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第四届数学大奖赛试卷解答

发布时间:2013-12-29 15:55:53  

华东理工大学第四届数学大奖赛笔试试卷解答

一. 求?n?

0xsinxdx,其中n为正整数。 解:首先计算?(k?1)?

k?xsinxdx=??0(t?k?)sintdt

?2k????

0tsintdt=(2k?1)? 5分 所以?n?

0xsinxdx=??3????(2n?1)??n2? 5分

二. 设xxn?1

n?0,且nlim??x???1,证明lim

nn??xn?0。 证明:由于limxn?1

n??x???1,存在N?0,当n?N时,有0?xn?1???1?1

nx,

n2

所以有0?xn?1

x?(??1)n?N,即0?x1??n?N

n?1?xN?1(),

N?122

由夹逼定理得nlim??xn?0。 5分

三.

求出数列中最大的一项(已知2728

10?2827)。 (x)?ln(x1

解:设flnx?ln10

10)x?x, 4分

1x?lnx?ln10

f'(x)?1?lnx?ln10

x2?x2

令f'(x)?0,x?10e?27.18,所以当n?27或28时取到最大值, 4分

比较后知 2分

四.

计算不定积分.

解:?

?ln(x 5分

3

?2

3(ln(x?2?C 5分 5分

?五. 设u?f(x,y,z)可微,li?{cos?i,cos?i,cos?i},i?1,2,3为三个互相垂直的单位向

量,证明:

2222??u???u???u???u???u???u??????????????; (1)??????l1???l2???l3???x???y???z?

(2)若?0,i?1,2,3?,则f(x,y,z)恒为常数。 22?f

?li

证明:(1)由于?uxcos?1?uycos?1?uzcos?1, ?u

?l1

?u?u?uxcos?2?uycos?2?uzcos?2,?uxcos?3?uycos?3?uzcos?3, 3分 ?l2?l3

?再利用li?{cos?i,cos?i,cos?i},i?1,2,3为互相垂直的单位向量,即它们两两点乘为零,容易验证(1)成立。 2分

(2)由(1)得ux?uy?uz?0, 3分

可知u?f(x,y,z)与x,y,z无关,即f(x,y,z)恒为常数。 2分

六. 设D为0?x?2,0?y?2,计算二重积分

数部分. ??[x?y]dxdy,其中[x?y]表示x?y的整D

0?x?y?1,解:将D分为4块,依次D1:且(xy且(xy,)?D;D2:1?x?y?2,,)?D;

D3:2?x?y?3,且(x,y)?D;D4:3?x?y?4,且(x,y)?D。 4分 ??[x?y]dxdy=??0dxdy???1dxdy???2dxdy???3dxdy 4分 DD1D2D3D4

?0?1.5?3?1.5?6 2分

11七. 计算极限lim(2?)。 x?0xtan2x

tan2x?x2tan2x?x211?lim解:lim(2? 3分 )?limx?0xx4tan2xx?0x2tan2xx?0

?limx?0(tanx?x)(tanx?x)(tanx?x)(tanx?x) 4分 ?limlim43x?0x?0xxx

sec2x?12?2lim?。 3分 2x?03x3

八. 设有界函数f(x)在(??,??)上有二阶导数,且f??(x)?0,证明f(x)?常数。 证明:假设存在x0,使得f'(x0)?0。不妨设f'(x0)?0, 2分 由泰勒展开f(x)?f(x0)?f'(x0)x?

x???1f''(?)(x?x0)2?f(x0)?f'(x0)(x?x0), 4分 2两边令x???,得到limf(x)???,这与f(x)为有界函数矛盾,对一切x,有

f'(x)?0,因此f(x)?常数。 4分

九.设?(x)为(??,??)上周期为1的连续函数,且

令an??10?(x)dx?0,f(x)有连续的导数,K。 n?1

0f(x)?(nx)dx,证明存在K?0,使得对任意自然数n成立不等式an?

证明:设g(x)???(t)dt, 2分 0x

则g'(x)??(x),且g(0)?g(1)?0.

又g(x?1)??x?1

0?(t)dt???(t)dt???(t)dt?g(x)???(t)dt?g(x), 2分 0x0xx?11

所以g(x)是以1为周期的周期函数。因而存在C?0使得对一切实数x,有|g(x)|?C。由于f(x)有连续的导数,存在C'?0使得对x?[0,1],有|f'(x)|?C'。 2分 an??f(x)?(nx)dx=01111111f(x)g(nx)??g(nx)f'(x)dx =f(x)dg(nx)?00n0nn

??11g(nx)f'(x)dx. 2分 ?0n

1111C'Can???g(nx)f'(x)dx??|g(nx)|?|f'(x)|dx?。 n0n0n

令K?C'C,即得结论。 2分

xn?1ab1十. 计算常数a,b使得以下渐近等式成立:?dx??2?o(2)。 01?xnnn1

xn?1

解:首先由a?limn?dx。 2分 01?xn??1

n?1n?1n?11x1x1x11另一方面, ??dx??dx??dx?01?x0x?x2n01?12(n?1)

xn?11a?limn?dx=。 3分 01?xn??21

xn?11b?limn(?dx?) 2分 01?xn??2n21

n?1n?11x1x(1?x)xn?11xn?1

)dx, 考虑?dx???(?)dx??001?x02(1?x)2n1?x21

n?1n?1n?11x1x1x111(1?x)(1?x)(1?x)111(?)??)dx??)dx??)dx?(?), 002(1?x)02(x?x)4nn?12(1?1)4n?1nn?11x1n2(1?x)1n212?n?)dx?即,所以b?。 3分 02(1?x)4n(n?1)4n(n?1)4

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