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2010年全国初中数学竞赛试题及答案[1]

发布时间:2013-12-28 14:01:00  

中国教育学会中学数学教学专业委员会

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

aba?b的值为( ). ?20, ?10,则bcb?c

1101121210(A) (B) (C) (D) 21211111

a?1a?b20?1210解:D 由题设得. ???c1b?c1?111?b10

12.若实数a,b满足a?ab?b2?2?0,则a的取值范围是 ( ). 2

(A)a??2 (B)a?4 (C)a≤?2或 a≥4 (D)?2≤a≤4 解.C

1因为b是实数,所以关于b的一元二次方程b2?ab?a?2?0 2

1的判别式 ?=(?a)2?4?1?(a?2)≥0,解得a≤?2或 a≥4. 21.若

3.如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB

=BC

=4?CD

=则AD边的长为( ).

(A

) (B)46

(C)4? (D)2?26

解:D

如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,

垂足分别为E,F.

由已知可得

BE=AE

,CF

=DF=

于是 EF=4

+.

过点A作AG⊥DF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得

AD??

2?

?k?1??k?2?? 4.在一列数x1,x2,x3,……中,已知x1?1,且当k≥2时,xk?xk?1?1?4??????????4??4??

1

(取整符号?a?表示不超过实数a的最大整数,例如?2.6??2,?0.2??0),则x2010等于( ).

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解:B

??k?1??k?2????由x1?1和xk?xk?1?1?4???可得 ??44??????

x1?1,x2?2,x3?3,x4?4,

x5?1,x6?2,x7?3,x8?4,

……

因为2010=4×502+2,所以x2010=2.

5.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3

绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…,

则点P2010的坐标是( ).

(A)(2010,2) (B)(2010,?2)

(C)(2012,?2) (D)(0,2)

解:B由已知可以得到,点P1,P2的坐标分别为(2,0),(2,?2).

( b2),其中a2?2,b2??2. 记P2a2,根据对称关系,依次可以求得:

P3(?4?a2,-2-b2),P4(2?a2,4?b2),P5(?a2,?2?b2),P6(4?a2,b2).

令P6(a6,b2),同样可以求得,点P(4?a6,b2),即P(4?2?a2,b2), 10的坐标为10

由于2010=4?502+2,所以点P2010的坐标为(2010,?2).

二、填空题

6.已知a=5-1,则2a3+7a2-2a-12 的值等于 .

解:

2

由已知得 (a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是

2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.

7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t= .

解:15

设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为a,b,c(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意得 10?a?b??S, ①

15?a?c??2S, ② x?b?cS ③ ??.

由①②,得30. (b?c)?S,所以,x=30. 故 t?30?10?5?15(分)

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,

6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数

表达式是 .

111解:y??x+ 33(第8题

如图,延长BC交x轴于点F;连接OB,AF;连接CE,DF,且相交于点N. 由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,

过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.

于是,直线MN即为所求的直线l.

?2k+b?3,设直线l的函数表达式为y?kx?b,则? ?5k?b?2,

3

1?k??,?111?3解得 ?,故所求直线l的函数表达式为y??x+. 33?b?11.?3?

9.如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则AE? AD

解: ?1 2

(第9题) 见题图,设FC?m,AF?n.

因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 AB2?AF?AC.

又因为 FC=DC=AB,所以 m2?n(n?m),即 (

解得n1n1?

,或?(舍去). m2m2n2n)??1?,0

mm

又Rt△AFE∽Rt△CFB,所以AEAEAFn???

?ADBCFCm11AE, 即=. 22AD

10.对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i-1.若n的最小值n0满足2000?n0?3000,则正整数k的最小值为

解:9 因为n?1为2,, 3 ?,k的倍数,所以n的最小值n0满足

n0?1??2,, 3 ?,k?,

3 ?,k?表示2,,其中?2,, 3 ?,k的最小公倍数.

3 ?, 8??840, 3 ?, 9??2520, 由于?2,,?2,,

3 ?, 10??2520, 3 ?, 11??27720, ?2,,?2,,

因此满足2000?n0?3000的正整数k的最小值为9.

