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2013-2014蓝城区九年数学竞赛试题参考答案

发布时间:2014-01-01 09:40:05  

2013-2014学年度第一学期

学竞

3分,共30

分)

、一个空心的圆柱如图(1

)所示,那么它的主视图是( A

) 图(1)

号座 A.

B.

C.

D.

、科学家测得肥皂泡的厚度约为0.000 000 7米,用科学记数法表示为( C )

A.0.7?10?6

米 B.0.7?10?7

米 C.7?10?7

米 D.7?10?6

米 、下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( B )

名姓 A

B

C

D

、下列等式一定成立的是( D ) 2

3

A.(a?b)2?a2?b2

B.a?a?a6

C.3

?2

??1

9

D.?

x的取值范围是( B )

A.x≥?1

B.?1≤x≤2 C.x≤2 D.?1<x<2 级班、下列命题为真命题的是( B ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.五边形的内角和为540°

C.如果a?b,则ac2?bc2

D.如果两条直线被第三条直线所截,那么所截得的同位角相等

校、关于x的方程(m2

?2)x2

?(m?2)x?0是一元二次方程的条件是( D ) 学 A.m?2 B.m??2

C.m? D.m?

九年数学竞赛试卷 第1页,共10页 8、函数y?x?m与y?m

(m

?0)在同一直角坐标系内的图象如图(2),可以是(

B

x

图(9、如图(3)

,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于1

2AB

的长为半

径画弧,两弧相交于C,D两点,则直线CD即为所求,根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是

( B )

A.矩形

B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形

10、如图(4),∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E。若OD=8,OP=10,则PE

的长为( C )

A.8 A.7 A.6 A.5

图(3)

二、填空题(每小题4分,共24分)

图(5)

图(4)

11、分解因式:a3

?a?12、将一副三角板按图(5)中方式叠放,则角α等于度。

13、如图(6)是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22)。若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为 14、如图(7),矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠,使点D落在BC上的F处,已知AB=6,△ABF的面积是24,

则FC等于 2

15、如图(8),在平面直角坐标系中,点O为原点,菱形OABC的对角线OB在x轴上,顶点A在反比例函数y?2x

的图象上,则菱形的面积为 4

A D

B

F

C

图(7)

图(6)

九年数学竞赛试卷 第2页,共10页

图(8)

16、若x是不等于1的实数,我们把

11

??1,?1的差倒数为称为x的差倒数,如2的差倒数是

1?x1?2

19、小明想利用太阳光测量楼高,他带着皮尺米到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:

如图(9),小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同,此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m(点A、E、

111

?,现已知x1??,x2是x1的差倒数,x3是x2的差倒数,x4是x3的差倒数,?,依次类推,

31?(?1)2

则x3

2012?

4

三、解答题(每小题5分,共15分)

?x?3(x?17、求不等式组?

2)?4①

??1?4x?3

?x?1② 的整数解。

解:解不等式①,得 x≤1 解不等式①,得 x??4

∴原不等式组的解集为?4?x≤1

?x?3(x? ∴不等式组?

2)?4①

??1?4x的整数解为?3、?2、?1、0?3

?x?1②、1。

18、先化简,后求值:(1?

1x?1?xx2?1

,其中x??4。 解:∵(1?

1xx?1?1(xx?1)?x?1x?1??1)(x?1)2?x

=x?1 当x??4时,原式??4?1??3

九年数学竞赛试卷 第3页,共10页 C在同一直线上)。已知小明的身高EF是1.7m,请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m)。 解:依题意得,△FHD∽△BGD ∴

HFBG?HD1.7?1.20.8

GD 即 AB?1.2?30

解得 AB?20.0m ∴楼高AB高约为20.0m。 图(9)

四、解答题(每小题8分,共24分)

20、山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克;后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可之间20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答: (1)每千克核桃应降价多少元?

(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售? 解:(1)设每千克核桃应降价x元,依题意得 (60?x?40)(100?

x

2

?20)?2240 即 x2

?10x?24? 0

解得 x1?4 ,x2?6

∴每千克核桃应降价4元或6元。

(2)由(1)知,为了尽可能让利于顾客,则应降价6元,此时售价为60-6=54(元) ∴

54

60

?100%?90% ∴店应按原售价的九折出售。

九年数学竞赛试卷 第4页,共10页

、如图(10),一次函数y?x?1与反比例函数y?k

x

的图象相交于点A(2,3)和点B(-3,m)

(1)求反比例函数的解析式和m的值; (2)过点B作BC⊥x轴于C,求S△ABC。

解:(1)依题意,得

?

k ??3?

解得?k?6 号?2

??m??3?1

?m??2 座 ∴反比例函数的解析式为y?6

x

,m的值为?2。 (2)如图,过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D

AD?2??3?5 BC

??2?2

图(10)

∴S1

?ABC= 2

?BC?AD?5

名 ∴△ABC的面积为5.

