角形过道,两过道宽度均为m米,有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角形过道,若该设备水平截面矩形的宽为r米,长为L米(m>r>0),试找出该设备能水平移进拐角过道的条件

(浙江省三门中学 邬天泉 317100)

1655 设T是一个周长为1的三角形,a、b、c为T的三边长,证明:

[a2+b2+c2+4abc<

227

(山东枣庄市第三中学 黄丽生 277100)

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