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初四数学-刘明昶-6

发布时间:2013-12-28 16:53:43  

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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义

讲义编号: ______________ 副校长/组长签字: 签字日期:

【考纲说明】

二次函数是初等函数中的重要函数,在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用,是近几年河北中考热点

之一。学习二次函数,对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养,对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要意义。

二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大(小)值、用二次函数模型解决生活实际问题。

其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大(小)值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现:一类是二次图象及性质的纯数学问题,如2010年河北中考11题,2009河北中考22题,2007河北中考22题;一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目,如2010年河北中考26题,2008河北中考25题,2006河北中考24题。

【知识梳理】

一.

一次函数与反比例函数结合型

1.(2009?吉林)如图,反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P(6,2),A、B为直线上的两点,点A的坐标为2,点B的横坐标为3.D、C为反比例函数图象上的两点,且AD、BC平行于y轴.

(1)直接写出k,m的值;

(2)求梯形ABCD的面积.

1

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1.解:(1)k=12,m=﹣4.(2分)

(2)把x=2代入y=,得y=6.∴D(2,6).

把x=2代入y=x﹣4,得y=﹣2.

∴A(2,﹣2).∴DA=6﹣(﹣2)=8.(4分)

把x=3代入y=x﹣4,得y=﹣1,

∴B(3,﹣1).∴BC=4﹣(﹣1)=5.(6分)

2.(2009?达州)如图,直线y=kx+b与反比例函数y=

A的坐标为(﹣2,4),点B的横坐标为﹣4.

(1)试确定反比例函数的关系式;

(2)求△AOC的面积.

解:(1)∵点A(﹣2,4)在反比例函数图象上

∴4= (x<0)的图象相交于点A、点B,与x轴交于点C,其中点.(7分)

∴k′=﹣8,(1分)

∴反比例函数解析式为y=;(2分)

(2)∵B点的横坐标为﹣4,

∴y=﹣,

∴y=2,

∴B(﹣4,2)(3分)

∵点A(﹣2,4)、点B(﹣4,2)在直线y=kx+b上

∴4=﹣2k+b

2=﹣4k+b

解得k=1

b=6

∴直线AB为y=x+6(4分)

2

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与x轴的交点坐标C(﹣6,0)

∴S△AOC=CO?yA=×6×4=12.(6分)

二.求二次函数解析式的方法

二次函数的解析式有三种基本形式:

1、一般式:y=ax2+bx+c (a≠0)。

2、顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h。

3、交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式:

1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离,通常可设交点式。

探究问题,典例指津:

例1、已知二次函数的图象经过点(?1,?5),(0,?4)和(1,1).求这个二次函数的解析式.

分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax+bx+c (a≠0)。

解:设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c (a≠0) 22

?a?b?c??5?a?2??依题意得:?c??4 解这个方程组得:?b?3

?a?b?c?1?c??4??

∴这个二次函数的解析式为y=2x+3x-4。

例2、已知抛物线y?ax?bx?c的顶点坐标为(4,?1),与y轴交于点(0,3),求这条抛物线的解析式。

分析:此题给出抛物线y?ax?bx?c的顶点坐标为(4,?1),最好抛开题目给出的y?ax?bx?c,重新设顶

点式y=a(x-h)+k (a≠0),其中点(h,k)为顶点。

解:依题意,设这个二次函数的解析式为y=a(x-4)-1 (a≠0)

又抛物线与y轴交于点(0,3)。 222222

1 4

1122∴这个二次函数的解析式为y=(x-4)-1,即y=x-2x+3。 44∴a(0-4)-1=3 ∴a=2

例3、如图,已知两点A(-8,0),(2,0),以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。求经过A、B、C三点的

抛物线的解析式。

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分析:A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点,所以可设交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),其中x1,x2是抛

物线与x轴的交点的横坐标。

解:依题意,设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x-2)

又连结AC、BC,利用射影定理或相交弦定理的推论易得:

OC2=AC·BC=8×2 ∴OC=4

即C(0,4)。

∴a(0+8)(0-2)=4 ∴a=?

∴这个二次函数的解析式为y=?