姓 、已知:在如图(11)所示的锐角△ABC中,CH⊥AB于点H,点B关于直线CH的对称点为D,AC边上一

点E满足∠EDA=∠A,直线DE交直线CH于点F。

(1)求证:BF∥AC;

(2)若AC边的中点为M,求证:DF=2EM;

(1)证明:如图,∵点B关于直线CH的对称点为D ∴BH=DH

级班 又∵直线CH⊥AB于点H,直线DE交直线CH于点F ∴ DF=BF ∴ ∠1=∠2

又∵∠EDA=∠A,∠1=∠EDA

图(11)

又∵ BF∥AC

∴ ∠2=∠EDA

∴ 四边形EFNM是平行四边形

∴ BF∥AC

∴ EM=FN

校学 (2)解:如图,连接MH并延长交EF于点N,则

又∵MN∥EF ,H为BD中点

HM=AM

∴ N为BF中点

∴ ∠3=∠A

又∵ ∠EDA=∠A ∴ BF=2FN ∴ ∠3=∠EDA

又∵DF=BF 九年数学竞赛试卷 第5页,共10页

∴ DE∥HM 即EF∥MN

∴ DF=2FN=2EM

五、解答题(每小题9分,共27分)

23、今年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO。在一次矿难事件的调查中发现:从零时起,井内空气中CO的浓度达到4mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降,如图(12),根据题中相关信息回答下列问题。 (1)求爆炸前和爆炸后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围;

(2)当空气中的CO浓度达到34mg/L时,井下3km的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多快的速度

撤离才能在爆炸前逃生?

(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后

多少小时才能下井。

解:(1)∵爆炸前浓度呈直线增加,∴可设y与x的函

数关系式为y?k1x?b,由图象知,一次函数

y?k1x?b过点(0,4)与(7,46)

∴?

?4?b?46?7k 解得??k1?6

?b?4

1?b∴y?6x?4

图(12)

此时自变量x的取值范围是0≤x≤7.

∵爆炸后浓度成反比例下降,∴可设y与x的函 (3)当y?4时,由y?

322

数关系式为y?

k2kx

可得 x,由图象知,函数y?2x

4?

322

过点(7,46)

x

解得 x?80.5 80.5-7=73.5(h)

∴ 46?k

27 解得k2?322

∴矿工至少在爆炸后73.5小时 ∴ y?322

x

后才能下井。

此时自变量x的取值范围是x≥7

(2)当y?34时,由y?6x?4得

6x?4?34 解得 x?5

∴撤离的最长时间为7-5=2(h) ∴撤离的最小速度为3÷2=1.5(km/h)

九年数学竞赛试卷 第6页,共10页

21、(1)如图(13○Ⅰ),点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q。

求证:∠BQM=60°。

(2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如:

①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题?

②如图(13○Ⅱ),若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?

③如图(13○Ⅲ),若将题中的条件“点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”,是否仍能得到∠BQM=60°?

请你判断,在下列横线上填上“是”或“否”:① 是 ;② 是 ;③并对②,③的判断,选择一个给出证明。

图(13○Ⅰ)

图(13)

○Ⅱ图(13○Ⅲ)

解:(1)证明:如图,∵在正三角形ABC中,

AB?BC,?ABM??BCN?60?,

又∵ BM?NC

∴△ABM≌△BCN(SAS), ∴?BAM??CBN,

∴?BQM??BAQ??ABQ??MBQ??ABQ?60?. (2)①是;②是;③否. ②的证明:如图,

∵?ACM??BAN?120?,CM?AN,AC?AB, ∴△ACM≌△BAN, ∴?AMC??BNA,

九年数学竞赛试卷 第7页,共10页

∴?NQA??NBC??BMQ??NBC??BNA?180??60??120?,∴?BQM?60?. ③的证明:如图,

?BM?CN,AB?BC,

∴Rt△ABM≌Rt△BCN,

∵?AMB??BNC.又∵?NBM??BNC?90?,

?QBM??QMB?90?,

?BQM?90?,即?BQM?60?.

25、[探究]在图(14①)中,已知线段AB和线段CD,中点分别为E,F。 (1)若A(-1,0),B(3,0),则E点坐标为;

(2)若C(-2,2),D(-2,-1),则F点坐标为。

[归纳]在图(14②)中,无论线段AB处于坐标系中的哪个位置,当其端点坐标为A(a,b),B(c,d),AB

中点为D(x,y)时,则D点坐标为 。(用含a,b,c,d的代数式表示) [运用]在图(14③)中,一次函数y?x?2与反比例函数y?3

x

的图象交点为A,B。 (1)求出点A,B的坐标;

九年数学竞赛试卷 第8页,共10页

(2)若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形,请利用上面的结论求出顶点P的坐标。

号座

级班

图(14①)

图(14②) 图(14③) 九年数学竞赛试卷 第9页,共10页 九年数学竞赛试卷 第10页,共10页

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