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中环杯2013年初赛试题解答

发布时间:2013-12-31 13:46:05  

第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动

五年级选拔赛

一、填空题

?1??1??1??1??1??1?1.计算:?1??1??1??1????1??1??_____________。?????22331010????????????

【分析】原式????2.最接近2013的质数是________。

【分析】2011

3.黑箱中有60块大小、形状都相同的木块,每15块涂上相同的颜色。一次至少取出_______块才能保证其中至少有2块木块颜色相同。

【分析】共60?15?4种颜色,需要取出4?1?5块

4.一共有52个学生参加游园活动,其中参观植物馆的有12人,参观动物馆的有26人,参观科技馆的有23人,既参观植物馆又参观动物馆的有5人,既参观植物馆又参观科技馆的有2人,既参观动物馆又参观科技馆的有4人,三个馆都参观的有1人,则有________人这三个馆都没有参观。

【分析】共有12?26?23?5?2?4?1?51人参观了至少一个馆,所以有1个人三个馆都

没参观。

5.如图,?B?30?,?A?60?,?D?20?,则?BCD(图中有圆弧部分的那个角)的度数为________?

。3423111210239111111021020

【分析】四边形内角和为360°,所以优角?BCD?360??30??20??60??250?

6.一次考试中,小明需要计算37?31?a的值,结果他计算成了37?31?a。幸运的是,他仍然得到了正确的结果。则a?_________。【分析】由题意37?31?a?37?31?a?a31

30

7.某次射箭比赛,满分是10份,初赛阶段淘汰所有参赛者的50%。已知进入复赛的选手平均分比全体选手的平均分高2分,且进入复赛选手的平均分是8分。则被淘汰选手的平均分是_________。

【分析】设共有2n人,则进入复赛的选手为n人、被淘汰的选手也为n人。全体选手平均

分为6分,总分为6?2n?12n分,进入复赛选手总分为8?n?8n分,所以被淘汰的选手总分为12n?8n?4n分,平均分为4n?n?4分

8.有若干本书和若干本练习本。如果按每1本书配2本练习本分给一些学生,那么练习本分完时还剩2本书;如果按每3本书配5本练习本分给另一些学生,那么书分完时还剩1

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本练习本。那么,书有________本,练习本有___________本。

【分析】不妨设有x?2本书,则练习本有2x本,由题意

有15本,练习本有26本。

9.在51个连续奇数1,3,5,?,101中选取k个数,使得它们的和为2013,那么k的最大值是__________。

【分析】要使k最大,则所选的数最好小x?22x?1?x?13,所以书35

1?3???89?452?2025?2013,所以所选的数必须少于45个

而44个奇数的和为偶数

所以k的最大值理论上为43

下面开始构造1?3???83?42?1764,2013?1764?249,249?101?148,将83换成99,和增大16,81换成97,和增大16,148?16?9?4,所以要替换9个数,再替换1个数使其大4即可

所以,可以选1至63,69,以及83至101这43个数。

综上,k最大为43。

10.小明和小强玩一个数字游戏,小明选择了一个数字x(0~9之间),然后说:“我正在考虑一个三位数(百位允许为0),这个三位数的百位为x,十位为3,并且能被11整除,请你找出这个三位数的个位数。”小强非常开心,因为他知道能被11整除的数的规律。但是他思考后发现这样的三位数不存在。则x?_________。【分析】不妨设这个三位数为x3y,若这个三位数能被11整除,则有11x?y?3

由题意,无论y为0至9这十个数字中的哪一个时,这个三位数都不能被11整除2

x?y?3?10,即当y取0至9时,x?y?3依次对应为1至10,所以应有1?

所以x?4。

11.我们将具有如下特性的四位数称为“中环数”:(1)四个数字各不相同;(2)千位数字既不是这四个数字中最大的,也不是这四个数字中最小的;(3)个位数字不是这四个数字中最小的。这样的“中环数”有_________个。

