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2010年学而思杯初三数学模拟题

发布时间:2013-12-31 14:58:27  

雷谨铭

“学而思杯”模拟题

数学试卷

姓名: 考号: 年级: 学校: 考生须知:1、试卷分为填空题和解答题两部分,其中第Ⅰ卷为填空题,第Ⅱ卷为解答题。 2、试卷分值满分100+10分,考试时间100分钟,其中填空题45分,解答题

55分,附加题10分,考试前请认真审题,看清题目,按要求认真作答。

3、考试结束后由监考老师统一收回。

一、填空题:(45分、共计15题,每小题3分)

中自变量的取值范围 2、如果关于x的方程 kx2?2x?1?0有两个实数根,那么k的取值范围是 3、已知?x?3?是x3?3x2?x?m?1的一个因式,则m

1

、函数y3x?15

的值为零时,此时x的取值为 .

2x?10

5、一个圆锥的高线长是8cm,底面直径为12cm,则这个圆锥的侧面积是

4、当分式

6

、已知2008?aa,则a?20082?

xx?5

,当A?B时,那么x? . ,B?1?2

x?1x?1

8、已知两圆的半径分别为3cm和4cm,如果这两个圆的圆心距为10cm,那么这两个圆的位置关系_______.

7、设A?

9、如图,从点P向?O引两条切线PA、PB切点为A、B,BC为?O的直径,若?P?60?,

PA?3,则?O的直径BC的长为

10、如图,在直角三角形ABC中,?C?90?,AO、BO分别为?A和?B的角分线并且相交于点O,则?AOB? .

B

C

O

B

A

(9题) (10题) (11题) 11、如图所示,从左到右,在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中

所填整数之和都相等.可求得c=_______,第2009个格子中的数为_________.

k

12、已知双曲线y?经过点(?1,3),如果A(2,b1),B(3,b2)两点在该双曲线上,那么b1

x

b2.

(用“>”或“<”连接) 13、设关于x的方程ax2??a?2?x?9a?0有两个不相等的实根x1、x2,且x1?1?x2,则a的取值范围为 .

14、如图,在Rt△ABC中,∠C?90?,BC?1?,xn的,AC?2,把边长分别为x1,x2,x3,

n个正方形依次放入△ABC中:第一个正方形CM1PN11的顶点分别放在Rt△ABC的各

雷谨铭

边上;第二个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt△APM11的各边上,??, 其他正方形

依次放入,则第三个正方形的边长 x3为 ,第n个正方形的边长xn? (n为正整数).

B

N11N22P23

M2C

15、?ABC的三边分别为4、5、6,?A'B'C'∽?ABC,且?A'B'C'的最长与最短边之差为1,则?A'B'C'的面积为 .

M1

二、解答题:(55分,共计9题)

?a2?45?216、(5分)先化简,在求值:?2,其中,a是方程x2?3x?1?0???2?a?4a?4a?2?a?2a

的根.

1117、(5分)解不等式,并且把其解集表示在数轴上. ?11?4?x?1??3?x?2?+x?4x?4

18、(5分)已知,如图,AC是?O的直径,AB是弦,MN是过点A的直线,AB等于半径长.

(1) 若?BAC?2?BAN,求证:MN是?O的切线.

(2) 在(1)成立的条件下,当点E是?AB的中点时,在AN上截取AD?AB,

连接BD、BE、DE,求证:△BED是等边三角形.

O

B

MAN

雷谨铭

19、(5分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y?ax2?bx?c经过A?3,0?、B?5,0?、C?0,5?三点.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)设抛物线的顶点为D,求△BCD的面积;

20、(6分)某校开展“迎2009年国庆六十周年”的主题校会活动,老师派小明同学去学校

附近超市买笔记本作为奖品.小明选择了该超市单价为8元和4.8元的两种笔

记本,他要购买这两种笔记本共40本.

(1)如果他一共带了240元,全部用于购买奖品,那么能买这两种笔记本各多

少本?

(2)小明根据主题校会活动的设奖情况,决定所购买单价为8元笔记本的数量

1要少于单价为4.8元笔记本数量的,但又不少于单价为4.8元笔记本2

1数量的.如果他买了单价为8元的笔记本x本,买这两种笔记本共花了y4

元.

①请写出y(元)关于x(本)的函数关系式,并求出自变量x的取值范

围;

②请帮小明计算一下,这两种笔记本各购买多少本时,所花的钱最少,此

时花了多少元?

21、(7分)已知:在正方形ABCD中,点G是BC延长线一点,连结AG,分别交BD、CD于点E、F.

