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多思善想解难题_从最新一道_祖冲之杯_赛题谈起

发布时间:2014-01-01 10:43:07  

《数学教师》1997年第9期

●解题教学

多思善想解难题

——从最新一道“祖冲之杯”赛题谈起

□李长明

(贵州教育学院 550003)

  我国著名数学家陈景润院士于1983年

曾为青少年亲笔题诗一首[1]:

  树雄心要立壮志,多思善想解难题.

四化任重人才难,德智体美务求全.

真是三句话不离本行,除了言志,他还以自己一生不断攻破世界著名难题的切身体会,教导青年学子要“多思善想”.多思,既指多方面、多层次的去思考,也有再思、深研之意;善想,不但想其缘由而知其所以然,还要有求异求新之念而生巧思妙想,进而发现新问题,想出新途径.因此,做到多思善想,有深刻的理解,.第九届(1996年)、,,去掌握它的实.

1.题目和原解法[2]如图1,P为△ABC边BC上的一点,且PC=2PB.已知∠ABC=45°,∠APC=60°,求∠ACB.

解 为清楚计,分以下三步:

(1)构造对称形.

图1

)且∵ BA平分∠C1BC(∠ABC=45°

 PA平分∠C1PC,

∴ A点到直线C1B、.BC、C1P等距∴ C1A平分∠BC1P的外角.

(3)可知由(1)、

 ∠ACB=∠AC1P=150°??2=75°.2.原法的简明形式—在原解法中,第(3),,1BP的旁,,,上述证,原解法才绕了一个圈子.

下面再来追究一下原法迂回的原因.本来是作对称点C1,结果产生了一个很有用的

),它使已知条件直角三角形(一个锐角60°

中的2∶1(=PC∶BP)发挥出应有的效用,可是,因为它的位置远离了欲求的角

,才不得不走一段迂回的道路.因此,倘若这样有用的直角三角形,位于恰当的位置,那就可能使求

作出C点关于直线

AP的对称点C1,连结BC1、PC1、AC1.

(2)证∠PBC1=90°.由作法,C1P=CP=2BP,

解过程大为简化.

3.新法之一——巧作锐角为30°的直角三角形

解 取PC的中点M,作∠PMN=60°,N在AP上(如图2).连结BN、NC,则易知Rt△BMN≌Rt△CPN,且∠CBN=∠BCN=30°.

∵ ∠C1PA=∠APC=60°,

(△PBC是斜边与一∴ ∠C1PB=60°

直角边比为2∶1的直角三角形).

 

图2

图3

∴ ∠PBC1=90°.

(3)证C1A平分∠BC1P的外角.

?37?

●数学教育

∴ ∠NBA=15°=∠NAB,

∴ NC=NB=NA.即△ANC为等腰直角三角形,

∴ ∠NCA=45°,∴ ∠ACB=75°.

4.新法之二——巧作等腰三角形

《数学教师》1997年第9

上法虽较原法简明,但仍有可以省略的地方.因为在推导中,几个等腰三角形在起主要作用.充分发挥它们的作用,就可省去辅助线MN,即有

解 在∠B内作与BA夹15°角的射线BN,交AP于N,连结NC(如图3),则得NA=NB,

∴ ∠BNP=30°=∠NBP.∴ PN=PB=PC??2.

又 ∠NPC=60°,∴ ∠PNC=90°,且∠PCN=30∠NBC,

∴ NC=NB=N.5.手段,难以奏效.碰到难关时,逆向思维也是多思善想的一个重要方面.何况,原命题之逆是否成立,也是我们认识深化的一条重要途径.本题的逆命题很多,较为有用的是如下一个:

已知:在△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,又P在BC上,且∠APC=60°.

∠BPA的平分线PC1于C1,如图5.

),易知∠BPC1=∠APC(=60°

∴ 有PC1=2BP.

∵ PA平分∠CPC1,BA平分∠CBC1,即A是△BPC1的旁心,

)的临补角∴ C1A平分∠BC1P(=30°

(外角),

∴ ∠AC1P=75°=∠ACP,∴ △APC1≌△APC(A、A、S).∴ PC=PC1=2BP.证明2 (借助△APC的外接圆)

设O是△APC的外心,如图6,连结OA、OP、,D,图6

P150°,

∴ ∠OPA=∠OAP=15°=∠BAP,

=BPAD

又∵ ∠POC=2∠PAC=90° (易知

∴ DP∥AB, ∴ 

), ∠ODC=∠BAC=60°∠PAC=45°,∴ DC=2DO.

又∵ ∠AOD=∠OPA+∠OAP=30°=∠OAD,

∴ AD=DO,结论已明.

求证:PC=2BP.

作△ABP的外接圆亦可获解,略去.证明3(造就2??1)利用有一锐角为60°的直角三角形,其最大边是最小边的二倍,可自C作CH⊥AB于H,如图8,则有

AC=2AH,HB=HC.

现延长CA至G,

 

图4

图5

6.逆命题的多种证法

图7

证明1 (原题原法)

仿照原证法,过B作BC的垂线交?38?

