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2009年第26届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案1

发布时间:2013-12-31 14:57:42  

第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷

一、选择题.本题共5小题,每小题7分.在每小题给出的4个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多项是正确的.把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得7分,选对但不全的得3分,选错或不答的得0分.

1.图中a、b和c、d分别是两个平行板电容器的极扳,E为电池,彼

此相距较远.用导线将E的正极与a、 c相连,将E的负极与b、d

相连,待电容器充电后,去掉导线.这时已知a带的电荷量大于c带

的电荷量,称此状态为原始状态.现设想用两根导线分别都从原始状态出发,进行以下两次连接:第一次用一根导线将a、c相连,用另一根导线将b、d相连;第二次用一根导线将a、d相连,用另一根导线将b、c相连,每次连接后都随即移去导线.下面哪种说法是正确的?

A.经过第一次连接,a、b间的电压下降,c、d间的电压上升

B.经过第一次连接,a、b间和c、d间的电压都不变

C.经过第二次连接,a、b间的电压和c、d间的电压中有一个上升,一个下降

D.经过第二次连接,a、b间的电压和c、d间的电压都下降 [ ]

2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆,串联后接在某一直流电源两端,如图所示.已知杆a的质量小于杆b的质量,杆a金属的摩尔质量小于杆b金属的摩尔质量,杆a的电阻大于杆b的电阻,假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电子(载流

子).当电流达到稳恒时,若a、 b内存在电场,则该电场可视为均匀电场.下

面结论中正确的是

A.两杆内的电场强度都等于零

B.两杆内的电场强度都不等于零,且a内的场强大于b内的场强

C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等

D.a内载流子定向运动的速度一定大于b内载流子定向运动的速度 [ ]

3.一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上.现用手指封住管的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以V0表示其体积;然后把玻璃管沿竖直方向提出水面,设此时封在玻璃管中的气体体积为V1;最后把玻璃管在竖直平面内转过900,使玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积为V2.则有

A.V1>V0=V2 B.V1>V0>V2

C.V1=V2>V0 D.V1>V0,V2>V0 [ ]

4.一块足够长的白板,位于水平桌面上,处于静止状态.一石墨块(可视为质点)静止在白板上.石墨块与白板间有摩擦,滑动摩擦系数为μ.突然,使白板以恒定的速度v0做匀速直线运动,石墨块将在板上划下黑色痕迹.经过某一时间t,令白板突然停下,以后不再运动.在最后石墨块也不再运动时,白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为g,不计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量) ht

22v0v012v0t C.A B.v0t??gt D [ ] 2?g?g2

5.如图1所示,一个电容为C的理想电容器与两个阻值皆为R的电阻串联后通过电

键K连接在电动势为 E的直流电源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键K是断开

的,在t=0时刻,闭合电键K,接通电路,在图2中给出了六种电压V随时间t变化

的图线a、b、c、d、e、f,现从其中选出三种图线用来表示图l所示电路上1、2、3、

4四点中某两点间的电压随时间t的变化,下面四个选项中正确的是

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A.a、b、f B.a、e、f C.b、d、e D.c、d、e [ ]

二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果,不需写出求得结果的过程.

6.(8分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标,这严重影响

了搜索的速度.现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达”,它是由数以万计的只有

几厘米或更小的小天线按一定的顺序排列成的

天线阵,小天线发出相干的电磁波,其初相位可

通过电子计算机调节,从而可改变空间干涉极强的方位,这就起了快速

扫描搜索空中各个方向目标的作用.对下面的简单模型的研究,有助于

了解改变相干波的初相位差对空间干涉极强方位的影响.

图中a、b为相邻两个小天线,间距为d,发出波长为λ的相干电磁波.Ox轴通过a、b的中点且垂直于a、b的连线.若已知当a、b发出的电磁波在a、b处的初相位相同即相位差为O时,将在与x轴成θ角(θ很小)方向的远处形成干涉极强,现设法改变a、b发出的电磁波的初相位,使b的初相位比a的落后一个小量φ,结果,原来相干极强的方向将从θ变为θ',则θ-θ'等于

7.(8分)He一Ne激光器产生的波长为6.33×10-7m的谱线是Ne原子从激发态

能级(用E1表示)向能量较低的激发态能级(用E2表示)跃迁时发生的;波长为

3.39×10-6m 的谱线是Ne原子从能级E1向能级较低的激发态能级(用E3表示)跃

迁时发生的.已知普朗克常量h与光速c的乘积hc=1.24×10-6m·eV.由此可知

Ne的激发态能级E3与E2的能最差为 eV.

