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2013年全国数学竞赛试题详细参考答案[1]

发布时间:2013-12-28 14:00:57  

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案

答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答.

2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 里.

1 ).

(A)7 【答】(解:因为1?, 2x所以2?22

(?)?(?)?3?022?22

另解:由已知得:?x,显然?2?y2,以?2,y2为根的一元二次方x

xx?(y2)?y2?3?0

?

程为t2?t?3?0,所以 (?

2222)?y??1,  (?)?y??3 22xx

422故4?y4=[(?2)?y2]2?2? (?2)?y2?(?1)2?2?(?3)?7 xxx

2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数y?x2?mx?n的图象与x轴有两个不同交点的概率是( ).

54117

(A) (B) (C) (D)

129236

【答】(C)

解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数. 由题意知

?=m2?4n>0,即m2>4n.

通过枚举知,满足条件的m,n有17对. 故P?17. 36

3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( ).

(A)6条 (B) 8条 (C)10条 (D)12条

【答】(B)

解:如图,大圆周上有4个不同的点A,B,C,D,两两连线

可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E,F中,至少有一

个不是四边形ABCD

D6当这64.已知AB

为一边在圆O内作正△(第3题)

ABC,点D为圆OO于点E,则

. AE的长为( )

(AOA,OB. 设?D??,则

?????EAC.

1??60??180??2???120???, 2

ABO,于是AE?OA?1.

EF,连结AF,以点B为圆心,AB作⊙B,因为AB=BC=BD,则点A,C,D都在⊙B 上, E(第4题) 11由?F??EDA??CBA??60??30? 22

所以AE?EF?sim?F?2?sim30??1 5.将1,2,3,4,5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ).

(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种

【答】(D)

解:设a1,a2,a3,a4,a5是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.

首先,对于a1,a2,a3,a4,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,

与已知条件矛盾.

又如果ai(1≤i≤3)是偶数,ai?1是奇数,则ai?2是奇数,这说明一个偶数后面一定要

接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.

所以a1,a2,a3,a4,a5只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5

2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3;

4,3,1,2

二、填空题(共56.对于实数u,vx?(a?x)??

【答】a?0,或解:由x?(a?依题意有 14

解得,a73分钟从迎面驶来一辆1818路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔分钟.

路公交车的速度是x米/分,小王行走的速度是y米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s米.

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则 6x?6y?s. ①

每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则3x?3y?s. ②

由①,②可得 s?4x,所以 s?4. x

即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.

(第8题)

8.如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,

AD是∠BAC 的平分线,MF∥AD,则FC的长为

【答】9.

解:如图,设点N是AC的中点,连接MN,则MN∥AB.

又MF//AD,所以 ?FMN??BAD??DAC??MFN,

1AB. 2

11因此 FC?FN?NC?AB?AC?9. 22所以 FN?MN?另解:如图,过点C作AD的平行线交BA的延长线为E,延长AE于点N.

则?E??所以AE?AC?即CF?EN?

9.△ABCI作DE∥BC,分别与AB,AC相交于点【答】16. 3

解:

BC边上的高为1ah?S (第9题答案)

ha?rDE?, haBC

所以 DE?

故 DE?ha?rraa(b?c)?a?(1?a)?(?a), ?hahaa?b?ca?b?c8?(7?)916?. 8?7?93

另解: ?S?ABC?rp??

a?b?c(这里p?)

22S?

ha?△ABC?所以r?? a12

DEha?r2???, BCha3由△ADE∽△ABC,得

即DE??216BC? 33

10.关于x,y的方程x2?y2?208(x?y)的所有正整数解为.

?x?48,?x?160,【答】? ??y?32,?y?32.

解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为04所得的余数为1,所以x,y都是偶数.

设x?2a,y?2b,则

a2?b2?104(a?b),同上可知,a,b都是偶数.设a?2c,b?2d,则

c2?d2,

所以,c,d都是偶数.设c?2s,d2t

s2?2?26(s?t),

于是 2?(?13)2=2?132,

其中s

s?13)2?2?132?(t?13)2≤2?132?152?112.

,3,5,7,9,进而(t?13)2为337,329,313,289,257,故只能

?s?6,?s?20,是(t??13=7.于是? ??t?4;?t?4,

,?x?16,0?x?48因此 ? ?,?y?32.?y?32

另解:因为(x?104)2?(y?104)2?2?1042?21632 则有(y?104)2?21632, 又y正整数,所以 1?y?43

令a?|x?104|,b?|y?104|, 则a2?b2?21632

因为任何完全平方数的个位数为:1,4,5,6,9

由a2?b2?21632知a2,b2的个位数只能是1和1或6和6; 当a2,b2的个位数是1和1时,则a,b的个位数字可以为1或9 但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数,与a2?b2的十位数字为3矛盾。 当a2,b2的个位数是6和6时,则a,b的个位数字可以为4或6。 由105?b?147,取b=106,114,116,124,126,134,136,144,146a2?b2?21632

?|x?104|?56

?x?48?x?160,?得,只有当b=136时,a=56,即? 解得? 32三、解答题(共4

11.在直角坐标系轴、y轴的正半轴分别交于A,B(1) 用b表示k(2) 求△OAB解:(1)令x?0

0. 所以A,B b??b?3,

k

,b?2.?????? 5分 bb(b?3)(b?2)2?7(b?2)?10? (2)由(1)知 S?b?(?)? 2kb?2b?2

?b?2?102?7?)?7?7?2, b?2当且仅当b?2?10时,有S?,即当b?2?,k??1时,不等式中的等号成立. b?2

所以,△ABC面积的最小值为7?2. ?????? 15分

12.是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px2?qx?p?0有有理数根?

