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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第29讲 由正难则反切入

发布时间:2014-01-01 16:56:00  

第二十九讲 由正难则反切入

人们习惯的思维方式是正向思维,即从条件手,进行正面的推导和论证,使问题得到解决.但有些数学问题,若直接从正面求解,则思维较易受阻,而“正难则反,顺难则逆,直难则曲”是突破思维障碍的重要策略.

数学中存在着大量的正难则反的切入点.数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双向的,具有可逆性;对数学方法而言,特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎,其思考方向也是可逆的;作为解题策略,当正向思考困难时可逆向思考,直接证明受阻时可间接证明,探索可能性失败时转向考察不可能性.由正难则反切入的具体途径有:

1. 定义、公式、法则的逆用;

2.常量与变量的换位;

3.反客为主;

4.反证法等.

【例题求解】

【例1】 已知x满足3

x?2x2?x2?2x?2,那么x2?2x的值为.

思路点拨 视x2?2x为整体,避免解高次方程求x的值.

【例2】 已知实数a、且2002(a?b)?2002(b?c)?(c?a)?0求b、c满足a?b,的值.

思路点拨 显然求a、令2000?x,则2002=x2,b、b、c的值或寻求a、c的关系是困难的,原等式就可变形为关于x的一元二次方程,运用根与系数关系求解.

注:(1)人们总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量,认为它们泾渭分明,更换不得,实际上将常量设为变量,或将变量暂时看作常量,都会给人以有益的启示.

(2)人的思维活动既有“求同”和“定势”的方面,又有“求异”和“变通”的方面.求同与求异,定势与变通是人的思维个性的两极,充分利用知识和方法的双向性,是培养思维能力的重要途径.

正难则反在具体的解题中,还表现为下列各种形式:

(1)不通分母通分子;

(2)不求局部求整体;

(3)不先开方先平方;

(4)不用直接挖隐含;

(5)不算相等算不等;

(6)不求动态求静态等.

1 (c?b)(c?a)(a?b)2

【例3】 设a、b、c为非零实数,且ax2?2bx?c?0,bx2?2cx?a?0,cx2?2ax?b?0,试问:a、b、c满足什么条件时,三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根.

思路点拨 如从正面考虑,条件“三个方程中至少有一个方程有不等的实数根”所涉及的情况比较复杂,但从其反面考虑情况却十分简单,只有一种可能,即三个方程都没有实数根,然后从全体实数中排除三个方程都无实数根的a、b、c的取值即可.

注:受思维定势的消极影响,人们在解决有几个变量的问题时,总抓住主元不放,使有些问题的解决较为复杂,此时若变换主元,反客为主,问题常常能获得简解.

【例4】 已知一平面内的任意四点,其中任何三点都不在一条直线上,试问:是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一内角不大于45°?请证明你的结论.

思路点拨 结论是以疑问形式出现的,不妨先假定是肯定的,然后推理.若推出矛盾,则说明结论是否定的;若推不出矛盾,则可考虑去证明结论是肯定的.

【例5】 能够找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够,请举出一例;若不能够,请说明理由.

思路点拨 先假设存在正整数n1,n2,n3,n4满足ninj?2000?m2 (i,j=1,2,3,4,m为正整数).运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综合推理,若推出矛盾,则原假设不成立.

注:反证法是从待证命题的结论的反面出发,进行推理,通过导出矛盾来判断待证命题成立的方法,其证明的基本步骤是:否定待证命题的结论、推理导出矛盾、肯定原命题的结论. 宜用反证法的三题特征是:

(1)结论涉及无限;

(2)结论涉及唯一性;

(3)结论为否定形式;

(4)结论涉及“至多,至少”;

(5)结论以疑问形式出现等.

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