8.(8分)一列简谐横波沿x轴负方向传播,传播速度v=200m/s.已知位于坐标原

点(x=0)处的质元的振动图线如图1所示.试在图2中画出,t=4Oms,时该简谐波的波形图线(不少于一个波长).

http://hf本卷第2页(共17页)山东世纪金榜书业有限公司

9.(8分)图示为某一圆形水池的示意图(竖直截面).AB为池中水面的直径,

MN为水池底面的直径,O为圆形池底的圆心.已知ON为11.4m , AM、BN为斜

坡,池中水深5.00m,水的折

射率为4 / 3.水的透明度极

好,不考虑水的吸收.图中a、b、c、d为四个发光点,

天空是蓝色的,水面是平的.在池底中心处有一凹槽,

一潜水员仰卧其中,他的眼睛位于O处,仰视水面的

最大范围的直径为AB.

(i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为

(ii)四个发光点a、b、c、d中,其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛的是

三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果的不能得分.有数值计算的.答案中必须明确写出数值和单位.

10.(19分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验结果的影响.

(i)用“插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃砖放置在铺平

的白纸上,然后紧贴玻璃砖的两个透明面,分别画出两条直线,在实验中便以这两

条直线间的距离作为透明面之间的距离.如果由于操作中的误差,使所画的两条直

线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离,问这样测得的折射率与实际值相比,是偏大,偏小,还是相同?试给出简要论证

(ii)在用单摆测量重力加速度g时,由于操作失误,致使摆球不在同一竖直平面内运动,

而是在一个水平面内作圆周运动,如图所示.这时如果测出摆球作这种运动的周期,仍用

单摆的周期公式求出重力加速度,问这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比,

哪个大?试定量比较.

11.(18分)现有以下器材:电流表一只(量程适当.内阻可忽略不计.带有按钮

开关K1,按下按钮,电流表与电路接通,有电流通过电流表,电流表显出一定的读数),阻值己知为R的固定电阻一个,阻值未知的待测电阻Rx一个,直流电源

一个(电动势ε和内阻r待测),单刀双掷开关K一个,接线用的导线若干.

试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势ε和内阻r,又能测量待测电阻的阻值Rx(注意:

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此电路接好后,在测量过程中不许再拆开,只许操作开关,读取数据).具体要求: (i)画出所设计的电路图.

(ii)写出测量ε、r和Rx主要的实验步骤.

(iii)导出用已知量和实验中测量出的量表示的ε、r和Rx的表达式.

12.(18分)一静止的原子核A发生α衰变后变成原子核B,已知原子核A、原子

核B和α粒子的质量分别为mA、mB,和mα,光速为c(不考虑质量与速度有关的

相对论效应), 求衰变后原子核B和α粒子的动能.

13.(18分)近代的材料生长和微加工技术,可制造出一种

使电子的运动限制在半导体的一个平面内(二维)的微结构器件,且可做到电子在器件中像子弹一样飞行,不受

杂质原子射散的影响.这种特点可望有新的应用价

值.图l 所示为四端十字形.二维电子气半导体,当电流从l端进人时,通过控制磁场的作用,可使电流从 2, 3,或4端流出.对下面摸拟结构的研究,有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动.在图 2 中, a、b、c、d

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为四根半径都为R的圆柱体的横截面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4,在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面指向纸里.以B表示磁感应强度的大小.一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,在纸面内以速度v0沿与a、b都相切的方向由缝1射人磁场内,设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞,碰撞是弹性的,碰撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不受摩擦力作用.试求B为何值时,该粒子能从缝2处且沿与b、c都相切的方向射出.

14.(20分)如图所示,M1N1N2M2是位于光滑水平桌面上的刚性U型金属导轨,

导轨中接有阻值为R的电阻,它们的质量为m0.导轨的两条轨道间的距离为l,

PQ是质量为m的金属杆,可在轨道上滑动,滑动时保持与轨道垂直,杆与轨道的

接触是粗糙的,杆与导轨的电阻均不计.初始时,杆PQ于图中的虚线处,虚线的

右侧为一匀强磁场区域,磁场方向垂直于桌面,磁感应强度的大小为B.现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F作用于PQ上,使之从静止开始在轨道上向右作加速运动.已知经过时间t , PQ离开虚线的距离为x,此时通过电阻的电流为I0,导轨向右移动的距离为x0(导轨的N1N2部分尚未进人磁场区域).求在此过程中电阻所消耗的能量.不考虑回路的自感.

