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不定方程B答案

发布时间:2013-12-31 10:40:58  

数 学 奥 林 匹 克 模 拟 试 卷(答案)

第[1]道题答案:

5.

依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5. 第[2]道题答案:

260.

设箱子里共有n个乒乓球,二级品占

n?25%?na?91?n 5a.依题意,得 5

整理得 n(15?4a)?20?91 ①

易知 15-4 a>0,所以a≤3.

将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个). 第[3]道题答案:

11.

设共分为x组.由树苗总数可列方程

9x?2?nx?20

(9?n)x?22

因为22=1×22=2×11, n是小于9的质数,对比上式得x=11(组). 第[4]道题答案:

?x?2? ?y?4

?z?1??x?5??y?2?z?1??x?3??y?1?z?2?

显然z只能取1,2,3.

当z=1时,2x?3y?16,其自然数解为x=2, y=4; x=5, y=2.

当z=2时,2x?3y?9,其自然数解为x=3, y=1.

当z=3时,2x?3y?2,显然无自然数解.

?x?2? 所以原方程的自然数解为:?y?4

?z?1?

第[5]道题答案:

8371692. ?x?5??y?2?z?1??x?3??y?1?z?2?

设电话号码的前三位为x,后三位y,第四位为a(a≠0).由题意有

?10x?a?y?9063① ? ② ?x?1000a?y?2529

①-②,化简得x?726?111a.

当a=1时, x=837, y=692;

当a≥2时, y<0,不合题意.

所以电话号码为8371692.

第[6]道题答案:

7,3,2.

由题意有3a?2?6b?5?8c?7.解这个不定方程,得a?7,b?3,c?2. 第[7]道题答案:

5.

11设全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依题意得:x?y?1 46

整理得 3x?2y?12.

易得其自然数解为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.

第[8]道题答案:

3.

设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子

由已知 10x?13y?x?y?6?216 3x?y人.这个条件说明3| x+ y. 3

即 4x?5y?72

4(x?y)?y?72

由12|4(x+ y),12|72.

72?4x724?14. 所以12| y,又y?≤555

所以, y=12, x=3.即有女职工3人.

第[9]道题答案:

32,80.

画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为x,y,z,则

?4??x?y?z??28 ?

?xyz?12

剥去所有涂色的小块,得到上图. 由上面两上算式可以推算出x?3,y?z?2,仅

: (x?y?y?z?x?z)?2 ?(3?2?2?2?3?2)?2

?16?2?32(块).

原来长方体的体积为

V?(x?2)?(y?2)?(z?2)?5?4?4?80(立方分米).

第[10]道题答案:

17.82

设支票上的元数与角、分数分别为x和y,则可列得方程 (100y?x)?350?2(100x?y),

其中x,y为整数且0≤x,y<100.

化简方程得 98y?199x?350

由此推知2x<y且为x偶数,其可能取值为2,4,…,48.

199x?3503x?56?2x?3? 又 y?, 9898

56≤3x?56≤3?48?56?200

所以 3x?56?98或98?2.

2 所以 x?42或x?46(舍去). 3

故x?42,此时y?32.即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.

第[11]道题答案:

设起初有x辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n人,依题意,得 22?x?1?n?(x?1),

22x?123?22? x?1x?1

又n, x为整数,所以(x-1)|23,故x-1=1或23,即x=2或x=24.

23?45与n≤32产生矛盾. 若x=2,则n?222?1

因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x+1=529(名). 所以 n?第[12]道题答案:

设苹果、梨子、杏子分别买了x,y,z个,则

?200x?80y?30z?5000 ?

?x?y?z?40

消去z得 17x?5y?380 ①

所以 x?380?5y 17

10380?5?40380?5y3806????22 1717171717

106 即 10?x?22 1717

又 5|5 y,5|380,(5,17)=1,由①得5| x.所以x=15或x=20.

当x=15时, y=25, z=0,不合题意.

因此x=20, y=8, z=12.

因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个. 由0<y<40得 10

第[13]道题答案:

设获一、二、三等奖的人数分别为x,y,z,根据题意有:

?6x?3y?2z?22① ? ② ?9x?4y?z?22

2×②得 18x?8y?22?44 ③

③-①得 12x?5y?22 ④

解④求得整数解为x=1, y=2.

代入②可求得z=5.

答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人. 第[14]道题答案:

设买A种物品a个, B种物品b个,找回100元的m张,10元的n张,则有:

?590a?670b?10000?100m?10n① ? ② ?670a?590b?10000?10m?100n

其中b>a,n<10.

①-②得 8(b?a)?9(n?m) ③

所以 89(n?m),故8n?m,

由b>a,n<10知 m<n<10,因此, m-n=8,从而b-a=9.

由此推知n=9, m=1, b=a+9.

代入①式,解得a=3. B=12.

答:购A物3个,B物12个.

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