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第一个专题 排队问题

发布时间:2013-12-28 13:01:03  

第一个专题 排队问题

重点解决:

1、如何确定元素和位置的关系

元素及其所占的位置,这是排列组合问题中的两个基本要素。以元素为主,分析各种可能性,称为“元素分析法”;以位置为主,分析各种可能性,称为“位置分析法”。

例:3封不同的信,有4个信箱可供投递,共有多少种投信的方法?

分析:这可以说是一道较简单的排列组合的题目了,但为什么有的同学能做出正确的答案 43(种),而有的同学则做出容易错误的答案 34(种),而他们又错在哪里呢?应该是错在“元素”与“位置”上了!

法一:元素分析法(以信为主)

第一步:投第一封信,有4种不同的投法;

第二步:接着投第二封信,亦有4种不同的投法;

第三步:最后投第三封信,仍然有4种不同的投法。

因此,投信的方法共有:43(种)。

法二:位置分析法(以信箱为主)

1第一类:四个信箱中的某一个信箱有3封信,有投信方法 C4(种);

第二类:四个信箱中的某一个信箱有2封信,另外的某一个信箱有1封信,有投信方法 C32P42 种 。

第三类:四个信箱中的某三个信箱各有1封信,有投信方法 P43 (种)。

因此,投信的方法共有:64 (种)

小结:以上两种方法的本质还是“信”与“信箱”的对应问题。

2、如何处理特殊条件——特殊条件优先考虑。

例:7位同学站成一排,按下列要求各有多少种不同的排法;

甲站某一固定位置;②甲站在中间,乙与甲相邻;③甲、乙相邻; ④甲、乙两人不能相邻; ⑤甲、乙、丙三人相邻;⑥甲、乙两人不站在排头和排尾;⑦甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻;⑧甲、乙两人必须相邻,且丙不站在排头和排尾。

第二个专题 排列、组合交叉问题

重点解决:

1、先选元素,后排序。

例:3个大人和2个小孩要过河,现有3条船,分别能载3个、2个和1个人,但这5个人要一次过去,且小孩要有大人陪着,问有多少种过河的方法? 分析:设1号船载3人,2号船载2人,3号船载2人,小孩显然不能进第3号船,也不能二个同时进第2号船。

法一:从“小孩”入手。

第一类:2个小孩同时进第1号船,此时必须要有大人陪着另外

2个大人同时进第2号船或分别进第2、3号船,先选3个大人之一进1号船,

1有N1?C3?1?P22??9 (种)过河方法

第二类:2个小孩分别进第1、2号船,此时第2号船上的小孩必须要有大人陪着,另外

2个大人同时进第1号船或分别进第1、3号船,有过河方法

1N2?P22C3?1?P22??18 (种)。

因此,过河的方法共有: N ? ? 9 ? 18 ? 27 (种)。 N ?N12 法二:从“船”入手

第一类:第1号船空一个位,此时3条船的载人数分别为2、2、1,故2个小孩只能分

别进第1、2号船,有过河方法 N1?P22P33?12 (种);

第二类:第2号船空一个位,此时3条船的载人数分别为3、1、1,故2个小孩只能同时进第1号船,有过河方法 N2?P33?6 (种);

第三类:第3号船空一个位,此时3条船的载人数分别为3、2、0,故2个

C2?小孩同时进第1号船或分别进第1、2号船,有过河方法 N3?C13?P22390

(种)。因此,过河的方法共有: N ? N ? N ? 12 ? 6 ? 9 ? 27 (种)。 N?

1、怎样界定是排列还是组合

例:①身高不等的7名同学排成一排,要求中间的高,从中间看两边,一个比一个矮,这样的排法有多少种?

②身高不等的7名同学排成一排,要求中间的高,两边次高,再两边次高,如此下去,这样的排法共有有多少种?

311?20种 ② p1答:① c62p2p2=8 种 123

本来①是组合题,与顺序无关,但有些学生不加分析,看到排队就联想排列,这是一个误区。至于②也不全是排列问题,只是人自然有高低,按人的高低顺次放两边就是了。

又例: 7名同学排成一排,甲、乙、丙这三人的顺序定,则不同排法有多少种?

分析,三人的顺序定,实质是从7个位置中选出三个位置,然后按规定的顺

34p4=840种。 序放置这三人,其余4人在4个位置上全排列。故有排法 c7

3、枚举法

三人互相传球,由甲开始传球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有

(A)6 种 (B)8 种 (C)0 种 (D)12 种

解:(枚举法)该题新颖,要在考试短时间内迅速获得答案,考虑互传次数不多,所得选择的答案数字也不大,只要按题意一一列举即可。

第三个专题 分堆问题 重点解决:

1、均匀分堆和非均匀分堆

丙丙乙

甲甲甲

关于这个问题,课本P146练习10如此出现:8个篮球队有2个强队,先任意将这8各队分成两个组,(每组4个队)进行比赛,这两个强队被分成在一个小组的概率是多少?