15.(20分)图中M1和M2是绝热气缸中的两个活塞,用轻质刚性细杆连结,活塞

与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的,M1是导热的,M2是绝热的,且M2的横截面积是M1的2倍.M1把一定质量的气体封闭在气缸的L1部分,M1和M2把一定

质量的气体封闭在气缸的L2部分,M2的右侧为大气,大气的压强P0是恒定的. K

是加热L2中气体用的电热丝.初始时,两个活塞和气体都处在平衡状态,分别以V10和V20表示L1和L2

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中气体的体积.现通过K对气体缓慢加热一段时间后停止加热,让气体重新达到平衡态,这时,活塞未被气缸壁挡住.加热后与加热前比, L1和L2中气体的压强是增大了、减小了还是未变?要求进行定量论证.

16.(20分)一个质量为m1的废弃人造地球卫星在离地面h=800km高空作圆周运

动,在某处和一个质量为m2=m1/9的太空碎片发生迎头正碰,碰撞时间极短,碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动.碰撞前太空碎片作椭圆运动,椭圆轨道的半长

轴为7500km,其轨道和卫星轨道在同一平面内.已知质量为m的物体绕地球作椭圆运动时,其总能量即动能与引力势能之和E??GMm,式中G是引力常量,M是地球的质量,a为椭2a

圆轨道的半长轴.设地球是半径R=6371km的质量均匀分布的球体,不计空气阻力.

(i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上.

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(ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上),碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是多少?

第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷

参考解答与评分标准

一、选择题.(共35分)

答案:

1.B , D 2.B 3.A 4.A , C 5.A , B

评分标准:

每小题7分.在每小题给出的4个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多项是正确的.全部选对的得7分.选对但不全的得3分,有选错或不答的得0分.

二、填空题和作图题.共32分,每小题8分.按各小题的答案和评分标准给分.

6.答案与评分标准:??(8分) 2?d

7.答案与评分标准: 1.59(8分)

8.答案:

评分标准:8分.有任何错误都给0分.

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9.答案与评分标准:

(i)97.20 ( 4 分)

(ii)c、d(两个都对得 4 分,只填一个且正确得2分,有填错的得0分)

10.参考解答:

(i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线,以两条虚线代表

玻璃砖的两个透明面,根据题意,实线间的距离大于虚线间的距离,

如图所示.根据实线位置定出的折射角为γ,按实际的玻璃砖两透

明面的位置即虚线定出的折射角为γ',由图知

γ>γ' ( l )

由折射定律 sini=nsinγ (2 )

令入射角i 相等,当折射角偏大时,测出的折射率将偏小.

(ii)以l表示摆长,θ表示摆线与竖直方向的夹角,m表示摆

球的质量,F表示摆线对摆球的拉力,T表示摆球作题图所示运动

的周期.有

Fsin??mls?in2?2 ) ( l ) T

Fcos??mg ( 2 )

由(l)、(2)式得

T?2? ( 3 ) 而单摆的周期公式为

T??2?即使在单摆实验中,摆角很小,θ< 50,但cosθ< l,这表示对于同样的摆长l,摆球在水平面内作圆周运动的周期T小于单摆运动的周期T',所以把较小的周期通过(4)求出的重力加速度的数值将大于g的实际值.

评分标准:本题 19 分.

第(i)小题9分.得到(l)式给4分,得到正确结论给5分.只有结论给0分.

第(ii)小题10分.得到(3)式给5分,得到正确结论给5分.只有结论给0分.

11.参考解答:

解法一

(i)电路如右图所示,

(ii)实验步骤:

(1)将单向双掷开关K置于空位,按所设计的电路图接线.

(2)按下电流表上的按钮开关K1,读下电流表的示数I1.

(3)将K打向左侧与a接通,读下电流表的示数12.

(4)将K打向右侧与b接通,读下电流表的示数13 .

(iii)由欧姆定律有

??I1R?I1r (1)

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??IRRx

2r?I2R?R (2)

x

???

I?

3R????I?

3?Rx (3)

?x

?R?R?r?

x??

解以上三式得

??(I2?I3)I1R

I?I (4)

21

r?(I1?I3)R

I (5)

2?I1

RI3R

x?I (6)

2?I3

评分标准:本题18分.

第(i)小题9分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得0分.

第(ii)题3分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占1分. 第(iii)题6分.(4)、(5)、(6)式各 2 分.