变式练习:

1、在图的方格纸上有A、B、C三点(每个小方格的边长为1个单位长度).

(l)在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、C的坐标;

(2)根据你得出的A、B、C三点的坐标,求图象经过这三点的二次函数

的解析式.

2、已知抛物线的顶点坐标为(2,1),与y轴交于点(0,5),求这条抛物线的解析式。

3、已知抛物线过A(-2,0)、B(1,0)、C(0,2)三点。求这条抛物线的解析式。)

参考答案:

1、(1)A(2,3);B(4,1);C(8,9)。 (2)y=

2、y=(x-2)+1,即y=x-4x+5。 221 411(x+8)(x-2),即y=?x2-442

12x-4x+9。 2

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3、y=-(x+2)(x-1),即y=-x2-x+2。

三.

二次函数与一次函数相结合

二次函数与一次函数交点问题

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将两个函数联立,得到一个元二次方程,如果有一个交点,方程有一个根,有两个交点,方程有两个根,没有交点,方程没有实数根.

四. 二次函数与实际问题相结合

1.某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为100元,售价为130元,每星期可卖出80件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20件.

(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元?

(2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?

解:(1) (130-100)×80=2400(元)

(2)设应将售价定为x元,则销售利润 y?(x?100)(80?130?x?20) 5

??4x2?1000x?60000??4(x?125)2?2500.

当x?125时,y有最大值2500. ∴应将售价定为125元,最大销售利润是2500元.

2. 张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.

(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).

(2)当x为何值时,S有最大值?并求出最大值.

【经典例题】

x?6x?c1. 已知:抛物线y?的最小值为1,那么c的值是( )

A. 10 B. 9 C. 8

22D. 7 2. 已知二次函数y?ax?bx?c的图象过点(1,-1),(2,-4),(0,4)三点,那么它的对称轴是直线( )

??3??113 A. x B. x C. x? D. x?

3. 一个二次函数的图象过(-1,5),(1,1)和(3,5)三个点,则这个二次函数的关系式为( )

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A. y B. y? ??x?2x?2x?2x?2

C. y? D. y? x?2x?1x?2x?2

4. 已知函数y?ax?bx?c的图象如图1,则此函数的关系式为( )

A. y ??x?2x?3

B. y? x?2x?3

C. y ??x?2x?3

D. y 图1 ??x?2x?3

5.二次函数y=ax+bx+c中,若a>0,b<0,c<0,则这个二次函数的顶点必在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6. 二次函数y=ax+bx+c的图如图所示,则下列结论不正确的是( )

A.a<0,b>0 B.b-4ac<0 C.a-b+c<0 D.a-b+c>0

7. 二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则此函数解析式为( )

A.y=-x+2x+3 B.y=x-2x-3

C.y=-x-2x+3 D.y= -x-2x-3

8..如图:一次函数y1??2x?4和y2?x?1的图象交于点P,则方程组?

222222222222222222(第6题) (第 7 题)

?y1??2x?4的解为________ y?x?1?29.判断直线y?4x?1与抛物线y?x?2x?2的交点情况?如果有交点,请求出交点坐标。

10.已知抛物线y=-x+2(m+1)x+m+3与x轴有两个交点A,B与y轴交于点C,其中点A在x轴的负半轴上,点B在x轴的正半轴上,且OA:OB=3:1。(1)求m的值;(2)若P是抛物线上的点,且满足SΔPAB=2SΔABC,求P点坐标。

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【课堂练习】

1??y?2x?4x??x??1?2y??2x?x?3的图象1.方程组?的解为和,则一次函数与二次函数y?2x?42??2?y??6?y??2x?x?3??y??3

交点坐标为___________

2.当b为何值时,直线y?3x?b与抛物线y?x?2x?1有一个交点?有两个交点?没有交点? 2

3.(2010?汕头)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).

(1)求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式;

(2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.

4.(2011?雅安)如图,过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点,B(﹣2,3),BC⊥x轴于C,四边形OABC面积为4.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)求点D的坐标;

(3)当x在什么取值范围内,一次函数的值大于反比例函数的值.(直接写出结果)

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5.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.

