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周期工程问题-9-12

发布时间:2013-12-30 14:54:41  

周期工程问题

专题简析:

周期工程问题中,工作时工作人员(或物体)是按一定顺序轮流交替工作的。解答时,首先要弄清一个循环周期的工作量,利用周期性规律,使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间,这样才能正确解答。

例1:一项工程,甲单独做需要12小时,乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时,再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作,问完成任务时需共用多少小时?

把2小时的工作量看做一个循环,先求出循环的次数。

1136① 需循环的次数为:1÷( + )= >7(次) 12185

111② 7个循环后剩下的工作量是:1-( + )× 121836

111③ 余下的工作两还需甲做的时间为:÷ =(小时) 36123

11④ 完成任务共用的时间为:2×7+ (小时) 33

1 答:完成任务时需共用14 小时。 3

练习1:

1、 一项工程,甲单独做要6小时完成,乙单独做要10小时完成。

如果按甲、乙;甲、乙……的顺序交替工作,每次1小时,需要多少小时才能完成?

2、 一部书稿,甲单独打字要14小时,乙单独打字要20小时。如

果先由甲打1小时,然后由乙接替甲打1小时;再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作,打完这部书稿共需用多少小时?

1

3、 一项工作,甲单独完成要9小时,乙单独完成要12小时。如

果按照甲、乙;甲、乙……的顺序轮流工作,每人每次工作1小时,完成这项工程的2/3共要多少时间?

2例2:一项工程,甲、乙合作26 天完成。如果第一天甲做,第二天3

乙做,这样交替轮流做,恰好用整数天完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做,比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成?

由题意可以推出“甲先”的轮流方式,完成时所用的天数为奇数,否则不论“甲先”还是“乙先”,两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数,两种轮流方式的情况可表示如下:

甲乙甲乙……甲乙 甲

1 乙甲乙甲……乙甲 乙甲 2

竖线左边做的天数为偶数,谁先做没关系。竖线右边可以看出,乙做一天等于甲做半天,即甲的工作效率是乙的2倍。

221① 甲每天能做这项工程的1÷26×31+240

1② 甲单独做完成的时间1÷ =40(天) 40

答:这项工程由甲单独做需要40天才能完成。

练习2:

1、 一项工程,乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做,第二

天乙做,这样轮流交替做,也恰好用整数天完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样轮流交替做,比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成?

2

2、 一项工程,甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做,第二天

乙做,这样轮流交替做,恰好也用整数天完成。如果第一天乙做,

1第二天甲做,这样轮流交替做,比上次轮流做要多 天才能完成。3

这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成?

33、 一项工程,甲、乙合作12小时可以完成。如果第一小时甲5

做,第二小时乙做,这样轮流交替做,也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做,第二小时甲做,这样轮流交替做,比上次轮

1流做要多小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成? 3

4、 蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一

池水,单开排水管3小时排完一池水。现在池内有半池水,如果按进水、排水;进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时,多少小时后水池的水刚好排完?

例3:一批零件,如果第一天甲做,第二天乙做,这样交替轮流做,恰好用整数天数完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做,做到上次轮流完成时所用的天数后,还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5:3。甲、乙每天各做多少个?

3

由题意可以推出“甲先”的轮流方式,完成时所用的天数为奇数,否则不论“甲先”还是“乙先”,两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数,两种轮流方式的情况可表示如下:

甲乙甲乙……甲乙 甲

乙甲乙甲……乙甲 乙剩60个

竖线左边做的天数为偶数,谁先做没关系。竖线右边可以看出,剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。

甲每天做的个数为:60÷(5-3)×5=150(个)

乙每天做的个数为:60÷(5-3)×3=90(个)

答:甲每天做150个,乙每天做90个。 练习3:

1、 一批零件如果第一天师傅做,第二天徒弟做,这样交替轮流做,

恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做,第二天师傅做,这样交替轮流做,做到上次轮流完成时所用的天数后,还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7:4。师、徒二人每天各做多少个?

2、 一项工程,如果第一天甲做,第二天乙做,这样交替轮流恰好

用整数天完成。如果死一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做

25 天才能完成。如果让甲、乙二人合作,只需天就可以完58

成。现在,由乙独做需要几天才能完成?

