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2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新能力大赛

发布时间:2013-12-31 10:39:45  

2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新能力大赛

九年级决赛试题

答题时注意:

1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线;

3.草稿纸不上交. 4.本试卷共6页,三道大题,14道小题.

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.对正整数n,记n!?1?2?…?n,则1!?2!?3!???10!的末位数是( ).

(A)0

(B)1

(C)3

(D)5

2.设非零实数a,b,c满足?

?a?2b?3c?0,ab?bc?ca

则2的值为 ( ). 22

2a?3b?4c?0,a?b?c?

(C)

(A)?

1

2

(B)0

1 2

(D)1

?2x?5

?3?x??5,

3.已知关于x的不等式组 ?

x?3??t?x?2

恰有5个整数解,则t的取值范围是( ).

11

211

(C)?6<t≤?

2

(A)?6<t<?

11 211

(D)?6≤t≤?

2

(B)?6≤t<?

1

4.如图,在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点,CD⊥

AB,垂足为D,DE⊥OC,垂足为E.若AD,DB,CD的长

度都是有理数,则线段OD,OE,DE,AC的长度中,不一..

定是有理数的为( ). .

(A)OD

(C)DE

5.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F

在线段BC的延长线上,且BC?4CF,DCFE是平行四边

形,则图中阴影部分的面积为( ).

(A)3

(C)6 (B)4 (D)8

(第5题)

(第4题)

(B)OE (D)AC 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

326

.设a?b是a的小数部分,则(b?2)的值为

7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1,2,3,4,5,6.掷这个正方体三次,则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 .

8.如图,点D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,直线BD与CE交于

点F,已知△CDF,△BFE,△BCF的面积分别是3,4,5,则四边形AEFD

的面积是 .

(第8题)

9.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元.则他至少卖出了 支圆珠笔.

?…10

.2的值为 . 1?22?1

2

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.如图,抛物线y?ax?bx?3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.直线y??21x?1与y轴交于点D. 3

求∠DBC?∠CBE.

12.如图,已知AB为圆O的直径,C为圆周上一点,D为线段

OB

3

(第11题)

(第12题)

内一点(不是端点),满足CD?AB,DE?CO,垂足为E.若CE?10,且AD与DB的长均为正整数,求线段AD的长.

4

13.设a,b,c是素数,记x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,

当z?y,

5

2?2时,a,b,c能否构成三角形的三边长?证明你的结论.

14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a1,a2,…,an,满足对任意一个正整数m,在a1,a2,…,an中都至少有一个为m的魔术数.

6

2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新大赛(初三)试题参考答案

一、选择题

1.C

解:1!?1,2!?2,3!?6,4!?24,又知5!,6!,7!,8!,9!,10!的末位数均为0,而1!?2!?3!?4!的末位数是3,所以,1!?2!?3!???10!的末位数是3.

2.A

解:由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?0,故(a?b?c)2?0.于1ab?bc?ca1是ab?bc?ca??(a2?b2?c2),所以:2. ??2a?b2?c22

3.C

解:根据题设知不等式组有解,解得,3?2t<x<20.

由于不等式组恰有5个整数解,这5个整数解只能为15,16,17,18,19,

11因此14≤3?2t<15,解得 :?6<t≤?. 2

4.D

AD?BD解:因AD,DB,CD的长度都是有理数,所以,OA=OB=OC=2

是有理数.于是,OD=OA-AD是有理数.

OD2DC·DO由Rt△DOE∽Rt△COD,知OE?,DE?都OCOC

是有理数,

而AC

5.C

解:因为DCFE是平行四边形,所以DE//CF,且EF//DC

连接CE,因为DE//CF,即DE//BF,所以

S△DEB = S△DEC,

因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积.

(第4题) 连接AF,因为EF//CD,即EF//AC,所以

S△ACE = S△ACF.

因为BC?4CF,所以S△ABC = 4S△ACF.故阴影部分的面积为6.

二、填空题

6.9

解:由于1?a?2?a2?3,故b?a2?2??2,因此(b?2)3?3?9.