(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)

(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?

(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?

【课后作业】

1(2011?黔南州)下列函数:①y=-x;②y=2x;③y?12④y?x(x<0),y随x的增大而减小的函数有( ) x

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2、(2010?通化)二次函数y=x2的图象向左平移2个单位,得到新的图象的二次函数表达式是( )

A、y=(x+2)2 B、y=x2+2 C、y=(x-2)2 D、y=x2-2

3、(2010?宁夏)把抛物线y=-x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为( )

A、y=-(x-1)2-3 B、y=-(x+1)2-3 C、y=-(x-1)2+3 D、y=-(x+1)2+3

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4、(2010?兰州)二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是( )

A、(-1,8) B、(1,8) C、(-1,2) D、(1,-4)

5.(2010?大田县)抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是( )

A、k>- B、k≥- 且k≠0 C、k≥- D、k>- 且k≠0

6.(2010?北京)将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,结果为( )

A、y=(x+1)2+4 B、y=(x-1)2+4 C、y=(x+1)2+2 D、y=(x-1)2+2

7.(2009?枣庄)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,

则下列关系式不正确的是( )

A、a<0 B、abc>0 C、a+b+c>0 D、b2-4ac>0

8.某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时的售价为每件20元,并且每周(7天)涨价2元,从第6周开始,保持每件30元的稳定价格销售,直到11周结束,该童装不再销售。

(1)请建立销售价格y(元)与周次x之间的函数关系;

(2)若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价z(元)与周次x之间的关系为z??(x?8)?12, 1≤ x ≤11,且x为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每件获得利润最大?并求最大利润为多少?

)

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9.

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(1)设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨,利润分别为y1元和y2元,分别求y1和y2 与x的函数关系式(注:

利润=总收入-总支出);

(2)已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨,若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨,求该月生产

甲、乙塑料各多少吨,获得的总利润最大?最大利润是多少?

【课后反馈】

本次______________同学课堂状态:_________________________________________________________________

本次课后作业:___________________________________________________________________________________

需要家长协助:____________________________________________________________________________________

家长意见:________________________________________________________________________________________

【参考答案】

课堂练习:

5.解:(1)y?(2400?2000?x)?8?4?

(2)由题意,得???x?22,即y??x?24x?3200. ?50?2522x?24x?3200?4800.整理,得x2?300x?20000?0. 25

得x1?100,x2?200.要使百姓得到实惠,取x?200.所以,每台冰箱应降价200元.

(3)对于y??22x?24x?3200,当x??2524?150时, ?2?2?????25?

150??y最大值?(2400?2000?150)?8?4???250?20?5000. 50??

所以,每台冰箱的售价降价150元时,商场的利润最大,最大利润是5000元.

课后作业

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8. 解:(1)y??

?20?2(x?1)?2x?18(1?x?6)(x为整数)......(2分)?30 (6?x?11)(x为整数)......(4分) (2)设利润为w

112?2y?z?20?2(x?1)?(x?8)?12?x?14(1?x?6)(x为整数)......(6分)??88 w???y?z?30?1(x?8)2?12?1(x?8)2?18(6?x?11)(x为整数)......(8分)?88?

11w?x2?14 当x?5 时,w最大=17....(9分) 88

111 w?(x?8)2?18 当x?11 时,w最大=?9?18=19....(10分)888

1综上知:在第11周进货并售出后,所获利润最大且为每件19元?(10分 8

9.解: (1)依题意得:y1?(2100?800?200)x?1100x,

y2?(2400?1100?100)x?20000?1200x?20000,

(2)设该月生产甲种塑料x吨,则乙种塑料(700?x)吨,总利润为W元,依题意得:

W?1100x?1200(700?x)?20000??100x?820000.

∵??x≤400,解得:300≤x≤400.

?700?x≤400,

∵?100?0,∴W随着x的增大而减小,∴当x?300时,W最大=790000(元)

此时,700?x?400(吨).

因此,生产甲、乙塑料分别为300吨和400吨时总利润最大,最大利润为790000元.

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