4

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证: tan?PAD?

EF. BC

证明:如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都

是直径,所以

ED⊥BC, FD⊥BC,

因此D,E,F三点共线. …………(5分)

连接AE,AF,则

?AEF??ABC??ACB??AFD,

所以,△ABC∽△AEF. …………(10分) 作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得

EF?BC

EF从而 ?BCAH, APPD, AP

PDEF所以 tan. …………(20分) ?PAD??APBC

12.如图,抛物线y?ax?bx(a?0)与双曲线y?

2k相交于

x

5

点A,B. 已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为坐标原点).

(1)求实数a,b,k的值;

(2)过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

k

上, x

4所以k=4. 故双曲线的函数表达式为y?. x

4设点B(t,),t?0,AB所在直线的函数表达式为y?mx?n,则有 t解:(1)因为点A(1,4)在双曲线y?

?4?m?n,44(t?1)? 解得,. m??n??4?mt?n,tt??t

于是,直线AB与y轴的交点坐标为?0,?

?4(t?1)??,故 t?

1(4t?1)S?AOB???1?t??3,整理得2t2?3t?2?0, 2t

1解得t??2,或t=(舍去).所以点B的坐标为(?2,?2). 2

因为点A,B都在抛物线y?ax?bx(a?0)上,所以2

?a?b?4,?a?1, 解得 …………(10分) ???4a?2b??2,?b?3.

(2)如图,因为AC∥x轴,所以C(?4,4),于是CO

=42. 又BO=22,所以

2CO?2. BO设抛物线y?ax?bx(a?0)与x轴负半轴相交于点D,

则点D的坐标为(?3,0).

因为∠COD=∠BOD=45?,所以∠COB=90?.

(i)将△BOA绕点O顺时针旋转90?,得到△B?OA1.这时,点B?(?2,2)是CO的中点,点A1的坐标为(4,?1).

延长OA1到点E1,使得OE1=2OA1,这时点E1(8,?2)是符合条件的点

.

6

(ii)作△BOA关于x轴的对称图形△B?OA2,得到点A2(1,?4);延长OA2到点E2,使得OE2=2OA2,这时点E2(2,?8)是符合条件的点.

所以,点E的坐标是(8,?2),或(2,?8). …………(20分)

13.求满足2p2?p?8?m2?2m的所有素数p和正整数m.

.解:由题设得p(2p?1)?(m?4)(m?2),

所以p(m?4)(m?2),由于p是素数,故p(m?4),或p(m?2). ……(5分)

(1)若p(m?4),令m?4?kp,k是正整数,于是m?2?kp,

3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k2p2,

故k?3,从而k?1. 2

?m?4?p,?p?5,所以?解得? …………(10分) m?2?2p?1,m?9.??

(2)若p(m?2),令m?2?kp,k是正整数.

当p?5时,有m?4?kp?6?kp?p?p(k?1),

3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k(k?1)p2,

故k(k?1)?3,从而k?1,或2.

由于p(2p?1)?(m?4)(m?2)是奇数,所以k?2,从而k?1.

?m?4?2p?1, 于是? m?2?p,?

这不可能.

当p?5时,m?2m?63,m?9;当p?3,m?2m?29,无正整数解;当22

p?2时,m2?2m?18,无正整数解.

综上所述,所求素数p=5,正整数m=9. …………(20分)

7

14.从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?

解:首先,如下61个数:11,11?33,11?2?33,…,11?60?33(即1991)满足题设条件. …………(5分)

另一方面,设a1?a2???an是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数ai,aj,ak,am,因为

33(ai?ak?am), 33(aj?ak?am),

所以 33(aj?ai).

因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………(10分)

设ai?a1?33di,i=1,2,3,…,n. 由33(a1?a2?a3),得33(3a1?33d2?33d3), 所以333a1,11a1,即a1≥11. …………(15分)

dn?故dn≤60. 所以,n≤61. an?a12010?11≤?61, 3333

综上所述,n的最大值为61. …………(20分)

8

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