解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令??q2?4p2?n2,

其中n是一个非负整数.则(q?n)(q?n)?4p2. ?????? 5分

由于1≤q?n≤q+n,且q?n与q?n同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形:

?q?n?2,

?2

?q?n?2p,

2

?q?n?4,

?2

?q?n?p,p?q?n?, ?

p?q?n?4,p?q?n?p2,?q?n?2,

? ?

p?q?n?4.?q?n?2,

p25pp2

消去n,解得q?p?1, q?2?, q?, q?2p, q?2? 10分

222

对于第1,3种情形,p?2,从而q=5;对于第2,5种情形,p2q=4(不合题意,舍去)

又当p?2,q=5?2,它们都是有理数.

★12、已知a,bx1,x2,

关于y的方程yx1?y1?x2?y2?2008. 求b的最小值.

另解a, y1?y2?b

2

?y1?y2??2a即??y1?y2?b?(?x?y1??x11??x2

解得:? ?

?y2?y2??x1

(?x1)?x2?(?x2)?2008 把,x1?y1?x2?y2?2008 得x1?(?x2)?x2?(?x1)?2008(不成立) 或x1?

即x2?x1?2008,(x2?x1)(x2?x1)?2008

因为x1?x

2?2a?0, x1?x2?b?0 所以x

1?0, x2?0

于是有 2a?2008 即a?502?1?502?2?251

22

?a?1?a?505?a?2?a?251因为a,b都是正整数,所以?2 或?2或?2或?222?a?b?502?a?b?1?a?b?251?a?b?4

?a?1?a?502?a?2?a?251分别解得:? 或?或?或?2222?b?1?502?b?502?1?b?2?251?b?251?4

?a?502?a?251经检验只有:?符合题意. , ?22?b?502?1?b?251?4

所以b的最小值为:b最小值?251?4=62997

13倍的△ABC?证明你的结论.

解:存在满足条件的三角形.

当△ABC

5分 如图,当?A?2?BACD为等腰三角形.因为?BAC为△?BAC?2?B,所以 ?B??D.所以△2

又?D为△ACD

所以 而6?4?(4?5)说明:若?A?2?B(i)当a?ca?n?1,c?n,b?n?1(n为大于1的正整数), 代入a2?b?b?n?1???n?1??2n?1?,解得n?5,有a?6,b?4,c?5; 22(第13(A)题答案)

a?b时,设c?n?1,a?n,b?n?1(n为大于1的正整数), 代入a2?c?,得n2??n?1??2n,解得 n?2,有a?2,b?1,c?3,此时不能构成三角形;

(ⅲ)当a?b?c时,设a?n?1,b?

n,c?n?1(n为大于1的正整数), 代入a2?b?b?c?,得?n?1??n?2n?1?,即 n2?3n?1?0,此方程无整数解. 2

所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4,5,6构成的三角形满足条件.

★13、如图,△ABC的三边长BC?a, AC?b, AB?c, a,b,c都是整数,且a,b

的最大公约数是2。点G和点I分别为△ABC的重心和内心,且?GIC?90?,求△ABC的周长.

另解:如图,连结GA,GB,过G,I作直线交BC、AC于点

E、F,作△ABC的内切圆I,切BC边于点D。记△ABC的半周长为P,内切圆半径为r,BC,AC边上的高线长为ha,h

b

?S?ABC?rp?

C

?r?

r2

易知:CD?p?c,在Rt?CIE中,DE?

p?c

(p?a)(p?b)

即DE?

p

CE?CD?DE又∵CI?EF,CI由S?ABC?S?ABG?得:S?ABC=

S?ABCab

?r 3p

S?ABC?rp 即S?ABC=3整理得 2p?cp 设△ABCm?2p?

2

6ab

为整数。 a?b

12st

s?t

,设a?2s,b?2t,且(s,t)?1,s,t都是正整数,代入上式,得m?

∵(s,s?t)?1,(t,s?t)?1,∴s?t是12的约数,即s?t=1,2,3,4,6,12

?s?1?s?2?s?3?s?5?s?11?s?7??????

(s,t)=1,得?t?1,?t?1,?t?1,?t?1,?t?1,?t?5 不妨设s?t,则

?m?6?m?8?m?9?m?10?m?11?m?35??????

?s?7?经检验,只有?t?5符合题意,

?m?35?

所以:a?14,b?10,c?11或a?10,b?14,c?11,即所求△ABC的周长为35。

14.从1,2,?,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n的最小值.

解:当n=4时,数1,3,5,8中没有若干个数的和能被10 5分

?,a5是1,2,?,9中的5当n=5时,设a1,a2,

?,a5中不可能同时出现1和9;它们的和都不能被10整除,则a1,a2,28和7;4和6.于

?,a5中必定有一个数是5. 是a1,a2,

?,a5中含1,则不含9.于是不含4(45=若a1,a2,6;于是不含3(3

+6+1=10),故含7;于是不含2(2+1+7=10),故含8.5+7+8=20是10的倍数,矛盾.

?,a5中含9,则不含16+9+5=20)若a1,a2,,故含4;于是不含7(7

+4+9=20),故含3;于是不含8910),故含2.但是5+3+2=10是10的倍数,矛盾.

综上所述,n5 15分

★★ 14、已知有6个互不相同的正整数a1,a2,?,a6,且a1?a2???a6,从这6个数中任

意取出3个数,分别设为ai,aj, ak,其中i?j?k。记f(i,j,k)?123?? aiajak

证明:一定存在3个不同的数组(i,j,k),其中1?i?j?k?6,使得对应着的3个f(i,j,k)两两之差的绝对值都小于0.5.(征求答案)

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