3、 红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做,

第二小时让徒弟做,这样交替轮流,恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做,第二小时让师傅做,这样交替轮流,做到上次轮流完成时所用的天数后,还剩60个不能完成。如果让师、 4

徒二人合作,只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个?

例4:打印一部稿件,甲单独打要12小时完成,乙单独打要15小时完成。现在,甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时,乙工作2小时;甲工作2小时,乙工作1小时;甲工作1小时,乙工作2小时……如此这样交替下去,打印这部书稿共要多少小时?

根据已知条件,我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中,甲、乙都工作了3小时。

119① 每循环一次,他们共完成全部工程的( +)×3= 121520

92② 总工作量里包含几个9/20:1÷ 209

91③ 甲、乙工作两个循环后,剩下全工程的1-×2= 2010

11④ 由于 > ,所以,求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成1012

1111还需的时间为()÷ = 1012154

11⑤ 打印这部稿件共需的时间为:6×2+1+ (小时) 44

1 答:打印这部稿件共需13小时。 4

练习4:

1、 一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管,24分钟能包

空池灌满;单开乙管,18分钟能把空池灌满。现在,甲、乙两管轮流开放,按照甲1分钟,乙2分钟,甲2分钟,乙1分钟,甲1分钟,乙2分钟……如此交替下去,灌满一池水共需几分钟?

5

2、 一件工作,甲单独做,需12小时完成;乙单独做需15小时完

成。现在,甲、乙两人轮流工作,甲工作2小时,乙工作1小时;甲工作1小时,乙工作2小时;甲工作2小时,乙工作1小时……如此交替下去,完成这件工作共需多少小时?

3、 一项工程,甲单独做要50天完工,乙单独做需60天完工。现

在,自某年的3月2日两人一起开工,甲每工作3天则休息1天,

52乙每工作5天则休息一天,完成全部工程的 为几月几日? 75

4、 一项工程,甲工程队单独做完要150天,乙工程队单独做完需

180天。两队合作时,甲队做5天,休息2天,乙队做6天,休息1天。完成这项工程要多少天?

6

例5:有一项工程,由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。

1比原计划多用0.5天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用 天。3

已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?

由题意可以推出:按甲、乙、丙次序轮做,能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数,三种轮流方式完工的天数,必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做,用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下:

甲乙丙,甲乙丙,……甲乙丙, 甲

1乙丙甲,乙丙甲,……乙丙甲, 乙 丙 2

1丙甲乙,丙甲乙,……丙甲乙, 丙 甲 3

2121从中可以退出:丙=甲;由于乙=甲-丙=甲- 甲× ,又3232

2推出乙=甲;与题中“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以,3

按甲、乙、丙的次序轮做,用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示:

甲乙丙,甲乙丙,……甲乙丙, 甲乙

1乙丙甲,乙丙甲,……乙丙甲, 乙丙 甲 2

1丙甲乙,丙甲乙,……丙甲乙, 丙甲 乙 3

12由此推出:丙= 甲,丙=乙 23

111① 丙队每天做这项工程的×13226

123② 乙队每天做这项工程的÷ 26352

1137③ 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷( + )=5 (天) 1326529

7 答:甲、乙、丙合作要5天完工。 9

7

练习5:

1、 有一项工程,由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次

序轮做,恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。

11比原计划多用天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用 天。34

已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?

2、 有一项工程,由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次

序轮做,恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比

11 天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用 天。22

已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?

8

3、 有一项工程,由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、

乙、丙次序轮做,恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序

1轮做。比原计划多用 天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划2

1多用 天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作,需3

713天可以完成,且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲9

独做需要多少天才能完成?

4、 蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一

池水,单开甲管需要3小时,单开丙管需要5小时。要排光一池

1水,单开乙管要4小时,单开丁管要6小时。现知池内有 池水,6

如果按甲、乙、丙、丁,甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时,多长时间后水开始溢出水池?

