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明德中学数学竞赛培训第7讲 不等式(1)

发布时间:2013-12-27 09:45:12  

第七讲 不等式(1)

一、知识要点:

(1)不等式的解法:有理数不等式 无理不等式 指、对数不等式 绝对值不等式

(2)不等式证明

常用方法:代数,函数,几何法

常用手段:作差 换元 放缩

常用的推理方式:演绎推理 综合法 分析法 综合分析法 归纳推理 反证法 构造法

(3)不等式恒成立问题与能成立问题

二、例题剖析

2x2?10x?11例题1:解不等式2?1. x?6x?8

例题2:若x?1?2x?3?3x?4?a对一切实数x恒成立,求的取值范围.

例题3:已知函数f(x)?

例题4

?

例题5:设a,b

为正实数,??(a?b)2?4(ab)3,则logab.

例题6:(2009年上海交大)设不等式x(x?1)?y(1?y)与x2?y2?k的解集为M,N,若M?N,则k的最小值是多少.

例题7:(2010年南开大学特长班)求证:n?2时,n!?(n?1n). 21a1b1?11x?,解不等式f?x(x?)?? ?log1x?12?x2?2?31. 2

例题8:(2010浙江大学)有小于1的n(n?2)个正数x1,x2,??xn,且x1?x2????xn?1,求证:

例题9:(2008浙江大学已知x?0,y?0,a?x?

y,b?

,c?是否存在正数m,使得对于任意的正数x,y可使a,b,c为三边构成的三角形?如果存在,求111?????4. x1?x13x2?x23xn?xn3

出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.

例题10:(2009年清华大学)已知x,y是实数,且x?y?1,求证:对于任意的正整数n,x2n?y2n?122n?1.

例题11:设a1,a2,a3,??an,b1,b2,b3??bn均为实数,且b12?b22?b32???bn2?0,求证:(b12?b22?b32???bn2)(a12?a22?a32???an2)?(a1b1?a2b2???anbn)2.

补充:类似于例题11的方法证明柯西不等式.

例题12: 设a,b,c是实数,求对任意的实数x,不等式asinx?bcosx?c?0恒成立的充要条件.

例题13: 已知当x??0,1?时,不等式xcos??x(1?

x)?(1?x)sin??0恒成立,试求实22

数?的取值范围.

例题

14:若在闭区间?0,1?上不等式,(1?px)(1?x)?x?x?3x?1?(1?qx)(1?x)恒32

成立,试求p与q的取值范围.

例题15:已知函数f(x)?4x?ax2?x3,其中a???1,1?为常数,设关于的方程f(x)?2x?x3的两个非零实数根为x1,,x2,试问是否存在实数m,使得不等式m2?mt?1?x1?x2对于任意的a???1,1?及t???1,1?恒成立,若存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由.

三、习题演练

1.

. ?2313

10x2?20x?182.解不等式?x3?5x. 3(x?1)

3.已知满足关于x的不等式x2?4x?p?x?3?5的最大的x为3,求此不等式的解集.

4.给定一个实数a,解关于x

1.

5.求最小的自然数k,使得对于任意的x??0,1?及n?N?,不等式xk?1?x??

6.已知f(x)?2x?2a?,其中,常数a??0,4?,求出所有的实数k,使对任意x1,x2?R?,2xxn1. (1?n)3

恒有f(x1)?f(x2)?kx1?x2.

??aax

7.使得对于所有的正实数a,b,c,d都有?3成立的x等于多少? ??xxxxa?15bcda?b?c?d??312

8.设x,y,z?0,x?y?z?

3xy?yz?xz.

9.已知a,b,c?R?,且

10. 已知x

n?(1?),yn?(1?)

abc111???1,求证:2?2?2?12. 1?a1?b1?cabc1n1n?1 (n?N?),(1)求证:xn?xn?1?3(2)yn?yn?1?2.

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