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不定方程A答案

发布时间:2013-12-31 10:41:10  

数 学 奥 林 匹 克 模 拟 试 卷(答案)

第[1]道题答案:

1998.

提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.

第[2]道题答案:

1.

设张红做对x道题,做错y道题,依题意得:

7x?4y?100 ①

100?4y1002?14. ≥777

又 x+y≤20 ②

所以 x≤20-y≤20,

2故 14≤x≤20. 7

又4|4 y,4|100,由①知4|7 x,又4与7互质,所以4| x,故 x=16或20. 当x=20时,由①得y=10,与②产生矛盾.

因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x-y=1(道)题没做. 所以 x?

第[3]道题答案:

750.

x100a?25?,整理得, 810999

810?(100a?25)30?25?(4a?1)? x?. 99937

因为x为自然数,37是质数,所以4a+1一定能被37整除,

推知a=9,因此x?30?25?750. 根据题意,

第[4]道题答案:

没有整数解.

4若方程有整数解,则3x,321y,因此x?21y,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.

第[5]道题答案:

1975. 设他出生年份为19ab,依题意,得:1997?19ab?1?9?a?b

整理得:11a?2b?87

87?2b所以 a? 11

387?2?987?2b8710103??7,即6≤a≤7. ≤ ≤11111111111111

故a=7,从而b=5,他出生于1975年. 由0≤b≤9得6

第[6]道题答案:

24.

28?a7?, 43?b12

于是可得12(28+a)=7(43+b)

即 12a+35=7b ①

显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a.

由①知, b随a增大而增大,所以a取最小值7时, b也取最小值,是17. 所以, a+b的最小值是7+17=24. 依题意,有

第[7]道题答案:

14.

设有x只蜈蚣,y只三头龙,每只三头龙有n只脚,依题意得方程组: ?x?3y?26 ??40x?ny?298① ②

①×40-②,得?120?n?y?742,即

(120?n)y?2?7?53 ③

由于x和y都是正整数,从①式得y≤8.又因为120?n?120?7?53, 所以从③式得y=7,120?n?106,由此得n=14.

第[8]道题答案:

32.

设甲小队有x人,乙小队有y人.由两小队植树棵数相等,得到

13 x-7=10 y-5.

因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2,得到x=4, y=5是上式的一组解,且x每增大10, y就增大13,仍是上式的解.

为使10y-5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).

第[9]道题答案:

84.

设小明第一天看了a页,第二天看了b页,则前五天看的页数依次为: a, b, a+b, a+2b, 2a+3b.

上面各个数的和是200,得到

5a+7b=200.

因为5a与200都是5的倍数,所以b是5的倍数.因为b>a,所以上式只有两组解:

b=20, a=12; b=25, a=5.

将这两组解分别代入2a+3b,得到第五天至少看了84页.

第[10]道题答案:

15.

以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x组,小猴子y组,则有

15?38?x?11?38?y?3382,

15x?11y?89.

易知其整数解为x=3, y=4,所以有大猴子5×3=15(只).

第[11]道题答案:

设公鸡、母鸡、小鸡各买x, y, z只,由题意列方程组: 1?① ?5x

?3y?z?100 ? 3?② ?x?y?z?100

3×①-②整理得 7x?4y?100.

又4|4 y,4|100,所以4|7 x,又(4,7)=1,所以4| x.

100?4y1002?14. 又x?≤777

所以x=4,8或12.

x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.

即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.

第[12]道题答案:

因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x)度,乙用电(50- y)度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:8x+5y=33.

容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.

第[13]道题答案:

设哲洙在乙文具店买了x张卡片,花了y×100分.由共花钱数可列方程 500??50?x??y?100?x?30400

整理得 x(y?5)?54

因为x是小于50的54的约数,则x与y的关系如下表:

因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y小于2000÷100=20,即y-5<15,所以x的可能取值是6,9,18,27.

第[14]道题答案:

设第一堆有x块石头,第二堆有y块石头,并设z为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:

?2(x?100)?y?100① ? ② ?x?z?6(y?z)

由①得 y?2x?100.

代入②整理得 11x?7z?1800.

1800?7z7(z?1)?163?所以 x?. 1111

又x,z自然数,所以11|z+1,

当z=10时, x有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.

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