(1)求证:?DAE??DCE;

(2)当C试判断CF与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论. G?CE时,

DF(3)在(2)的条件下,求的值. FC

A

FD

BCG

雷谨铭

22、(7分)在直角三角形ABC中,?ACB?90?,CD⊥AB于D,AE平分?BAC交BC于E,

过C、E、D 三点作圆交AE于G,CD、AE交于F,求证:AG?FG .

23、(7分) 如图所示,在4?4的菱形斜网格图中(每一个小菱形的边长为1,有一个角是

,菱形ABCD 的边长为2,E是AD的中点,按CE将菱形ABCD剪成①、600)

②两部分,用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形,要求所拼成图形的顶点均落在格点上.

(1)在下面的菱形斜网格中画出示意图;

(2)判断所拼成的三种图形的面积(s)、周长(l)的大小关系(用“=”、“>”或“<”连接):

面积关系是 ;

周长关系是 . (直角三角形)

(等腰梯形) (矩形)

雷谨铭

24、(8分)已知:抛物线y?x2?mx?n与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),B?3,0?,

且经过C?2,?3?,与y轴交于点D,

(1)求此抛物线的解析式及顶点F的坐标;

(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物于E点,求线段

PE长度的最大值;

(3)在(1)的条件下,在x轴上是否存在两个点G、H(G在H的左侧),且

GH?2,使得线段GF?FC?CH?HG的长度和为最小;如果存在,求出G、H的坐标;如果不存在,说明理由.

附加题:(10分)

如图,已知抛物线l1:y?x2?4的图像与x轴相交于A、C两点,B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合),抛物线l2与l1关于x轴对称,以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.

(1) 求l2的解析式;

(2) 求证:点D一定在l2上;

(3) 平行四边形ABCD能否为矩形?如果能为矩形,求这些矩形

公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由. (注:计算结果不取近似值)

雷谨铭

参考答案:

一、填空题: 1、 x??2且x?0;2、k??1且k?0;3、m??4;4、x不存在;5、60?;

6、2009;7、x?2;8、外离;9

、;10、1350 ;11、3、?1;12、?;

2n28 13、??a?0;14、、n;15

31127二、解答题:

?(a?2)(a?2)5?a(a?2)?a?25?a(a?2)16、解:原式?? ????????2(a?2)a?22a?2a?22????

a(a?3)1 ?(a2?3a)?a是方程x2?3x?1?0的根,∴a2?3a?1?0 , 22

1 ∴a2?3a??1 ∴ 原式?? 2

17、解:∵x?4为分母,从而必须满足x?4 ∴11?4?x?1??3?x?2?,可得x?3。∴最终得:x?3且x?4 ? 18、证明:连结OB

∵AC是圆的直径,AB是弦,且AB长度等于半径 ∴OA?OB?AB

∴△ABC是等边三角形

∴?OAB?60?

∵?BAC?2?BAN?60?

∴?BAN?300

∴?CAN??BAC??BAC?90? ∴AC⊥MN,

∴MN是?O的切线

(2)连结AE、OE

由E点是?AB的中点,可得?BAE??ABE?15? 易证△ABE≌△ADE,∴BE?DE,?EDA?15? ?BAD?60?,∴△BED是等边三角形

19、解:(1)根据题意,c?5.

1?a?,??9a?3b?5?0?3∴ ? 解得 ? ∴抛物线解析式为 825a?5b?5?0??b???3?

雷谨铭

18y?x2?x?5. 33

1811611 (2) y?x2?x?5?(x2?8x?16)??5?(x?4)2? 333333

1∴抛物线顶点D的坐标为(4,?)设直线CD的解析式为y?kx?b,则 3

4?b?5,?4??k??, ∴∴直线CD的解析式为y??x?5.设直线CD3??134k?b??.??3??b?5.

15155与x轴交于点F,则F点坐标为(,0). ∴BF?5??.∴ 444

10S△BCD?S△BFD?S△BFC? 3

20、解:(1)设能买单价为8元的笔记本x本,则能买单价为4.8元的笔记本(40?x)本.

依题意,得 8x?4.8(40?x)?240.解得 x?15.∴40?x?40?15?25. 答:能买单价8元的笔记本15本,单价为4.8元的笔记本25本.

(2)①依题意,得y?8x?4.8(40?x)?3.2x?192. 1?x?(40?x),?40?2又由题意,有?解得8≤x?.∴y关于x的函数关系式为13?x≥(40?x).??4

40且x为整数. y?3.2x?192,自变量x的取值范围是8≤x?3

②对一次函数y?3.2x?192,∵k?3.2?0,∴y随x的增大而增大.∴对于8≤x?40,当x?8 时,y值最小.此时40?x?40?8?32,3

y最小?3.2?8?192?217.6(元).

