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初中数学竞赛辅导资料(65)图象法

发布时间:2013-12-29 14:58:54  

初中数学竞赛辅导资料(65)

图象法

甲内容提要

1. 在第45讲(一元二次方程)中,根据根的判别式和根与系数的关系,介绍了存在实数

根,有理数根,整数根的充分必要条件.

2. 要讨论两个实数根的符号,则可以建立不等式组.方程ax2+bx+c=0中,

① 有两个实数根的充分必要条件是??a?0 ???0

????0? c?b②有两个正实数根的充要条件是?-?0(a≠0包含在?0之中) a?a

?c?0??a

③有一正一负实数根的充要条件是c?0(a≠0,△>0均已包含在内) a

?c?0??a④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是?

??b?0??a

3. 在较小区间内讨论实数根,则常利用图象来建立不等式组.

4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解,也可借助图象.

乙例题

例1..已知:方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实数根x1,x2满足:0<x1<1<x2<2.

求:k的取值范围. (1990年全国初中数学联赛题)

解:先画出二次函数y=7x2-(k+13)x+k2-k-2的图象的略图.

根据图象的开口方向是向上,它与横轴有两个交点,这两点在点(1,0)的两旁,

的大体位置是:

分析图象 可知

当x=0 时,y>0, 记作f(0)>0;

当x=1时,y<0, f(1)<0;

当x=2时,y>0, f(2)>0.

?k2?k?2?0;

?2??(k?13)?k?k?2?0; 得不等式组 ???2(k?13)?k2?k?2?0.?? 251

?k??1 或k?2;?解这个不等式组得??2?k?4;

?k?0或k?3.?

∴原不等式组解集是 -2<k<-1;或3<k<4.

答:k的取值范围是 -2<k<-1;或3<k<4时.

本题由三个点的横坐标0,1,2和它所对应的纵坐标范围建立不等式组.

例2. m取什么值时,方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1?

解:根据抛物线y= x2+(m+2)x+3的开口向上;它在纵轴的交点为(0,3);与横轴的两个交点都在点(1,0)右边. 得图象的略图如下(左、右两图):

b4ac?b2

据图象分析当x=1时, y>0; 顶点横坐标 ->1;纵坐标≤0. 2a4a

??1?m?2?3?0,??m?2?1,得不等式组?? 2??12?(m?2)2

?0.?4?

?m?6,?解这个不等式组得?m??4,

??m??2?2或m??2?23.

∴原不等式组解集是 -6<m≤-2-23.

答:当-6<m≤-2-23时,方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1.

本题只有一个特殊点,故用了抛物线的顶点横、纵坐标.

例3.已知:方程(1-m2)x2+2mx-1=0的两个实数根都在0到1之间(不包括0和1).

求:m的取值范围.

解:函数y=(1-m2)x2+2mx-1的图象可由:

①它在纵轴上的截距是-1;

②与横轴的两个交点在0到1之间.

252

得知开口是向下的,画出略图如下::

从图象分析:a<0; f(1)<0; 0<-

b<1 . 2a

?? 1?m2?0,??得不等式组 ?1?m2?2m?1?0,

?2m?0???1.2?2(1?m)?

?m??1或m?1,

?m?0或m?2,??解这个不等式组 得?m?0,

??m?1?5或m?1?5.?22?

∴不等式组解集是 m>2.

本题因抛物线的顶点横坐标,上下都有界,故不用顶点的纵坐标.

例4.已知:方程x2+2px+6=0的两个实数根,一根大于1,另一根小于1.

求:p的值.

解:根据抛物线y= x2+2px+6的开口向上,它与横轴的两个交点的大致位置,

画出略图如下:

根据图象可知:f (1)<0;

4ac?b2

顶点纵坐标<0. 4a?1?2p?6?p?0,?得不等式组?4(6?p)?4p2 ?0.?4?

?p??7,解这个不等式组, 得? p??3或p?2.?

∴不等式组解集是p<-7 . 答(略)

本题因顶点横坐标无法定,故只有两个不等式. 其实只要f (1)<0就可以了.

关键是建立充分必要条件的不等式组.

253

注意:(1)若方程可求得有理数根时,则可以直接建立不等式组.

如:例3 可得两个根为11和; m?1m?1

(2)若符合基本对称式,则可用韦达定理来解.

如: 例4 可用x1-1>0, x2-1<0建立不等式(x1-1)(,x2-1)<0. 左边去括号后,再转化为关于p的不等式.

例5. a取什么值时,方程x?2?a?1 无解? ②有3个解?③两个解?

解:画出函数y=x?2-1和y=a的图象 ,

它们的交点就是方程的解.

∵直线y=a平行于横轴.

∴①当a<-1时,

直线y=a与y=x?2-1没有交点,

即方程无解;

②当a=1时,

直线y=1 与. y=x?2-1恰好有3个公共点,

即方程x?2?a?1有3个解.;

③.当a=-1或a>1时,

y=a与y=x?2-1都有2个公共点,就是方程有2个解.

例6. 求代数式|x+1|+|x-1|+|x+2| 在-2<x<2 区间内的最大值和最小值.

解:作函数 y=|x+1|+|x-1|+|x+2| 的图象.

由图象可知:当x=-1, y有最小值 3;当x=2时,y有最大值 8.

∴代数式 |x+1|+|x-1|+|x+2| 有最大值8和最小值 3.

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丙练习65

1. 一元二次方程k2x2+2(k-1)x+1=0有两个实数根的充分必要条件是_______可列方程组:??______ 解得:___________

?______

2. 一元二次方程x2+(m+2)x+m+5=0有一正一负的实数根的充分必要条件是______________,所以m的取值范围是________.

3. 一元二次方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负实数根的充分必要条件是______,可

?______?列方程组:?_______解得:______.

?______?

4. 已知一元二次方程(m+3x2-4mx+2m-1=0两个实数根异号且负根的绝对值较大. 求m 的值.

5. 已知一元二次方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根,

那么a=___,b=_____.

6. 求代数式 x??x??x?3 在-3<x<3区间的最大值和最小值.

7. 已知方程(a2-1)x2-6(a+1)x+8=0有实数根,试确定a的取值范围.

8. k取什么值时,方程x2-11x+k=0两个实数根都大于5?

9. 若方程x2+(1-2m)x+m2-m=0两个实数根中,一根大于2,另一根小于2.

求m 的取值范围.

10. 已知:方程3x2+(m-1)x+3m+2=0两个实数根中,一根大于3,另一根小于2.

求:m的取值范围.

11. 已知:m和n都是整数,且方程4x2-2mx+n=0的两个实数根,都在0和1之间(不包括

0和1)

求:m,和n的值.

12. m取什么值时,方程x2-2mx+m2-1=0的两个实数根,都在-1和2之间(包括-1和2)

13. 二次函数y=(m2-4)x2+(m2-2m+24)x+6(m-6)的图象与横轴的两个交点的横坐标是两个不同的正整数,试确定m的值.

14. k取什么值时,方程k+?2?x=0 ①无解?②有3个解?③4个解?

15. 方程x2+y2=16和y=12x+4有一公共实数解,那么y的值是( ) 3

(A) 只有4 (B)-7,4 (C)0,4 (D)y无解, (E)y的所有的值. (提示:x2+y2=16的图象是以原点为圆心,4为半径的圆)

(1972年美国中学数学竞赛试题)

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