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数论竞赛题选讲

发布时间:2013-12-31 15:54:08  

数论竞赛题选讲

例1.证明:方程x?y?z?t?1999有无穷多组整数解。(1999年保加利亚数学奥林匹克试题)

例2.求所有的正整数对(a,b),使得a?6ab?1和b?6ab?1都是完全立方数。(2000年波兰数学奥林匹克试题)

例3.将素数从小到大排列为p1,p2,?,pn,?,令sn?333333?p

i?1ni,求证:对于任意的正整数

n,存在一个完全平方数an,使得sn?an?sn?1。(1998年以色列-匈牙利数学奥林匹克试题)

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例4.设a,b,c为d整数,a?b?c0?,d?且a?c(?bd?b)?(d?,证明:a?cab??cdb不是素数。(?da2001c年第42届IMO试题)

例5.设n为奇数且大于1,k1,k2,?,kn为给定的整数,对于1,2,?,n的n!个排列中的每一个排列a?(a1,a2,?,an),记S(a)??ka

i?1nii,证明:有两个排列b和c,b?c,使得

S(b)?S(c)能被n!整除。(2001年第42届IMO试题)

例6.找出所有的自然数组(x,y,z),使得y是素数,y和3均不被z整除,且x3?y3?z2。(1999年保加利亚数学奥林匹克试题)

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例7.设n是正整数,n的二进制表示中恰有1995个1,求证:2n?1995整除n!。(1995年南斯拉夫数学奥林匹克试题)

例8.设a,b,c,a?b?c,a?c?b,b?c?a,a?b?c是7个两两不同的素数,且a,b,c中有两数之和是800,设d是这7个素数中最大数与最小数之差,求d的最大可能值。(2001年中国数学奥林匹克试题)

例9.求最小的正整数a,使得存在正奇数n,满足:2001(55?a?32)。(2001年爱尔兰数学奥林匹克试题)

第 3 页 共 4 页 nn

例10.求所有大于3的自然数n,使得1?Cn?Cn?Cn整除22000。(1998年中国数学奥林匹克试题)

例11.设n,k是正整数,且n不能被3整除,k?n。证明:存在正整数m,使得m可被123n整除,且它的各位数字之和是k。(1999年第41届IMO备选题)

例12.求满足如下条件的最大正整数n:n

的正整数整除。(1998年亚太地区数学竞赛题)

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