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操作问题B答案

发布时间:2013-12-31 11:38:51  

数 学 奥 林 匹 克 模 拟 试 卷(答案)

第[1]道题答案:

48

每操作一次,两个数的差减少6,经(612-324)?6=48次操作后两个数相等.

第[2]道题答案:

222

由于操作后所得到的数与原数被9除所得的余数相同,因此操作最后为7的数一定是原数除以9余7的数,即7,16,25,…,1996,一共有(1996-7)?9+1=222(个)

第[3]道题答案:

32

第一次操作后,剩下2,4,6,…,60这30个偶数;

第二次操作后,剩下4,8,12,…,60这15个数(都是4的倍数); 第三次操作后,剩下8,16,24,…,56这7个数(都是8的倍数); 第四次操作后,剩下16,32,48这3个数;

第五次操作后,剩下一个数,是32.

第[4]道题答案:

19

第一轮操作,保留1,3,5,…,25共13张卡片;

第二轮保留3,7,11,15,19,23这6张卡片;

第三轮保留3,11,19这3张卡片;

接着扔掉11,3;

最后剩下的一张卡片是19.

第[5]道题答案:

27次

因为[54,4]=108,所以移动108张牌,又回到原来的状况.又因为每次移动4张牌,所以至少移动108?4=27(次).

第[6]道题答案:

66

按照操作的规则,寻找规律知,A=1999时得到的1999位数

为:1999266864600…0.其各位数字和为1+9+9+9+2+6+6+8+6+4 +6=66

第[7]道题答案:

黑板上的数的和除以7的余数始终不变.

(1+2+3+…+1987)?7=282154

1987?1988=1987?994=1987?142?7是7的倍数. 2

所以黑板上剩下的两个数之和为7的倍数.

又987=7?141是7的倍数,所以剩下的另一个数也应是7的倍数,又这个数是某些数的和除以7的余数,故这个数只能是0. 又1+2+3+…+1987=

第[8]道题答案:

4个

提示:因为5个子不可能黑白相间,所以永远不会得到5个全是黑子.

第[9]道题答案:

5103

记第i次操作后,圆周上所有数的和为ai,依题意,得

ai+1=2ai+ai=3ai.

又原来三数的和为a0=1+2+4=7,所以a1=3a0=21,a2=3a1=63,

a3=3a2=189,a4=3a3=567,a5=3a4=1701,a6=3a5=5103,即所有数的和为5103.

第[10]道题答案:

2

如果写的是奇数,只需1次操作;如果写的是大于2的偶数,经过1次操作变为奇数,再操作1次变为2.

第[11]道题答案:

由操作规则知,每次操作后,甲盒中球数减少一个,因此经过3985次操作后,甲盒中剩下1993+1994-3985=2个球.

每次操作白球数要么不变,要么减少2个.因此,每次操作后甲盒中白球数的奇偶性不变;即白球数为奇数.因此最后剩下的2个球中,白球1个,故另一个必为黑球.

第[12]道题答案:

每次加上的数之和是1+2+3+4=10,所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍.因此,无论如何操作,黑板上的四个数不可能都是1999.

第[13]道题答案:

要把三堆石子都取光是不可能的.

按操作规则,每次拿出去的石子总和是3的倍数,即不改变石子总数被3除的余数.而1989+989+89=3067被3除余1,三堆石子取光时总和被3除余0.所以,三堆石子都取光是办不到的.

第[14]道题答案:

6

解:如上图所示,经过两次变换,10、11、12三个数被顺时针移动了两个位置.仿此,再经过3次这样的两次变换,10、11、12三个数又被顺时针移动了六个位置,变为下图,图中十二个数的顺序符合题意.

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