17. 3

解:掷三次正方体,朝上的面的数和为3的倍数的是3,6,9,12,15,18,且

3=1+1+1,

6=1+1+4=1+2+3=2+2+2,

9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3,

12=1+5+6=2+4+6=2+5+5=3+3+6=3+4+5=4+4+4,

15=3+6+6=4+5+6=5+5+5,

18=6+6+6.

7

记掷三次正方体面朝上的数分别为x,y,z.则使x+y+z为3的倍数的(x,y,z)中,3个数都不相等的有8组,恰有两个相等的有6组,3个数都相等的有6组.

8?3?2?6?3?61故所求概率为 ?. 6?6?63

2048. 13

解:如图,连接AF,则有:

S?AEF?4S?AEF?S?BFEBFS?BCF5=???, S?AFDS?AFDFDS?CDF3

S?AFD?3S?AFD?S?CDFCFS?BCF5????, S?AEFS?AEFFES?BEF4

10896解得S?AEF?,S?AFD?. 1313 204所以,四边形AEFD的面积是. (第7(乙)题) 13

9.207

?4x?7y?2013,解:设x,y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数,则? x?y?350,?

2013?7yy?1所以x?, ?(503?2y)?44

y?1于是是整数.又2013?4(x?y)?3y?4?350?3y, 4

所以y?204,故y的最小值为207,此时x?141.

10

. 200

解:设k?0,那么

?

?1?11??1??1?? ?.?2?k(k?1)2kk?1????上式对k?1,2,?,99求和,得

原式?

三、解答题 ?1?1??99?1??100?. ????22?100?2?100?200

111.解:将x?0分别代入y??x?1,y?ax2?bx?3知,D(0,1), 3

1C(0,?3),所以B(3,0),A(?1,0).直线y??x?1过点B

3

将点C(0,?3)的坐标代入y?a(x?1)(x?3),得a?1.

????5分

抛物线y?x2?2x?3的顶点为E(1,?4).于是由勾股定理得

BC=CE,BE=

8

(第11题)

因为BC+CE=BE,所以,△BCE为直角三角形,?BCE?90???10分

CE1OD1因此tan?CBE==.又tan∠DBO=?,则∠DBO=?CBE. OB3CB3

所以,?DBC??CBE??DBC??DBO??OBC?45?.????20分

12.解:连接AC,BC,则?ACB?90?.

又CD?AB,DE?CO,由Rt△CDE∽Rt△COD可得

CE?CO?CD2,

由Rt△ACD∽Rt△CBD可得

CD2?AD?BD,

所以CE?CO?AD?BD.

a?b设AD?a,,DB?b,a,b为正整数,则CO?2 又CE?10,代入上式得 (第12题) a?b10??ab, 2

????10分

整理得:(a?5)(b?5)?25.

考虑到a?b,只能是a?5?b?5?0,得a?5?25,b?5?1. 因此AD?a?30. ????20分

13.解:不能.

111依题意,得 a?(y?z),b(x?,)z(x?.) y 222

11z(z?1)因为y?z2,所以a?(y?z)?(z2?z)?.又由于z为整数,a为222

素数,所以z?2或?3,a?3.

????10分

当z?

2时,y?z2?4,x?2)2?16.进而,b?9,c?10,与b,c是素数矛盾;

????15分

当z??3时,a?b?c?0,所以a,b,c不能构成三角形的三边长.

????20分

14.解:若n≤6,取m?1,2,?,7,根据抽屉原理知,必有a1,a2,…,an中的一个正整数M是i,j(1≤i<j≤7)的公共的魔术数,即7|(10M?i),7|(10M?j).则有7|(j?i),但0<j?i≤6,矛盾.

故n≥7.????10分

又当a1,a2,…,an为1,2,?,7时,对任意一个正整数m,设其为k位

2,数(k为正整数).则10ki?m(i?1,?,7)被7除的余数两两不同.若不然,

0(kj)?i,存在正整数i,j(1≤i<j≤7),满足7|[(10kj?m)?(10ki?m)],即7|1

从而7|(j?i),矛盾. 222

故必存在一个正整数i(1≤i≤7),使得7|(10ki?m),即i为m的魔术数. 所以,n的最小值为7. ????20分

9

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