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讲最大公约数和最小公倍数

发布时间:2013-12-26 14:47:09  

最大公约数和最小公倍数(一)

[知识导学]

公约数,公倍数问题是生活中经常遇到的问题,也是各种数学竞赛喜欢涉及的问题,学好他们以后的学习将十分有帮助。

(1)理解约数、倍数、公约数、公倍数、最大公约数和最小公倍数等概念。

①整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而余数为零,我们说,a能被b整除,a就叫做b的倍数,b叫做a的约数。一个数的约数的个数是有限的,最小的约数是1,最大的约数是它本身。

②几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数,其中最大的一个叫这几个数的最大公约数。a、b的最大公约数是m,就记作(a,b)=m。

③几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。a、b的最小公倍数记作[a,b]。

(2)一个数的倍数是无限的,最小的是它本身;n个数的公倍数也是无限的,没有最大公倍数。

(3)0是任何自然数的倍数。

[典型例解]

[例1]有三根木棒,长度分别是1.5米、2.4米、1.8米,王师傅想把他们截成长度相等的小段。为了最大限度地利用材料,每小段最长多少分米?一共可以截成多少段?

【分析】为了方便,可以把1.5米、2.4米、1.8米化为以分米作单位的数,要截成相等的小段,且无剩余,每段长度应该是15,24,18的公约数,每小段最长即为15,24,18的最大公约数。

【解答】15,24,18的最大公约数是3,所以每小段最长是3分米。

15÷3+24÷3+18÷3=19(段)

答:每小段最长是3分米,一共可以截成19段。

[举一反三1]

①有一个长方形木块,长是45厘米,宽是36厘米,高是24厘米,要把他切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,所切正方形棱长最大是多少厘米?

②有三根铁丝,一根长54米,一根长72米,一根长36米,要把它截成同样长的小段,不许 1

有剩余,每段最长多少米?

③把长宽分别为135厘米,105厘米的长方形纸板截成同样大小的正方形而没有剩余。这些正方形纸板的最大边长是多少?

[例2]加工一种零件有三道程序,第一道工序每个工人每小时完成48个,第二道工序每个工人每小时可完成32个,第三道工序每个工人每小时完成28个。在每道工序至少安排多少工人才能搭配合理,使每道工序不产生积压或停工待料?

【分析】要搭配合理,就是要在每小时内使各道工序加工出的零件数相同,为此需求出48,32,28的最小公倍数,再求各道工序安排多少人。

【解答】因为[48,32,28]=672

所以第一道工序安排672÷48=14(人)

第二道工序安排672÷32=21(人)

第三道工序安排672÷28=24(人)

答:第一道工序安排14人,第二道工序安排21人,第三道工序安排24人,可以使每道工序不产生积压或停工待料。

[举一反三2]

①加工一种零件经过三道工序:第一道工序每个工人每小时可加工6个,第二道工序每个工人每小时可加工8个,第三道工序每个工人每小时加工12个。要使流水线正常工作,各道工序至少安排几个工人最合理?

②要设计一种底面为正方形的货箱。用来存放四种不同规格的正方体纸盒,这四种纸盒的边长分别是21厘米,12厘米,14厘米和10.5厘米。要使这个货箱不论哪种纸盒都正好铺满纸面, 2

问货箱的底面边长至少多少厘米。

③加工一种零件要经过三道工序:第一道工序每个工人每小时可加工3个,第二道工序每个工人每小时可加工5个,第三道工序每个工序每个工人每小时可加工6个。要使流水线正常生产,各道工序安排几个工人最合理?

[例3]有一种自然数,它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍数,加4是5的倍数,加5是6的倍数,加6是7的倍数。则这种自然数除1外,最小是多少?

【分析】由题意知,这种自然数分别除以1,2,3,4,5,6,7都余1,如果这种自然数减去1,分别是2,3,4,5,6,7的倍数,再由这种自然数除1以外的最小值的条件,可知它是2,3,4,5,6,7的最小公倍数加1的数。

【解答】[2,3,4,5,6,7]=420

所以,这个最小数是421.