解法二

(i)电路如右图所示.

(ii)实验步骤:

(1)将单向双掷开关K置于空位,按所设计的电路图接线.

(2)按下电流表上的按钮开关K1,读下电流表的示数I1.

(3)将K打向左侧与a接通,读下电流表的示数I2.

(4)将K打向右侧与b接通,读下电流表的示数13.

(iii)由欧姆定律有

??I1(R?Rx?r) (1)

??I2(R?r) (2)

??I3(Rx?r) (3)

解以上三式得

??I1I3R

II (4)

3?1

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r?I1I2?I1I3?I2I3R (5) I2(I3?I1)

I3(I2?I1)R (6) I2(I3?I1) Rx?

评分标准:本题18分.

第(i)小题9分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得0分.

第(ii)题3分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占1分.

第(iii)题6分.(4)、(5)、(6)式各 2 分.

12.参考解答:

设α粒子速度的大小为vα,原子核B速度的大小为vB,在衰变过程中动量守恒,有

mαvα+mBvB=0 (1)

衰变过程中能量守恒,有

mAc?21122m?v??mBvB?m?c2?mBc2 (2) 22

解(l)、(2)二式得

m?12mBvB?(mA?mB?m?)c2 (3) 2m??mB

mB12m?v??(mA?mB?m?)c2 (4) 2m??mB

评分标准:本题 18 分.

(1)式4分,(2)式8分,(3)、(4)各3分.

13.参考解答:

解法一

在图中纸面内取Oxy坐标(如图),原点在狭缝l处,x轴过缝1和缝3.粒子从缝1进人磁场,在洛仑兹力作用下作圆周运动,圆轨道在原点与x轴相切,故其圆心必在y轴上.若以r表示此圆的半径,则圆方程为

x2+(y-r)2=r2 (1)

根据题的要求和对称性可知,粒子在磁场中作圆周运动时应与d的柱面相碰于缝3、4间的圆弧中点处,碰撞处的坐标为

x=2R-Rsin450 (2)

y=R-R cos450 (3)

由(l)、(2)、(3)式得 r=3R (4)

2v0? (5) 由洛仑兹力和牛顿定律有 qv0Br

由(4)、(5)式得 B?mv0 (6)

3qR

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评分标准:本题 18 分.

(1)、(2)、(3)式各4分,(4)、(5)、(6)式各2分.

解法二

如图所示,A为a、b两圆圆心的连线与缝l的交点,F为c、d两圆

圆心的连线与缝3的交点.从1缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱d的

表面发生弹性碰撞后,反弹进人缝2,这个过程一定对连结b、d 两圆圆

心的直线OP对称,故直线OP与d圆的交点C必是碰度点.由于粒子在

磁场中做圆运动过A点,因此这个轨道的圆心必在过A点并垂直于AF

的直线AE上;同时这个轨道经过C点,所以轨道的圆心也一定在AC的

垂直平分线DE上.这样AE与DE的交点E就是轨道的圆心,AE就是轨

道的半径r.过C点作AF的垂线与AF交于H点,则

?AHC∽?EDA

有 r?

由图可知

HC?R?ACAD (1) HCR (2) 2

R (3) 2

AH?2R?

AC?

AD? (4) 1AC (5) 2

由以上各式得 r=3R (6)

2v0? (7) 由洛仑兹力和牛顿定律有 qv0Br

得到 B?mv0 (8) 3qR

评分标准:本题 18 分.

(1)式8分,(2)、(3)(4)、(5)式各1分,(6)、(7)、(8)式各1分.

14.参考解答:

杆PQ在磁场中运动时,受到的作用力有:外加恒力F,方向向右;磁场的安培力,其大小FB=BIl,方向向左,式中I是通过杆的感应电流,其大小与杆的速度有关;摩擦力,大小为Fμ,方向向左.根据动能定理,在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能,即有

WF?WFB?WF??12mv (1) 2

式中v为经过时间t杆速度的大小,WF为恒力F对杆做的功,WF安为安培力对杆做的功,WFμ为摩擦力对杆做的功.恒力F对杆做的功

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WF=Fx (2)

因安培力的大小是变化的,安培力对杆做的功用初等数学无法计算,但杆克服安培力做的功等于电阻所消耗的能量,若以ER表示电阻所消耗的能量,则有

-WF安=ER (3)

摩擦力Fμ是恒力,它对杆做的功

WFμ=-Fμx (4)

但Fμ未知.因U型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动,若其加速度为a,则有

Fμ=m0a (5)

而 a=2x0/t2 (6)

由(4)、(5)、(6)三式得 WF???2m0x0x (7) t2

经过时间t杆的速度设为v,则杆和导轨构成的回路中的感应电动势

ε=Blv (8)

根据题意,此时回路中的感应电流

I0?