使AG=AH,再连GH、GB,则有

∠AHG=∠AGH=30°=∠ACH,

《数学教师》1997年第9期

●解题教学

(如图11),则由已证之逆命题可知

∴ HG=HC. 而 HB=HC,∴ HG=HB

∴ ∠HBG=∠HGB=15°=∠BAP,∴ AP∥GB,下略.7.逆命题与重合法

在一对互逆的命题中,若涉及中点、垂线、与一边在一侧夹成定角的射线等具有唯一性的点、线,又已证其中一个成立,那么就可重作一个这样的点、线,再证它与原有的重合,从而证明另一命题为真.不妨称之为重合法.它因有逆命题已证的基础,故常显得非常简捷,现用此法对

解 以A为顶点,在C的一侧,作一条与AB夹成60°

角的射线AC’,设它与BC或其延长线交图8

(如图8),则有PC’于C’=2BP(结论).但 PC=2BP()以C’≡C.°,B=°.

8. P’=2BP’=2BP=PC,C’

而由 △AP’≌△APC,C’] ∠ACB=∠AC’.B=75°

 

图11

图12

理,都属于间接证法.也可看成反证法.因为上述的重合法,也可改叙为:假定∠BAC≠(结论的反证),那么另作∠BAC’60°=60°……则与已知的PC=2BP矛盾.矛盾表明∠BAC=60°,∠BCA=75.

重合法、反证法,如上所述,有时十分简捷.但初学者常有不习惯之感.其实,重合法不难改为直接证法:只需将理应重合的图形,作在另一适当的位置,再证它与原图全等.从而证得原题.

构造全等形的“适当”位置,往往又有多种途径,因而又生出多种证法,现简介如下:

证法1 (以AB为轴作对称)以AB为轴,作P的对称点P’,则易知△ABP’≌△ABP.

再以A为顶(在P’的同侧)作与AB夹成60°的射线AC’,交BP’的延长线于C’

证法2 (以AP为轴作对称)

设点B关于AP的对称点为B’,则有 △APB’≌△APB.

过顶点A,在BAB’夹成60AD,’PD,1APD≌△APC.

,平行四边形的对角线把它分成两个全等三角形.因此,作出适当的平行四边形,也是构造全等形的一种方式.现给出如下两种方法,但仅绘出题图,而不详细写出.

 

图13

图14

以上两种平行四边形的构造法,也可看成旋转构图法,即分别以AB、AP之中点为心,将原图旋转180°而成.

此外,还有构造全等形的其他途径,如以过A而垂直于BC的直线为轴,作与△ABP对称的△AB’,不再详述.P’

9.原题的多种算法

在逆命题的多种证法中,后两种证法是通过计算而达到证明的,由此也启发我们何不直接去计算欲求之角,于是便有如下算法.为简便计先设BP=a,则PC=2a,BC=3a.

?39?

●数学教育

算法1 (利用特别角)

A作AH⊥BC于H,如图16,则有  a+PH=AH=  ] 

PH=

∴ BH=∴ AB=

《数学教师》1997年第9期

3PH,a.23)a.

2(3+

3)a.

3-1(3+2

=

2BH=

再自C作CH’⊥AB于H’,则有

  CH’=BH’=3a,

2∴ AH’=AB-BH’=∴ 

2

a.

解 设∠PAC=x,建立含x的方程(但

需要用正弦定理)

 Κ==

PCAC?sinx=,

sinΒsinx

)即 Κ-Β)sin(x+ΑsinΒsinx=sin(Α

解此三角方程,即可得出所求之角.特别的,将原题的已知量代入,则有)sin45°sinx=sin15°sin(x+60°

2

依第10段计算sin15°的公式代入,并按正弦的和角公式,可得

故 tgx=1,x=45°,∴ ∠C=75°.

12.一道新题

=3. ∴ ∠BAC=60°,AH’

∴ ∠ACB=75°.

在高中数学中利用正、余弦定理或利用和角公式都可以得到简捷解的,不赘述.

以上的推广,Α、Β不是特,ΑΒ=30°而:

ABC边BC上的点,且BP=,∠APC=45°,求,知∠ABC=30°

 

图16

图17

∠ACB.

)∠ACB=105°答案是:(∠PAC=30°

新题与原题像一对孪生姊妹,形式、内容都极为相似,故原题以上的各种方法均适用于这一新题.读者不妨一试.

一道赛题经多思善想而有如此丰富的收获,足见景润大师的教导,不仅为青年学子指明了如何深入学习的方向,而且也是我们广大数学爱好者终身受益不尽的座右铭.因为只有多思善想,我们才会不断地有所发现、有所收获.

参考文献

[1]李长明.我所认识的陈景润.数学学习,1996.3,39—40.陕西省数学学会,西北工业大学主办

10.15°、75°的正、余弦

从以上算法中顺便得出

3PH=AH=

HC=

2

a,

2

a,AC=6a,

则立即可以得出

==sin15°AC==cos15°AC

44

,,

[2]边选.第九届初中“祖冲之杯”数学邀请赛

=2-tg15°3.

试题及解答.中学数学,1997.1,38—40.湖北大学主

[3]程龙.第九届初中“祖冲之杯”数学邀请赛

11.原题的推广

推广命题 在△ABC中,P在BC上,

已知∠B=Β,∠APC=Α,且BP∶PC=Κ.求∠C.?40?

试题.数学教师,1997.3,39—41

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