haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第25讲 辅助圆

发布时间:2014-01-01 16:55:55  

第二十五讲 辅助圆

在处理平面几何中的许多问题时,常需要借助于圆的性质,问题才得以解决.

而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆;有时虽然题设涉及圆,但是此圆并不是我们需要用的圆),这就需要我们利用已知条件,借助图形把需要的实际存在的圆找出来,添补辅助圆的常见方法有:

1.利用圆的定义添补辅助圆;

2.作三角形的外接圆;

3.运用四点共圆的判定方法:

(1)若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆.

(2)同底同侧张等角的三角形,各顶点共圆.

(3)若四边形ABCD的对角线相交于P,且PA·PC=PB·PD,则它的四个顶点共圆.

(4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P,且PA·PB=PC·PD,则它

的四个顶点共圆.

【例题求解】

【例1】如图,直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C,P为圆上一点,P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm,那么P到BC的距离为 .

思路点拨 连DF,EF,寻找PD、PE、PF之间的关系,证明△PDF∽△PFE,而发现P、D、

B、F与P、E、C、F分别共圆,突破角是解题的关键.

注:圆具有丰富的性质:

(1)圆的对称性;

(2)等圆或同圆中不同名称量的转化;

(3)与圆相关的角;

(4)圆中比例线段.

适当发现并添出辅助圆,就为圆的丰富性质的运用创造了条件,由于图形的复杂性,有时在图中并不需画出圆,可谓“图中无圆,心中有圆”.

【例2】 如图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点P,且PB=4,PD=3,则AD·DC等于( )

A.6 B.7 C.12 D.16

思路点拨 作出以P点为圆心、PA长为半径的圆,为相交弦定理的应用创设了条件.

1

注:到一个定点等距离的几个点在同一个圆上,这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法.

【例3】 如图,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,求证:△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆.

思路点拨 先作出△ABC的外心O,连PO、OQ,将问题转化为证明角相等.

【例4】 如图,P是⊙O外一点,PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割线,AD⊥PO于D.求证:PB

PD?PC

CD.

思路点拨 因所证比例线段不是对应边,故不能通过判定△PBD与△PCD相似证明.PA=PD·PO=PB·PC,B、C、O、D共圆,这样连OB,就得多对相似三角形,以此达到证明的目的.

注:四点共圆既是一类问题,又是平面几何中一个重要的证明方法,它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位,这是因为,某四点共圆,不但与这四点相联系的条件集中或转移,而且可直接运.用圆的性质为解题服务.

【例5】如图,在△ABC中,高BE、CF相交于H,且∠BHC=135°,G为△ABC内的一点,且GB=GC,∠BGC=3∠A,连结HG,求证:HG平分∠BHF.

思路点拨 经计算可得∠A=45°,△ABE,△BFH皆为等腰直角三角形,只需证∠GHB=∠GHF=22.5°.

由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC,得B、G、H、C四点共圆,运用圆中角转化灵活的特点证明.

2 2

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com