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2013年四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其解析

发布时间:2013-12-26 09:45:41  

2013年四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其解析

(考试时间:2013年3月24日上午8:45—11:15)

一、选择题(本大题满分42分,每小题7分)

1、设1?x?

3,则x?1?x?3的最大值与最小值的和

( ) (A)

0 (B)1 (C

)2 (D)3

解析:由条件1?

x?3,可得x?1?x?3?2x?4,当x?1,得最小值-2,当x?3,得最大值2,故选A

1

= ( ) x?y

2、设x?y是不超过x的最大整数,求

(A2 (B2 (C1 (D1

解析:易得

y?22,故选B.

3、如图,已知在四边形ABCD中,∠ACB=∠BAD=105°,∠ABC=∠ADC=45°,则∠CAD=( )

(A)65° (B)70° (C)75° (D)80°

解析:此题由三角形内角和及角的构成容易得,答案为C.

4、由1、2、4分别各用一次,组成一个三位数,这样的三位数中是4的倍数的三位数共有 ( )

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

解析:是4的倍数必然个位数不能是1,再将124、142、214、412试除以4,便可得答案为B.

?3x?2?z?5

5、已知:x,y,z为三个非负实数,且满足?,设s?

3x?y?7z,则s的最大值

?2x?y?3z?1

是( )

1571

(A)? (B) (C) ? (D)?

117511

解析:由方程组解出?

?x?7z?337,由x,y非负实数,可解得?z?,

711?y?7?11z

∵s?3x?y?7z?3(7z?3)?7?11z?7z?3z?2,取z?

7

代入即可求得,答案为A 11

6、如图,∠DAP=∠PBC=∠CDP=90°,AP=PB=4,AD=3,则BC的长是( )

324141(A) (B)16 (C) (D) 332

解析:延长DP交CB延长线于点E,如图,由三角形全等可证PE=DP,AD=BE,由勾股定理可求DP=5,故DE=10,再由△EBP∽△EDC,可得EBEP?EDEC,求得EC=505041,BC=EC-EB=-3=,答案C 333

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

?3x?3?6x?a1、关于x的不等式组?的解是1?x?3,则a的值是 x?1?

解析:解不等式组得1?x??3?a?3?a,故?3,?a??12 33

2、如果p与8p2?1都是质数,则p?解析:考虑到是初二竞赛,试值可求得P=3

3、设x,y为两个不同的非负整数,且xy?2x?y?13,则x?y的最小值是解析:∵x,y为两个不同的非负整数,∴0?2x?13,故x取0~6的整数,代入再求符合条件的y,

符合条件的整数解只有??x?0?x?2?x?4,?,?三组,故x?y的最小值为5. y?13y?3y?1???

4、如图,已知ABCD为正方形,△AEP为等腰直角三角形,∠EAP=90°,且D、P、E三点共线,若EA=AP=1,

DP=

解析:连结BE,易证△AEB≌△APD,故PD=EB,∠APD=∠AEB。

∵△AEP为等腰直角三角形,∠EAP=90°

∴∠AEP=∠APE=45° ∴∠APD=135° 故∠AEB=135°

∴∠PEB=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°

可求

,再由勾股定理可求得

所以

三、(本大题满分20分)

设实数k满足0?k?1,解关于x的分式方程

解 ∵2k1k?1 ?2?x?1x?xx2kx1(k?1)(x?1)2k1k?1 ∴ ?2??2?(x?1)xx?xx(x?1)x?1x?xx

∴2kx?1?(k?1)(x?1)…………………………………………………………5分 ∴(k?1)x??k ,又∵0?k

∴x

当k?1 ?k …………………………………………………………10分 1?k1时,x?1为增根,原方程无解………………………………………15分 2

1k当0?k?1且k?时,原方程的解是x?…………………………………20分 21?k?

四、(本大题满分25分)

已知一次函数y?kx?b(k?0)的图像与x轴的正半轴交于E点,与y轴的正半轴交于F点,与一次函数y?2x?1的图像相交于A (m,2),且A点为EF的中点.

(1)求一次函数y?kx?b的表达式;

(2)若一次函数y?2x?1的图像与x轴相交于P点,求三角形APE的面积。 解析:∵函数

∵ A(y?2x?1过点A (m,2) ∴m?33 A点坐标(,2)……………………5分 223,2)点为EF的中点. ∴E(3,0) F(0,4) ………………………………10分 2

4∴ 一次函数解析式为y??x?4 ……………………………………………15分 3

∵一次函数

∴ P(y?2x?1的图像与x轴相交于P点, 1,0) ………………………………20分 25 如图:所以PE=, PE边上的高为2, 2

515 ∴S???2??…………………………………25分 222

五、(本大题满分25分)

如图,已知AB=AC,∠BAC=∠CDE=90°,DC=DE,F是BE的中点,求证:FA=FD且FA⊥FD 解析:连结AF、DF,并延长AF至G,使FG=AF,

连结DG、EG

?

∵?BF?EF??AFB??GFE

??FG?FA

∴△AFB≌△GFE

∴AB=GE ,∠B=∠FEG……………………5分

∵ABED为四边形,且∠BAC=∠CDE=90°,

∴∠B+∠FED+∠CAD+∠CDA=180°,

又∵∠C+∠CAD+∠CDA=180°

∴ ∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED………………10分

又因为GE=AB=AC,CD=ED

∴ △ACD≌△GED…………………………………15分

∴AD=GD,∠ADC=∠GDE

而AF=GF

∴AF⊥DF…………………………………20分

又∵∠GDE+∠GDC=∠CDE=90°

∴ ∠ADC+∠GDC=90° 即∠ADG=90°

∴DF=AF…………………………………25分

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