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第九讲:不定方程

发布时间:2014-01-01 10:41:01  

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第八讲 不定方程

第九讲 不定方程

一、

二、 二元不定方程的解法。枚举法,余数法。 三元不定方程组的解法,三元不定方程的解法。

1、解下面的不定方程,求出所有自然数解

(1) 4x?5y?98 (2) 19x?9y?100

(3) 7x?19y?213 (4) 14x?21y?3585

2、已知△和☆分别表示两个自然数,并且

[分析与解答]

依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.

3、箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.

[分析与解答]

设箱子里共有n个乒乓球,二级品占

n?25%?n?37 ,△+☆= . ??51155a.依题意,得 5a?91?n 5

整理得 n(15?4a)?20?91 ①

易知 15-4 a>0,所以a≤3.

将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第八讲 不定方程

4、某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.

[分析与解答]

设共分为x组.由树苗总数可列方程

9x?2?nx?20

(9?n)x?22

因为22=1×22=2×11, n是小于9的质数,对比上式得x=11(组).

5、不定方程2x?3y?7z?23的自然数解是 .

[分析与解答]

?x?2??y?4

?z?1??x?5??y?2?z?1??x?3??y?1?z?2?

显然z只能取1,2,3.

当z=1时,2x?3y?16,其自然数解为x=2, y=4; x=5, y=2.

当z=2时,2x?3y?9,其自然数解为x=3, y=1.

当z=3时,2x?3y?2,显然无自然数解.

?x?2? 所以原方程的自然数解为:?y?4

?z?1?

?x?5??y?2?z?1??x?3??y?1?z?2?

6、王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .

[分析与解答]

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第八讲 不定方程 8371692.

设电话号码的前三位为x,后三位y,第四位为a(a≠0).由题意有

?10x?a?y?9063① ? ② ?x?1000a?y?2529

①-②,化简得x?726?111a.

当a=1时, x=837, y=692;

当a≥2时, y<0,不合题意.

所以电话号码为8371692.

7、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为a

10,a,b,c依次为 , , .

[分析与解答]

由题意有3a?2?6b?5?8c?7.解这个不定方程,得a?7,b?3,c?2.

8、全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的

(若干碗)的257,b,c.已知a,b,c都小于3681和全部咖啡41.那么,全家有 口人. 6

[分析与解答]

设全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依题意得:

整理得 3x?2y?12.

易得其自然数解为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.

9、某单位职工到郊外植树,其中11x?y?1 461的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工3

每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第八讲 不定方程

[分析与解答]

设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子

由已知 10x?13y?x?y人.这个条件说明3| x+ y. 3x?y?6?216 3

即 4x?5y?72

4(x?y)?y?72

由12|4(x+ y),12|72.

所以12| y,又y?72?4x724≤?14. 555

所以, y=12, x=3.即有女职工3人.

10、将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.

[分析与解答]

画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为x,y,z,

??4??x?y?z??28 xyz?12?

剥去所有涂色的小块,得到上图.

由上面两上算式可以推算出x?3,y?z?2,仅1面涂色彩正方体有:

(x?y?y?z?x?z)?2

?(3?2?2?2?3?2)?2

?16?2?32(块).

原来长方体的体积为

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第八讲 不定方程 V?(x?2)?(y?2)?(z?2)?5?4?4?80(立方分米).

11、李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.

[分析与解答]

设支票上的元数与角、分数分别为x和y,则可列得方程

(100y?x)?350?2(100x?y),

其中x,y为整数且0≤x,y<100.

化简方程得 98y?199x?350

由此推知2x<y且为x偶数,其可能取值为2,4,…,48.

又 y?199x?3503x?56, ?2x?3?9898

56≤3x?56≤3?48?56?200

所以 3x?56?98或98?2.

所以 x?42或x?462(舍去). 3

故x?42,此时y?32.即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.

12、一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第八讲 不定方程

[分析与解答]

设起初有x辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n人,依题意,得

22?x?1?n?(x?1),

所以 n?22x?123 ?22?x?1x?1

又n, x为整数,所以(x-1)|23,故x-1=1或23,即x=2或x=24.

若x=2,则n?2223?45与n≤32产生矛盾. 2?1

因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x+1=529(名).

13、小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?

[分析与解答]

设苹果、梨子、杏子分别买了x,y,z个,则

?200x?80y?30z?5000 ? x?y?z?40?

消去z得 17x?5y?380 ①

380?5y 17

10380?5?40380?5y3806 由0<y<40得 10????22 1717171717

106 即 10?x?22 1717 所以 x?

又 5|5 y,5|380,(5,17)=1,由①得5| x.所以x=15或x=20.

当x=15时, y=25, z=0,不合题意.

因此x=20, y=8, z=12.

因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第八讲 不定方程 14一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?

[分析与解答]

设获一、二、三等奖的人数分别为x,y,z,根据题意有:

??6x?3y?2z?22① ② ?9x?4y?z?22

2×②得 18x?8y?22?44 ③

③-①得 12x?5y?22 ④

解④求得整数解为x=1, y=2.

代入②可求得z=5.

练习题

1、采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A种物品和B种物品的个数互换,找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个?

[分析与解答]

设买A种物品a个, B种物品b个,找回100元的m张,10元的n张,则有:

??590a?670b?10000?100m?10n① ② ?670a?590b?10000?10m?100n

其中b>a,n<10.

①-②得 8(b?a)?9(n?m) ③

巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第八讲 不定方程 所以 89(n?m),故8n?m,

由b>a,n<10知 m<n<10,因此, m-n=8,从而b-a=9.

由此推知n=9, m=1, b=a+9.

代入①式,解得a=3. B=12.

答:购A物3个,B物12个.

2、某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?

[分析与解答]

因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x)度,乙用电(50- y)度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:8x+5y=33.

容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.

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