由于课本后面出现这样的练习题,所以前面应对这些问题有所分析,尤其为什么均匀分堆有出现重复?应举例说明。

例:有六编号不同的小球, ① 分成3堆,每堆两个

② 分成3堆,一堆一个,一堆两个,一堆三个 ③ 分成3堆,一堆一个,一堆一个,一堆四个

在①、②、③的条件下,再分别给三个小朋友玩,每人一堆,有多少种分法? 分析:①、②、③都是分堆,其中①是三个均匀分堆,有3!重复,③是两个均匀分堆,有2!重复,如此类推。②是非均匀分堆,不可能出现重复。在教学中应用数字表示球,通过列举法说明重复的可能,以及避免重复。

例:有六编号不同的小球, ① 分成3堆,每堆两个

② 分成3堆,一堆一个,一堆两个,一堆三个 ③ 分成3堆,一堆一个,一堆一个,一堆四个

在①、②、③的条件下,再分别给三个小朋友玩,每人一堆,有多少种分法? 分析:①、②、③都是分堆,其中①是三个均匀分堆,有3!重复,③是两个均匀分堆,有2!重复,如此类推。②是非均匀分堆,不可能出现重复。在教

学中应用数字表示球,通

过列举法说明重复的可能,以及避免重复。

22124答案:①C6C4 ② C 6 C 5 ③ C 6 ④再乘以P33 3!2、为什么有重复,怎样避免重复

例:从4名男生、5名女生中任选3人参加学代会,至少男生、女生各一名的不同选法有多少种?

有些学生这样想:先从4人中选一人,再从5人中选一人,最后在剩下的7

111人中选一人, 结果是 C 4 5C 7 ? 140 结果是错误的。因为后面的7人与C

前面已选的人可能出现重

2112复,正确的答案是 C 。 4C5?C4C5?70

又例:有4个唱歌节目,4个舞蹈节目,2个小品排成一个节目单,但舞蹈和小品要相隔,不同的编排有多少种方法?

有些学生这样想,先定位4个唱歌,有5个位插入小品两个位,此时有7个位再插入4个舞蹈,故的表达式是 P44P52P74 。

其实,这里又出现了重复,正确的列式是 P66P74?2P55P74

第四个专题 直接法和间接法的区别及运用

重点解决:

1、选择集合的元素有交集问题;

例:七人并坐一排,要求甲不坐首位,乙不坐末位,共有几种不同的坐法? 法一:直接法

第一类:甲在第2-6号位中选一而坐,接着乙在第1-6位中余下的5个位中

115择一而坐,剩下的任意安排 N 1 ? C 5 5P 5 ? 3000 (种); C

第二类:甲在第7号坐,剩下的任意安排,有坐法数N2?P66?720 (种)。

因此,不同的坐法数共有N ? N ? N ? 3000 ? 720 ? (种)。 3720

法二:间接法 12

七人并坐,共有坐法数 P77 (种)。甲坐首位,有 P66 种方法;乙坐末位,

亦有P66 种方法。甲坐首位、乙坐末位都不符合题目要求,所以应该从扣除,

但在扣除的过程中,甲坐首位且乙坐末位的情况被扣除了2次,因此还须补回一

2、选择元素中有至少、至多等问题。

在100件产品中,有98件合格品,2件次品,从100见产品中任意抽取3件,(1)至少有一件是次品的抽法有多少种?(2)至多有一件次品的抽法有多少种?

22答:(1)解法1: C100?C98?9604

1221C2C97?C2C97?9604个 P55 。因此,不同的坐法数有 N?P77?2P66?P55?3720(种)

解法2 :

312?C2C98?161602(2) C98

以上的处理,主要有如下几个好处:

①教学比较自然、流畅,容易对近似概念进行比较,找到其相同点和不同点,更深刻的从外延到内涵掌握概念及其数学意义。

②把相关概念弄清楚后,能给学生有足够的工具,使学生解决应用题时不在被工具而困扰,形成良好知识结构,解决问题的思路容易畅通

③重点突出,学生就比较容易把每一个难点和重点给予突破,减轻学生的负担又能实现学生的学习落到实处。

④在提高教学质量的前提下,又能提高效率

1.排列的定义:

2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中

An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)

?n!

(n?m)!mn个不同元素中取出m个元素的一个排列. 取出m个元素的一个组合. 3.排列数公式:

4.组合数公式: Cn

mAn(n?1)(n?2)?(n?m?1)?nm?m!Amm?n!m!(n?m)!排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.

例1 学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。8个学生,4个老师,要求老师在学生之间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法?

分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.

解 先排学生共有 A 8 种排法,然后把老师插入学生之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有 A 7 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 A 8 A 7 种.

插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可. 4848

例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.

解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,

3种不同的排法. 有 3 种排法,根据乘法原理,共有A 6 A A 6 种排法,其中女生内部也有A6363

捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.

例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?

分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.

解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有 7 种不同的放法,所以名额分配方案有 C 7 种. C1111

结论3 转化法(插拔法):对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.

例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?

分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.

解 把所有的硬币全部取出来,将得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.

3 1 115元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有C ?C?C 232310

种取法.

结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.

例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?

分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.

A 解 不加任何限制条件,整个排法有 9 种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语

文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 1 A 9种

例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.

解 43人中任抽5人的方法有 C 43 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有C 种,40

5种. 所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有 C 5 ? C 4340

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排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.

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