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明德中学数学竞赛自主班试卷

发布时间:2013-12-26 15:46:52  

长沙市明德中学高中数学竞赛阶段测试题 高二竞赛班数学试题

姓名 班级 性别

考生注意: 1.本试卷共28题,满分150分,附加题10分. 2.首先填写年级、班级、性别. 3.用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写.4.禁止使用计算器

一、选择题(本大题共15个小题,每小题4分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.对a?R,集合M??xx?a,a?R? , N??x?a?x?a,a?R?,则M、N 的关系为( )

A M?N B M?N C M=N D 无法确定

2.已知f(x)?k2x??2kx?2?3x?9(k?0)的值域为?a,b?,若不等式n?f(x)?m对一切实(a,b为常数)

数x都恒成立,则n?m的最大值为( )

A -8 B -6 C 8

D 4

3.若关于

x的不等式x2?ax?6a?0有解,且解集的区间不超过5个单位,满足上上述条件的a的最大值为Ma,最小值为ma,则Ma?ma?( )

A 1 B 24 C 25 D 26

4.已知函数

f(x)?2 ) x?6

3 B ??1,?1 C ?1,?3 D ??3,?1 A ??1,?

x??

5.函数f(x)?4

2x?cosx2)?2x2?x的最大值与最小值的和是( )

A 1 B 2 C -2 D 0

6.已知数列?an?,a1?1,Sn?1?4an?2(n?1),则a2013?( )

A 3019?22012 B 3019?22013 C 3018?22012 D 3018?22013

7.设实系数一元二次方程x2?ax?2b?2?0有两个相异的实根,且其中一根在(0,1)内,另外一根在(1,2)内,则b?4的取值范围( ) a?1

?12? A ?,? B ?23??13??,? C ?22?

2004??8.若?x

?表示不超过的最大整数,则?为( )

i?2?3??1,? D ?2??1??,1? ?2?

A 2003 B 2004 C 2005 D 2006

9.设函数f(n)?k,其中n?N?,k表示0.1495172890小数点后的第n位数,例如f(3)?9,设fn?1(x)?f1(fn(x)),则f2007(6)的值是( )

A 1 B 2 C 4 D 7

10.选定数列?an?,使得an?an?1?an?2(n?3,n?N?)且a1??a,a2?b(a?b?0),又a17?8,a18?1,则(a,b)的值为( )

A ?7,8? B ?7,6? C ?7,5? D ?3,1?

11.函数f(x)?x?ax?bx?cx?d,若f(1)?1,f(2)?2,f(3)?3,那么f(0)?f(4)的值为( )

A 4 B 16 C 28 D 32

12.对于函数y?f(x)(x?R),如果对于一切实数x都恒有f(x?a)?f(a?x)?2b(a,,b为实常数),则称点(a,b)为函数y?f(x)的对称中心,则函数f(x)?x3?2x2?3x?4的对称中心为( ) 432

A

?270??70 B ?,???,??327??272?? D ?2,?1? ? C ??1,23?

13.现有6名学生有新年贺卡6张,把所有贺卡放到一个不透明的盒子里,之后每人都从盒子里拿1张贺卡,则这6个学生拿的贺卡与自己手上原来贺卡不同的方法总数为( )

A 265 B 120 C 720 D 285

16a24b24c2

14.对于一切正实数的a,b,c恒有不等式k(2a?b?c)?成立,则正常数k的最大值( ) ??b?c2a?c2a?b

A 2 B 4 C 5 D 6

15.在?ABC中,点D为BC的中点,DM平分?ADB交AB于点M,DN平分?ADC交AC于点N,则MN与 BM?CN的关系为( )

A MN?BM?CN B MN?BM?CN C MN?BM?CN D 无法确定

二、填空题(本大题共6个小题,每小题2分,共12分)

16.有界数列?an?满足a1?1,且an?2?2an?1?an(n?N?),则an?_____________.

17.已知函数f(x)?ax3?bx2?cx?d图象关于直线y?x对称,则实数a,b,c,d满足的条件是_____________. 18.?tan2(179???)(??R,且?为非零常数)?_____________.

i?0179

19.已知正实数x,y,z满足x?2y?z?7,则方程log2(x3?8y3?z3)?log2(6xyz)的解?x,y,z?=_____________.

20.已知一元二次函数f(x)?ax2?bx?c(a,b,c为常数,且 a?0),若方程f(x)?x2?x?1至少有两个不同的实数解,则实数a,b,c满足的条件是___________________________.

21.已知数列an?cosn5??7??cosn?cosn(n?N?),则an的递推公式为____________________. 999

三、解答题(本大题共7个小题,第22题至第24题,每题10分,第25道题至第28题,每题12分,共78分).

?x?y?z?3?22.在复数范围内解方程组?x2?y2?z2?3.

?x5?y5?z5?3?

23.已知 a,b,c?R?,求ab9c的最小值. ??b?3c8c?4a3a?2b

24.求证:对一切n?N?,都有2n2n13n?1成立. ???3n?1k?n?1k4(n?1)

a3?b3?c3

25.设为a,b为Rt?ABC的两条直角边边长,c为斜边长,求使得不等式?k对一切符合条件的abca,b,c恒成立的k的最大值.

26.已知正项数列?an?满足:a0?1,an?an?1?an?2(n?0,1,2,?).

(1) 求数列?an?的通项公式.

(2) 求a3.

27.已知数列?an?的通项公式an?

(1) 求证:???11

231(n?N?) n1?n对一切正整数n恒成立 . 2n2

11

231?n(k?2),则必有k?2n. k (2)求证:对每一个给定的的正整数n,若????

?1?28.设函数fn(x)?xn(1?x)2在?,1?的最大值为an(n?1,2,3,?) ?2?

(1) 求数列?an?的通项公式.

(2) 求证:对任意正整数n?2,都有an?1. (n?2)2

(3) 设数列?an?的前n项和Sn,求证:对任意正整数n,都有Sn?

7. 16

四、附加题(本大题为选做题,满分10分)

现有长度为150cm的铁丝,要截成n(n?2)小段,每段的长度为不小于1cm的整数,如果其中任意的3个小段都不能拼成三角形,求n的最大值,并且在n取最大值时,找出所有的截断方法.

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