[举一反三3]

①甲、乙两数的乘积是1815,它们的最大公约数是11,求这两个数。

②甲、乙两个数的成积是2100,它们的最大公约数是10,求这两个数。

3

③甲、乙两个数的和是150,它们的最大公约数是30,求这两个数。

[例4]把一批苹果分给幼儿园大小两个班,平均每人可分得6个,如果只分给大班,每人可分得10个,如果只分给小班,每人可分得几个苹果?

【分析】由“每人分得数×人数=苹果总数(不变)”的关系式得:

6×人数(两班人数和)=苹果总数

10×人数(大班人数)=苹果总数

这说明苹果总数是6与10的公倍数,其最小公倍数为30.

【解答】[6,10]=30

设苹果总数为30a个(a为自然数),则大小两班人数和为:30a÷6=5a(人)

大班人数为:30a÷10=3a(人),小班人数为:5a-3a=2a(人)

所以,如果只分给小班,每人可分得:30a÷2a=15(个)。

[举一反三4]

①把400个苹果和262个橘子平均分在若干个水果篮里,水果篮的个数在30~50之间。分到最后苹果少20个,橘子多10个。有多少个水果篮?

②把123块饼干和65块糖平均分给幼儿园的小朋友,小朋友的人数在25~55之间。分到最后饼干多3块,糖多5块。一共有多少位小朋友?

③把330支铅笔和212块橡皮平均装成若干个相同的礼品袋,礼品袋的个数在20~30之间。最 4

后铅笔少6支,橡皮多2块。一共有多少个礼品袋?

[例5]光华小学向灾区小朋友捐赠钢笔320支,练习本200本,铅笔240支。将这些物品装成数量相同的礼品袋,送给灾区的小朋友,袋数要最多。可装多少袋,每袋三种文具各多少?

【分析】“礼品袋数量相同”说明分成的礼品的袋数是三种文具数量的公约数,“袋数要最多”就是求三种文具数量的最大公约数。

【解答】(320,200,240)=40

每袋钢笔的支数:320÷40=8(支)

每袋练习本的本数:200÷40=5(本)

每袋铅笔的支数:240÷40=6(支)

答:可装40袋,每袋中钢笔、练习本、铅笔分别为8支、5本、6支。

[举一反三5]

①为庆祝“六一”儿童节,学校买了红花180多,黄花234多,白花360朵。把这些花扎成三色的花束,所有花束里的红花朵数相同,黄花朵数相同,白花朵数也相同,至少可扎几束花正好把花用完,每束中的红花、黄花、白花各几束?

②用96朵红花和72朵白花做成花束,如果各花束里红花的朵数相同,白花的朵数也相同,每束花里最少有几朵花?

5

③用自然数a去除233,205和163,所得到的余数相同,问a最大是多少?

[整合集训]

1、公路上一排电线杆,共25根,每相邻两根间的距离都是45米。现在要改成60米,可以有几根不移动?

2、一个公共汽车站,五路车分别每隔3,5,9,10,15分钟发一次,第一次同时发车后,再过多少分钟又同时发第二次车?

3、有甲、乙两个互相咬合的齿轮,甲轮有437齿,乙轮有323齿。甲的某一齿与乙的某一齿从第一次接触到第二次接触,需要各转几周?

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4、有320个苹果,240个裤子,280个梨,用这些苹果最多能装成多少份同样的礼物?在每份礼物中,苹果、橘子、梨各有多少个?

5、有4个自然数,它们的和是1111,。如果这4个数的公倍数尽可能的大,问这4个自然数各是多少?

6、甲、乙两数只含有2,3这两个质因数。甲数有21个约数,乙数有10个约数。它们的最大公约数是18,求甲、乙两数。

挑战

甲、乙两人在圆形跑道上从同一点A出发,按相反方向跑步,它们的速度分别是4米/秒和6米/秒,如果他们同时出发并当他们在A点第一次相遇时结束,那么他们从出发到结束共相遇多少次?

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