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第一讲:裂项法

发布时间:2013-12-31 16:56:08  

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第一讲 裂项法

第一讲 裂项法

基本类型

1.1?2?2?3?3?4???49?50=_________;

[分析与解答]

这是整数的裂项。裂项思想是:瞻前顾后,相互抵消。

设S=1?2?2?3?3?4???49?50

1×2×3=1×2×3

2×3×3=2×3×(4-1)=2×3×4-1×2×3

3×4×3=3×4×(5-2)=3×4×5-2×3×4

49×50×3=49×50×(51-48)=49×50×51-48×49×50

3S=1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+49×50×3=49×50×51

S=49×50×51÷3=41650

常用公式:

1?2?2?3?3?4???n?(n?1)= n(n?1)(n?2) 3

12?22?32??n2?n(n?1)(2n?1) 6

2?n(n?1)?1?2?3??n??? ?2?3333

2.1111=_________; ?????1?22?33?449?50

[分析与解答]

这题是典型的分数裂项:

11=1- 1?22

111=- 2?323

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第一讲 裂项法 111=- 49?504950

原式=1-491= 5050

3.1111=_________; ?????1?33?55?799?101

[分析与解答]

这题是典型的分数裂项:

111=(1-)× 231?3

1111=(-)× 23?535 …

1111=(-)× 299?10199101原式=(1-1501)×= 2101101

复杂裂项 4.

[分析与解答]

对于分数裂项最后只留下第一个与最后一个的差。 1111=_________; ?????1?2?32?3?43?4?519?20?21

1111=()× ?1?2?31?22?32

1111=()× ?2?3?42?33?42

1111=()× ?19?20?2119?2020?212

原式=

111209()= ?21?220?21840

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第一讲 裂项法 5.1111=_________ ?????1?3?52?4?63?5?720?22?24

[分析与解答] :原式=11111++…+++…+ 1?3?53?5?719?21?232?4?620?22?24

=

111111(-)+(-) 41?321?2342?422?244065281601046538625+=+= 4832112340032340032340032

6.1?(1?2)?(1?2?3)?(1?2?3?4)???(1?2?3?4???50)=_________;

[分析与解答]

利用等差数列求和公式,再利用例1的结论。 原式=

7. 1?1111=_________; ?????1?21?2?31?2?3?41?2?3?4???50111(1×2+2×3+3×4+….+50×51)=××50×51×52=2210 223

[分析与解答]

1+222111100++….+ =2×(++…+)= 2?33?450?511?22?350?5151

拓展提高 8.(1?111111)?(1?)?(1?)?(1?)???(1?)?(1?)=_________; 22222223454849

[分析与解答]

:这题是利用平方差公式进行裂项。a2-b2=(a+b)(a-b)

1-

原式=

9.12311112=1-()=(1+)×(1-)=× 22222223142536475504815025××××××××××….××=×= 223344556649492494923450=_________; ?????1?(1?2)(1?2)?(1?2?3)(1?2?3)?(1?2?3?4)(1?2?3???49)?(1?2?3???50)

[分析与解答] 原式=355024++++…+ 1225?12751?33?66?1010?15

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第一讲 裂项法 =(?

=111111111)+(?)+(?)+() ?336122512756101274 1275

1234910.?=_________; ?????22?32?3?42?3?4?52?3?4??10

[分析与解答]

11=1- 22

23?111==- 2?32?322?3

34?111==- 2?3?42?3?42?32?3?4

….

910?111==- 2?3?4?....?102?3?4?....?102?3?4?....?92?3?4?....?10

原式=1-

11.9998971=_________; ?????1?2?32?3?43?4?599?100?101113628799=1-= 2?3?4?....?1036288003628800

[分析与解答]

99100?110011001==-=- 1?2?31?2?31?2?32?31?2?32?3

98100?210021001==-=- 2?3?42?3?42?3?42?3?42?3?43?497100?310031001==-=- 3?4?53?4?53?4?53?4?53?4?54?5

….

1100?99100991001==-=- 99?100?10199?100?10199?100?10199?100?10199?100?101100?101

原式=1001001001001111+++….+ -(+++….+ ) 1?2?32?3?43?4?599?100?1012?33?44?5100?101=100×

=25-11111×(-)-(-) 22101002101111-+ 2022101

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第一讲 裂项法 =24

51 101

练习题:

1、1?4?4?7?7?10???49?52=_________;

[分析与解答]

设S=1?4?4?7?7?10???49?52

1×4×9=1×4×7+1×4×2

4×7×9=4×7×(10-1)=4×7×10-1×4×7

7×10×9=7×10×(13-4)=7×10×13-4×7×10

………….

49×52×9=49×52×(55-46)=49×52×55-46×49×52

9S=49×52×55+1×4×2

S=(49×52×55+1×4×2)÷9=15572

2、1111=_________; ?????1?44?77?1049?52

[分析与解答] 原式=

3、1111=_________; ?????1?3?53?5?75?7?919?21?231117(1-)= 35252

[分析与解答] 原式=11401(-)= 41?321?23483

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