4【分析】从0至9中任选4个不同的数字有C10?210种选法

不妨设取出的四个数字为a?b?c?d

由题意,a只能排在百位或十位,有2种选择

d不能排在千位,还剩2个位置可选

剩下的b,c没有要求,依次有2、1个位置可选

综上,中环数共有210?2?2?2?1?1680个。

12.世纪公园里有一片很大的草地,每天总会生长出很多杂草(假设每分钟长出的杂草数量固定)。每天早上8点,一些工人会去除杂草(每个人的除杂草速度相同),一旦除完杂草(杂草的数量为0,好的草不会被除掉),工人们就收工了,之后长出的杂草留待明天再除。第一天,一些工人去除草,除到9点收工;第二天,10个工人去除草,除到8点30分收工;第三天,8个工人去除草,除到_________点_________分收工(最后分钟的值四舍五入,填一个整数即可)。

【分析】不妨设草1分钟长1份

第一天9点时,整块草地上的杂草被除干净了,即草量为0,所以到第二天8点30分时,草长了23小时30分钟,即1410分钟,共长了1410份草

这些草被10位工人用30分钟除干净了,

所以1个工人1分钟可除草1410?10?30?4.7份

第三天8点时,草长了23小时30分钟,即1410分钟,共长了1410份草,8个工

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人每分钟可除草8?4.7?37.6份,需要用1410?(37.6?1)?39分钟把草除干净,即第三天8点39分收工。

13.如图,一个棱长为12厘米的正方体被切了一刀,这刀是沿着IJ切入的,从LK切出,使得AI?DL?4厘米,JF?KG?3厘米,截面IJKL为长方形。正方体被切成了两个部分,这两个部分的表面积之和为___________

平方厘米。

【分析】表面积比原来正方体的表面积增加了两个长方形

如下图,MJ?12?4?3?5,MI?12,由勾股定理,IJ?13

所以新增的长方形面积为12?13?156

122?2?156?1176平方厘米。

两部分表面积之和为6?

I14.如图是一个除法算式,在空格中填入合适的数字能使这个算式成立。那么被除数是______。

□□□

□□1

□□□□

□□□7

□□□

□□9

【分析】由1、7、9,可知c,d,e,f都为奇数,且c?5,d,e,f互不相同

由d?abc为三位数,e?abc为四位数,f?abc为三位数,可知e为d,e,f中最大的一个,所以e?5

若e?5,则e?abc的个位为5不为7,所以e?5

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若e?7,则由e?abc的个位为7,可知c?1,此时由f?abc的个位为9,可知f?9,与e?f矛盾,所以e?7

所以e?9,则由e?abc的个位为7,可知c?3,由d?abc的个位为1,可知d?7,由f?abc的个位为9,可知f?3,由7?abc?999?abc?142,由9?abc?1000?abc?112,所以abc为113或123

而113?793?89609,万位不为9,所以abc?113

所以abc?123,被除数为123?

793?97539

15.A、B、C均为正整数。已知A有7个约数,B有6个约数,C有3个约数,A?B有24个约数,B?C有10个约数。则A?B?C的最小值为_________。

【分析】由A有7个约数,可知A?p6,其中p为质数,由C有7个约数,可知C?q2,

其中q为质数,

若B不含有质因子p,则A?B中质因子p的个数为6,此时A?B的约数个数应为6?1?7的倍数,不可能是24个,所以B含有质因子p

由于24大于7的约数有8、12、24,所以A?B中质因子p的个数可能为7、11、23

若A?B中质因子p的个数为11,则B中质因子p的个数为5,由于B有6个约数,所以B?p,此时B?C?p?q,若p?q,则B?C?p有8个约数,若p?q,则B?C有18个约数,均不为10个约数,所以A?B中质因子p的个数不为11

若A?B中质因子p的个数为23,则B中质因子p的个数为17,显然不可能为6个约数

所以A?B中质因子p的个数为7,则B中质因子p的个数为1

若B不含有质因子q,则B?C中质因子q的个数为2,此时B?C的约数个数应为2?1?3的倍数,不可能是10个,所以B含有质因子q

由于10大于3的约数有5、10,所以B?C中质因子q的个数可能为4、9

若B?C中质因子q的个数为9,则B中质因子q的个数为7,显然不可能为6个约数

所以B?C中质因子q的个数为4,则B中质因子q的个数为2

所以B?p?q,且p?q

所以A?B?C?p6?p?q2?q2,最小值为2?2?3?3?91

16.有这样的正整数n,使得均为完全平方数8n?7、18n-35均为完全平方数。则所有符合要求的正整数n?________。62225527

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22??18n?35?a72n?140?4a22??【分析】不妨设????3b???2a??77?228n?7?b72n?63?9b????