9

答案:

练1

11151、 (1)需循环的次数 1÷()=>3 6104

111 (2)3个循环后剩下的工作量 1-()×3=6105

1111 (3)最后由乙做的时间 ( - )÷ = 小时 56103

11 (4)需要的总时间 2×3+1+ =7 小时 33

111402、 (1)需循环的次数 1÷()=>8 142017

114 (2)3个循环后剩下的工作量 1-()×8=1420140

412 (3)最后由乙做的时间 ÷ = 小时 140145

22 (4)需要的总时间 2×8+ =16 小时 55

211243、 (1)需循环的次数 ÷()=>3 39127

2111 (2)3个循环后剩下的工作量 -()×3=391212

113 (3)最后由乙做的时间 ÷ = 小时 1294

33 (4)需要的总时间 2×3+ =6 小时 44

练2

1、 提示:甲的效率是乙的2倍 20÷2=10天

211132、 提示:乙的效率是甲的 1÷【×(1-)+】=3天 36365

2333、 提示:乙的效率是甲的 1÷(1÷12×)=21小时 353-1+3

111154、 (1)需几个周期 ÷(-)×3=>3 2354

1111 (2)3个周期后剩下的水 -(-)×3=23510

1119 (3)需要的时间 2×3+1+( + )÷ =7 小时 105310

练3

1、 师傅:84÷(7-4)×7=196个

徒弟:84÷(7-4)×4=112个

232、 提示:乙的效率是甲的(1- )= 55

10

53 1÷(1÷2 × )=7天 85-2+5

333、 3小时36分=3小时 师、徒效率和:1080÷3=300个 55

师傅每小时的个数:(300+60)÷2=180个

徒弟每小时的个数:(300-60)÷2=120个

练4

1、 提示:把6分钟看作一个循环

117(1) 每循环一次的工作量()×(1+2)=241824

773(2) 总工作量里面有几个÷=324247

71(3) 3个循环后剩下的工作量 1- ×3= 248

1111(4) 一共需要的时间 6×3+1+(-)÷=20分钟 824182

2、 提示:把6分钟看作一个循环

119(1) 1个循环的工作量( + )×(1+2)= 121520

992(2) 总工作量里面有几个÷=220209

91(3) 3个循环后剩下的工作量 1- ×2= 2010

111(4) 一共需要的时间 6×2+÷=13小时 10125

11 说明:2个循环后,是由甲接着干2小时,所以直接用 ÷ 1012

3、 提示:把12天看作一个循环

19 12天中甲的工作量 ×(3+3+3)=5050

11 12天中乙的工作量 ×(5+5)=606

5291总共需要的天数 ÷( + )=2 75506

(12天减去最后休息的1天) 12×2-1=23天

52 完成全部任务的 为3月24日。 75

224、 提示:把7天看作一个周期 1÷(×5+×6)=15 33

7×15-1=104天

练5

1、 提示:按甲、乙、丙的顺序轮流做,所用的整数天数为3的倍数余2,否 11

23则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的 ,丙的效率也是乙的 。 34

122(1) 丙的工作效率×=7321

238(2) 乙的工作效率÷=21463

12817(3) 甲、乙、丙三队合做的天数1÷( + + )=2 天 7216323

2、 提示:按甲、乙、丙的顺序轮流做,所用的整数天数为3的倍数余1,否则

13与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的,乙的效率是甲的。 24

111(1) 丙的效率×=10220

1113(2) 乙的效率×(1-×)=102240

1134(3) 甲、乙、丙三队合做的天数1÷( + + )=4 天 1020409

1223、 由题意可以推出,丙的效率是甲的=,丙的效率是乙的 ,进而推出甲、243

乙、丙工作效率的比是4:3:2。

74 1÷(1÷13 × )=31天 94+3+2

24、 提示:每四个水管轮流打开后,水池中的水不能超过,否则开甲管的过程3

中水池里的水就会溢出。

2(1) 水池里的水超过时需要几个循环 3

21111130 ( - )÷( - + - )= >4 3634567

(2) 循环5次以后,池中水占

111113 (--)×5= 634564

(3) 总共需要的时间

313 4×5+(1-)÷=20小时 434

12

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