答:当买单价为8元的笔记本8本,单价为4.8元的笔记本32本时,所花的钱最少为217.6元

21、(1)证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD?CD,?ADE??CDE.∵DE?DE,

∴△ADE≌△CDE.?DAE=?DCE 1(2)CF?EG. 3

证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD∥BC,?DCB=90°

∴∠DAE=∠G.∴?DCE??G. ∵CG?CE,∴?1??G.

∴?DCE??1. ∴CF?EF.∵?2??1??DCE?2?1?2?G,

又∵?DCG=180°-?DCB=90°,∴?G=30° 11∴CF?FG.∴CF?EG. 23

(3)设CF?x,则EF?CF?x,FG?2CF?2x.在Rt△CFG中,

CG?.∵△ADE≌△CDE,

∴AE=CE=

CG. AD

AF=AE?EF

=1)x.∵AD∥BC,

∴△ADF∽△GCF

DFAF??∴FCFG

1x2x?F2C B

雷谨铭

22、证明:连结DG,∵D、G、C、E四点共圆,∴?BCD??DGE ∵?BAC?90?及

CD⊥AB,

所以?BAC??DGE,即?BAC??DGE,∵?DGE??DAG??GDA,

1∴?DAG??GDA??BAC,由AE平分?BAC,有?DAG??BAC,则2

?DAG??GDA,

于是有AG?GD,又因为CD⊥AB,有?DFA??A?90?.∴?GDF??DFG,∴GD?GF,

∴AG?FG

23、(1).

(2) S直角三角形=S等腰梯形 =S矩形;

l直角三角形>l等腰梯形 > l矩形

24、(1)抛物线y?x2?mx?n过点B?3,0?;C?2,?3?

3m?n?9

2m?n?5

∴m?2,n??3

∴y?x2?2x?3

∴顶点坐标F?1,?4?

(2) 设AC的解析式为:y?kx?b,A??1,0?,C?2,?3?

?0??k?b ? ?3?2k?b?

解得:k??1,b??1

∴AC的解析式为:y??x?1

设点P的横坐标为a,则P?a,?a?1?,E的横坐标为a, ∵E在抛物线上,故E?a,a2?2a?3?

1?9? ∴PE??a?1??a?2a?3???a?a?2???a??? 2?4?222

∵?1?a?2 19∴当a?时,PE的最大值为 24

(3) 只需求GC?HF最短.

抛物线y?x2?2x?3的对称轴为x?1.

将点F向右平移2个单位长度至F1,F1?3,?4?

作F1关于x轴的对称点F2?3,4?

联结F2F 与x轴交于点H, H为所求

可求得F2F的解析式为:y?7x?17

当y?0时,x?17 7

雷谨铭

?17??3? ∴ 点H的坐标为?,0?, 点G的坐标为?,o? ?7??7?

附加题:

解: (1) 设l2的解析式为y?ax2?bx?c?a?0?,

∵l1与x轴的交点为A??2,0?,C?2,0?,顶点坐标是?0,?4?,l2与l1关于x轴对

称,

∴l2过A??2,0?,C?2,0?,顶点坐标是?0,4?,

??4a?2b?c?0,∴?4a?2b?c?0,

??c?4.

∴a??1,b?0,c?4,即l2的解析式为y??x2?4. (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)

(2) 设点B?m,n?为l1:y?x2?4上任意一点,则n?m2?4. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,点A、C关于原点O对称, ∴ B、D关于原点O对称,

∴ 点D的坐标为D??m,?n?.

由(*)式可知,?n???m2?4?????m??4, 2

即点D的坐标满足y??x2?4,

∴ 点D在l2上.

(3)平行四边形ABCD能为矩形.

过点B作BH⊥x轴于H,由点B在l1:y?x2?4上,可设点B的坐标为

?x,x020?4?, 则OH?x0,BH?x02?4.,易知,当且仅当BO?AO?2时,□ABCD为矩

形.

在Rt△OBH中,由勾股定理得,x0?x02?4?22,?x02?4??x02?3??0,22∴x0??2 (舍去)

、x0?.

所以,当点B

坐标为B?1)

或B?1时,□ABCD为矩形,此时,???

1、D'点D

的坐标分别是D

??1. ?

因此,符合条件的矩形有且只有2个,即矩形ABCD和矩形AB'CD'′ . 设直线AB与y轴交于E ,显然,△AOE∽△AHB, EOEOBH∴,∴.

??

2AOAH∴EO?4?

由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB'CD'重合部分是菱形,其面积为

11S?2S△ACE=2××AC×EO=2××4×(4-

-

22

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