所以(3b?2a)(3b?2a)?77?1?77?7?11

a?19?a?1???解得?b?13或?b?3

?n?22?n?2??

17.将2013?1,2013?2,2013?3,2013?4,2013?5,2013?6,2013?7,2013?8,2013?92013?10,2013?11填入下表,使得填入的数能被其所在列的位置号整除,那么有_________种不同的填写方法。

1234567891011位置号

填入的数

【分析】由于2013?3?11?61

所以1至11中,3的约数有1、3、11这三个

所以除了2013?1,2013?2,2013?3,2013?6,2013?9,2013?11这六个数可以互相交换位置

其余的2013?4,2013?5,2013?7,2013?8,2013?10必须填在4、5、7、8、10号下面

2013?2,2013?6可以填在2、6下面,有2种填法

9下面可以填2013?3,2013?9,有2种填法

剩下3个数可以随意填在1、3、11下面,有6种填法

综上共有2?2?6?24种填法

18.如图,ABCD是边长为6的正方形,ADGH是一个梯形,点E、F分别是AD、GH的中点,HF?6,EF?4,EF?GH。联结HE并延长交CD于点I,作IJ?HA,则IJ=________。

【分析】如下图,连接AI,延长CD较GH于K

易知KD?4,GK?3,所以GD?5,同理AH?5

又由HK?9,DE?3,KD?4,ID:IK?DE:HK,可知ID?2

设IJ?a,JA?b,由勾股定理

?a2?b2?AJ2?有?222a?(b?5)?HI??

?AJ2?ID2?DA2?40?又由勾股定理?222HI?IK?KH?117??

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?a2?b2?40??10b?25?77?b?5.2?22所以?a?(b?5)?117?

?a?27.04?40?a?12.96?a?

3.6

H22

19.如图所示,甲、乙两只蚂蚁在下列圆周上运动。AC为大圆的直径,点B在AC上,AB、BC分别为两个小圆的直径。甲蚂蚁在大圆上顺时针爬行,乙蚂蚁在两个小圆上沿着箭头所指方向绕“8”字爬行(A?B?C?B?A)。甲蚂蚁与乙蚂蚁在某一时刻同时从A点出发,然后不断地爬行,速度比为v甲:v乙=3:2。经过T1分钟,两只蚂蚁相遇。接下来,

1甲蚂蚁将自己的速度提高了,乙蚂蚁的速度不变,继续在原来的轨道上爬行。经过T2分3

钟,两只蚂蚁再一次相遇。已知T1+T2=1003-993+983-973???23?13,则甲蚂蚁按原来的速度绕大圆爬行一周需要__________分钟(本题答案写为假分数)

【分析】乙爬行一个8字的路程为??AB???BC???AC,甲爬行一圈的路程为

??AC,所以甲乙爬行的路程相等,所以甲从A到C的路程与乙从A到C的路程相等

由于一开始V甲:V乙?3:2,所以第一次相遇时,甲爬了3圈,乙爬了2个8字,在A点相遇

甲将速度提高

1个8字1*后,V甲:V乙?4:2,所以第二次相遇时,甲爬行了2圈,乙爬了3

T1?T2

?(100?99)(1002?100?99?992)???(2?1)(22?2?1?12)

?1002?992???22?12?100?99???2?1

100?101?201?1002?100?982?98???22?26

?338350?22?(502?492???12)?(100?98???2)

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?338350?171700?2550

?507500

所以,在507500分钟当中,乙爬了3个8字,所以乙爬一个8字用时

钟,

由于一开始V甲:V乙?3:2,所以甲以初始速度爬行一周需要507500分350750021015000339

20.将0~9填入下图圆圈中,每个数字智能使用一次,使得每条线段上的数字和都是13

【分析】如下图,a?h被算了3次,x被算了4次,y被算了2次

则10?13?3?(0?1?2???9)?x?y?y?x?5

由于a?g?b?c?x?y?h?e?d?13?f?6

所以c?d?a?h?b?x?7?f?6

所以,a,b,c,d,x,h分别为0、2、3、4、5、7

所以e,g,y分别为1、8、9

又y?x?5,所以y?8或9

若y?8,则x?3?b?4?e?1?g?9?a?0?d?10矛盾

所以

y?9?x?4?b?3?e?1?g?8

?a?2?d?7?c?0?h?5

ah283

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李唯瑒

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