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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆

发布时间:2014-01-01 16:55:59  

第二十三讲 圆与圆

圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形,判定两圆的位置关系有如下三种方法:

1.通过两圆交点的个数确定;

2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定;

3.通过两圆的公切线的条数确定.

为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些线段,如公共弦、共切线、连心线,以及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线.

熟悉以下基本图形、基本结论:

【例题求解】

【例1】 如图,⊙Ol与半径为4的⊙O2内切于点A,⊙Ol经过圆心O2,作⊙O2的直径BC交⊙Ol于点D,EF为过点A的公切线,若O2D=22,那么∠BAF= 度.

思路点拨 直径、公切线、O2的特殊位置等,隐含丰富的信息,而连O2Ol必过A点,先求出∠D O2A的度数.

注:(1)两圆相切或相交时,公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通.同时,又是生成圆幂定理的重要因素.

(2)涉及两圆位置关系的计算题,常作半径、连心线,结合切线性质等构造直角三角形,将分散的条件集中,通过解直角三角形求解.

【例2】 如图,⊙Ol与⊙O2外切于点A,两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则⊙Ol 与⊙O2的半径之比为( )

A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3

思路点拨 添加辅助线,要探求两半径之间的关系,必须求出∠COlO2 (或∠DO2Ol)的度数,为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系.

1

【例3】 如图,已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点,P是⊙Ol上一点,PB的延长线交⊙O2于点C,PA交⊙O2于点D,CD的延长线交⊙Ol于点N.

(1)过点A作AE∥CN交⊙Oll于点E,求证:PA=PE;

(2)连结PN,若PB=4,BC=2,求PN的长.

思路点拨 (1)连AB,充分运用与圆相关的角,证明∠PAE=∠PEA;(2)PB·PC=PD·PA,探寻PN、PD、PA对应三角形的联系.

【例4】 如图,两个同心圆的圆心是O,AB是大圆的直径,大圆的弦与小圆相切于点D,连结OD并延长交大圆于点E,连结BE交AC于点F,已知AC=4

为2.

(1)求大圆半径长;

(2)求线段BF的长;

(3)求证:EC与过B、F、C三点的圆相切.

思路点拨 (1)设大圆半径为R,则小圆半径为R-2,建立R的方程;(2)证明△EBC∽△ECF;

(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′,必在BF上,连OˊC,证明∠O′CE=90°.

注:本例以同心圆为背景,综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识.作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键.

2 2,大、小两圆半径差

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