由(8)、(9)式得

v??R (9) I0R (10) Bl

由(l)、(2)、(3)、(7)、(10)各式得

22x0R1I0 ER?(F?2m02)x?m22 (11) t2Bl

评分标准:本题20分.

(1)式3分,(2)式l分,(3)式4分,(7)式4分,(10)式5分,(11)式3分.

15.参考解答:

解法一

用n1和n2分别表示L1和L2中气体的摩尔数,P1、P2和 V1、V2分别表示L1和L2中气体处在平衡态时的压强和体积,T表示气体的温度(因为 M1是导热的,两部分气体的温度相等),由理想气体状态方程有

p1V1=n1RT (1)

P2V2=n2RT (2)

式中R为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态时有

p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3)

已知

S2=2S1 (4)

由(3)、(4)式得

p1+p2=2p0 (5)

由(l)、(2)、(5)三式得

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n1p0V2n2 p1? (6) 1V1?V2n22

若(6)式中的V1、V2是加热后L1和L2中气体的体积,则p1就是加热后L1中气体的压强.加热前L1中气体的压强则为

n1p0V20n2 p10? (7) n1V10?V20n22

设加热后,L1中气体体积的增加量为△V1,L2中气体体积的增加量为△V2,因连结两活塞的杆是刚性的,活塞M2的横截面积是M1的2倍,故有

△V1=△V2=△V (8)

加热后,L1和L2中气体的体积都是增大的,即△V > 0 .[若△V< 0,即加热后,活塞是向左移动的,则大气将对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学第一定律,气体的内能增加,温度将上升,而体积是减小的,故L1和L2中气体的压强p1和p2都将增大,这违反力学平衡条件(5)式]

于是有 V1=V10+△V (9)

V2=V20+△V (10)

由(6)、(7)、(9)、(10)四式得

n1p0(V10?V20)?Vn2 p1?p10? (11) n1n1[V10??V?(V20??V)](V10?V20)n2n22

由(11)式可知,若加热前V10=V20,则p1=p10,即加热后p1不变,由(5)式知p2亦不变;若加热前 V10<V20,则p1< p10,即加热后P1必减小,由(5)式知P2必增大;若加热前 V10>V20, 则p1> p10,即加热后p1必增大,由(5)式知p2必减小.

评分标准:本题 20 分.

得到(5)式得3分,得到(8)式得3分,得到(11)式得8分,最后结论得6分.

解法二

设加热前L1和L2中气体的压强和体积分别为p10、p20和V10、V20,以pl、p2和V1、V2分别表示加热后L1和L2中气体的压强和体积,由于M1是导热的,加热前L1和L2中气体的温度是相等的,设为T0,加热后L1和L2中气体的温度也相等,设为T.因加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态,注意到S2=2S1,力学平衡条件分别为

p10+p20=2p0 (1)

p1+p2=2p0 (2)

由(l)、(2)两式得

p1-p10=- (p2-p20) (3)

根据理想气体状态方程,对L1中的气体有

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p1V1T? (4) p10V10T0

对 L :中的气体有

p2V2T? (5) p20V20T0

由(4)、(5)两式得

p1V1pV?22 (6) p10V10p20V20

(6)式可改写成

(1?p1?p10V?Vp?p20V?V)(1?110)?(1?2)(1?220) (7) p10V10p20V20

因连结两活塞的杆是刚性的,活塞M2的横截面积是M1的2倍,故有

V1-V10=V2-V20 (8)

把(3)、(8)式代入(7)式得

(1?p1?p10V?Vp?p10V?V)(1?110)?(1?1)(1?110) (9) p10V10p20V20

若V10=V20,则由(9)式得p1=p10,即若加热前,L1中气体的体积等于L2中气体的体积,则加热后L1中气体的压强不变,由(2)式可知加热后L2中气体的压强亦不变.

若V10<V20,则由(9)式得p1< p10,即若加热前,L1中气体的体积小于L2中气体的体积,则加热后L1中气体的压强必减小,由(2)式可知加热后L2中气体的压强必增大.

若V10>V20,则由(9)式得p1> p10,即若加热前, L1中气体的体积大于L2中气体的体积,则加热后 L1中气体的压强必增大,由(2)式可知加热后L2中气体的压强必减小.

评分标准:本题 20 分.

得到(l)式和(2)式或得到(3)得3分,得到(8)式得3分,得到(9)式得8分,最后结论得6 分.

16.参考解答:

(i)图1为卫星和碎片运行轨道的示意图.以v1表示碰撞前卫星作圆周运动的速度,以M表示地球E的质量,根据万有引力定律和牛顿定律有

Mm1v12G?m1 (1) 2(R?h)R?h

式中G是引力常量.由(l)式得

v1?? (2) 以v2表示刚要碰撞时太空碎片的速度,因为与卫星发生碰撞时,碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离,根据题意,太空碎片作椭圆运动的总能量

本卷第14页(共17页)山东世纪金榜书业有限公司

Mm2Mm212 (3) m2v2?G??G2R?h2a

式中a为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得

v2?? (4) 卫星和碎片碰撞过程中动量守恒,有

m1v1-m2v2=(m1+m2)v (5)

这里v是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得

v?m1v1?mv22 (6) m1?m2

由(2)、(4)、(6)三式并代人有关数据得

v?0.75 (7) 结合物能否撞上地球,要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离rmin,如果rmin<R,则结合物就撞上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴a '.结合物的总能量

?GM(m1?m2)1M(m1?m)2 (8) ?(m1?m2)v2?G2a?2R?h

代人有关数据得 a '=5259km (9)

结合物轨道的近地点到地心的距离

rmin=2 a '-(R+h)=3347km<R (10)

据此可以判断,结合物最后要撞上地球.

(ii)解法一

在极坐标中讨论.取极坐标,坐标原点在地心处,极轴由北极指向南极,

如图2所示.碰撞点在北极上空,是椭圆轨道的远地点,结合物轨道的椭圆方

r?p (11) 1?ecos?

式中e是偏心率,p是椭圆的半正焦弦,远地点到地心的距离

rmax=R+h (12)

由解析几何有

e?rmax?r

2a?min ) (13) (?0.363 5

在轨道的近地点,r=rmin,θ=0,由(11)式得

p=rmin(1+e)(=4563km) (14)

或有

p=rmax (1-e) (15)

在结合物撞击地球处;r= R,由(11)式有

R?p (16)

1?eco?s

本卷第15页(共17页)山东世纪金榜书业有限公司

或 cos?? p?R (17) eR

代人有关数据可得

cosθ=-0.7807 (18)

θ=141.320 (19)

这是在北纬51.320 .

评分标准:本题20分.

第(i)小题12分.(1)或(2)、(3)或(4)、(5)或(6)式各2 分,(8)式3分,(10)式3分. 第(ii)小题8分.(11)、(12)、(13)、(14)或(15)、(16)或(17)式各l分,(19)式2分(答案在1410到1420之间的都给2分),正确指出纬度给l分.

解法二

在直角坐标中讨论.取直角坐标系,以椭圆的对称中心为坐标原点O, x轴通过近地点和远地点并由远地点指向近地点,如图3所示.结合物轨道的椭圆方程是

x2y2

??1 (20) a?2b?2

式中a'、b'分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地点到地心的距

rmax=R+h (21)

根据解析几何,若c为地心与坐标原点间的距离,

c= rmax-a'(=1912km) (22)

b?? (23)

注意到a'由(9)式给出,得

b'=4899km (24)

结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点,设该处的坐标为xp和yp,则有

xp=Rcosθ+c (25)

yp=Rsinθ (26)

式中θ为从地心指向撞击点的矢经与x方向的夹角.因撞击点在结合物的轨道上,将(24)、(25)式代入轨道方程(20)式,经整理得

??a?)co?s? R(b2222?2?2?b2cRc?o?s?ab2?a2?R2 0 (27)

引人以下符号并代人有关数据得

??a?)?(?148?410km ??R(b )

(?584?610km ??2b?cR )ht22211211

?b??a?(R?5465?10k m) ??b?c?a

代入(27)式得 22222211

s??? 0 ?cos???co? (28)

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s?解得

co? (29) 舍掉不合理的答案,得

cosθ=-0.7807 (30)

θ=141.320 (31)

这是在北纬51.320 .

评分标准:

(20)、(21)、(22)、(23)或(24)、(27)式各l分,(31)式2分(答案在1410到1420之间的都给2分),正确指出纬度给1 分.

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